korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Это приводит к необходимости построения различных аппроксимаций. Всевозможные аппроксимации можно условно разделить на несколько групп. Первуюиз них составляют формулы, приближающие вероятность разорения спомощью асимптотических выражений. Здесь, в свою очередь, можновыделить асимптотические аппроксимации при неограниченно растущем начальном капитале, примером которых служит знаменитая формула Краме́ра–Лундберга (см. ниже), асимптотические аппроксимации при малой нагрузке безопасности (основы последнего из упомянутых подходов заложены В. В.
Калашниковым (Kalashnikov, 1997)).Еще один класс асимптотических аппроксимаций составляют приближения, основанные на функциональных предельных теоремах, например, так называемая диффузионная аппроксимация. Помимо асимптотических аппроксимаций, можно выделить приближения типа эвристической формулы Де Вилдера, см, например, (De Vylder, 1978),(Grandell, 1991). Однако для большинства асимптотических аппроксимаций отсутствуют разумные оценки их точности. Более того, многочисленные примеры показывают, что иногда такие аппроксимации имеют очень большие относительные погрешности.
В связи с этим возрастает важность построения двусторонних оценок для вероятности разорения. Такие оценки были впервые получены Г.-Й. Россбергом и Г. Зигелем (Rossberg and Siegel, 1974) для крамеровского случая и В. В. Калашниковым и его коллегами (Калашников и Константинидис, 1996),(Kalashnikov, 1997), (Калашников и Цициашвили, 1998) для случая тяжелых хвостов.
При получении приближенных значений вероятностиразорения также довольно часто используется компьютерная симуляция. При этом возникают нетривиальные вычислительные и математические задачи. Например, стандартные процедуры математическойстатистики здесь оказываются неэффективными или вовсе неприменимыми, поскольку они имеют асимптотический характер, а асимптотикарассматривается по объему выборки, в то время как разорение является редким событием (с очень маленькой вероятностью).Глава 4Сравнение рисковых ситуацийи простейшие методы расчетастраховых тарифов4.1Рисковые ситуации в страхованииРассмотрим некоторую страховую организацию (компанию), выпустившую и продавшую n страховых полисов.
Пусть резервный капитал(начальный капитал) компании равен S. Предположим, что каждыйстраховой контракт влечет за собой страховые выплаты клиентам, которые являются независимыми случайными величинами. Обозначимслучайную величину выплат i-му клиенту через Xi , а ее функцию распределения – Fi (x).Вообще говоря, возможны ситуации, когда случайные величины Xiмогут принимать и отрицательные значения, однако мы будем считатьслучайные величины Xi неотрицательными.Общие страховые выплаты, порожденные данным набором страховых полисов, имеют видX = X1 + · · · + Xn .Обозначим функцию распределения случайной величины X черезF (x) = P(X < x),x ∈ IR.Эту функцию часто называют распределением риска страховой компании.Предположим, что случайная величина X имеет конечное математическое ожидание, которое мы будем обозначатьµ = EX.2012024.
Сравнение рисковых ситуацийЕсли страховая компания продает полисы по ценеµn =µ,nто средняя прибыль компании раняется нулю. Число µn называетсятакже чистой ценой (или рисковой премией) и, в случае равенства реальной цены страховых полисов числу µn , говорят о действии принципаэквивалентности. В реальной деятельности, конечно, страховые компании помимо µn , включают в цену страховых полисов дополнительную величину, называемую нагрузкой, которая учитывает флуктуациивыплат, затраты страховой компании на сам процесс страхования сприемлемым для компании уровнем прибыльности и т.п.1 В развитыхстранах выбор нагрузки в определенной степени регламентируется действующим законодательством.Обозначим через νi нагрузку (рисковую надбавку), соответствующую i-му полису.
Окончательно, перед началом страховых выплатстраховая компания имеет капиталS+nXνi + µ ≡ R + µ.i=1Величина R называется свободным резервом.Таким образом, рисковая ситуация страховой компании характеризуется двумя элементами: R и F (x), то есть парой (R, F (x)). Здесьможно выделить две проблемы:1. Страховая компания так должна определить свою политику инагрузку, чтобы риск был в том или ином смысле “минимальным”или, по словам Краме́ра, отклонения от оптимальной политикипричиняли как можно меньше неудобств.2.
Страховая компания должна проанализировать данную рисковую ситуацию и попытаться ее “оптимизировать” с помощью некоторых механизмов перестрахования.ПустьY = R + µ − X,1В России нагрузкой называется часть цены полиса, покрывающая затраты страховой компании и приносящая ей доход. Упомянутая в тексте дополнительная величина складывается из понимаемой в указанном выше смысле нагрузки и рисковойнадбавки.4.2.
Сравнение рисковых ситуацийтогда случайная величина Y представляет собой конечный капиталстраховой компании. Обозначим через G(y) функцию распределенияслучайной величины Y , то естьG(y) = P(Y < y).Тогда при R + µ ≤ yG(y) ≡ 1,а при R + µ > yG(y) = 1 − F ((R + µ − y) + 0).Таким образом, между функциями распределения G(y) и рисковымиситуациями (R, F (x)) устанавливается взаимно однозначное соответствие, и мы можем вместо всех рисковых ситуаций страховой компании рассматривать множество вероятностных распределений, им соответствующих. Далее в этом разделе мы кратко остановимся на некоторых принципах теории сравнения вероятностных распределений.
Более полный материал содержится, например, в книгах (Де Гроот, 1974),(Штойян, 1979) и (Булинская, 2001).4.2Сравнение рисковых ситуацийПеред тем как говорить о методах сравнения рисков или рисковых ситуаций, мы вспомним, что говорилось в предисловии к данной книге отом, что мы подразумеваем под словом “риск”. Риском мы назвали совокупность значения возможного ущерба в некоторой стохастическойситуации и его вероятности. В качестве математической конкретизацииэтого “определения” рисков мы договорились использовать, в зависимости от особенностей рассматриваемой задачи, случайные величины(если имеется возможность описать единое вероятностное пространство, на котором определены эти случайные величины, характеризующие риски) или функции распределения (если риски отождествляютсясо случайными величинами, заданными на разных вероятностных пространствах).Следовательно, задачу сравнения рисков (с целью выбора “наименее рискованной” и/или более выгодной стратегии поведения в условиях стохастической неопределенности, типичной для страхования) мыестественным образом можем свести к задаче сравнения случайных величин и/или их распределений.
Принципиальной особенностью же какзадачи сравнения случайных величин так и задачи сравнения распределений является то, что в отличие от вещественных чисел, как случайные величины, так и их распределения могут быть несравнимыми,2032044. Сравнение рисковых ситуацийбудучи функциями (случайные величины – функциями элементарного исхода, функции распределения – вещественного аргумента, то естьзначения возможного ущерба). Однако для решения конкретных практических задач уметь сравнивать риски необходимо.Средства для сравнения рисков предоставляет теория сравненияслучайных величин и соответствующих им вероятностных распределений.В теории сравнения вероятностных распределений предполагается,что решения, принимаемые людьми в тех или иных ситуациях, определяются полностью, или хотя бы частично, предпочтениями, заданными на множестве вероятностных распределений величин возможногоущерба (или дохода).Рассмотрим некоторую страховую компанию и будем символамиx, y, .
. ., в зависимости от ситуации обозначать ее доходы или потери (неслучайные). Естественное упорядочение множества вещественных чисел ≤ задаёт отношение предпочтения ¹ на множестве доходовстраховой компании:x ¹ y ⇐⇒ x ≤ y,(4.2.1)доход y “не хуже” или “предпочтительнее” дохода x, если y не меньшеx.Однако, на практике доходы или потери страховой компании обычно описываются случайными величинами X, Y, . . .. Возникает вопрос:что означает, или как пониматьX ¹ Y,то есть, как понимать, что случайный доход Y “предпочтительнее” случайного дохода X?Нередко используется следующий, кажущийся вполне естественнымподходX ¹ Y ⇐⇒ EX ≤ EY,(4.2.2)то есть случайный доход Y “предпочтительнее” X, если математическоеожидание Y не меньше математического ожидания X.Весьма правдоподобная мотивировка подхода (4.2.2) основана назаконе больших чисел и состоит в следующем.
Пусть страховая компания на протяжении длительного время занимается страхованием однотипных рисков и пусть случайная величина X описывает случайныйдоход от страхования этого риска. Как в этой ситуации, хотя бы грубо, получить число, характеризущее случайную величину этого дохода? Если страховая компания за длительное время обслужила большое число n однотипных и независимых клиентов (или если портфель4.2. Сравнение рисковых ситуаций205страховой компании содержит большое число n однотипных и независимых контрактов), то у неё имеется n независимых случайных величин X1 , . . . , Xn , описывающих случайные доходы страховой компаниии распределённых так же, как и случайная величина X. Тогда среднийдоход страховой компании от одного контракта за это время (или приработе с упомянутым портфелем) имеет видX1 + · · · + Xn,nкоторый в силу закона больших чисел в определенном смысле близокк математическому ожиданию EX случайной величины X (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
