korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (811435), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Следует подчеркнуть, чтоприводимый ниже обзор ни в коем случае не может рассматриватьсякак полный. Интересующемуся данной тематикой читателю можно рекомендовать обзоры (Ротарь, Бенинг, 1994), (Эмбрехтс, Клюппельберг,1993), библиографические справки из (Beard, Pentikainen and Pesonen,1978), (Bowers et al., 1986), (Panjer and Willmot, 1992).Вопросам имитационного компьютерного моделирования процессовриска в этой модели посвящена работа (Collins, 1962). Метод рекурсивного вычисления распределения суммарного иска предложен в (Panjer,1981) и усовершенствован в (De Pril, 1986), (De Pril, 1989).
Отметим,что во всех этих работах предполагается, что точное распределениеиндивидуального иска полностью известно.В (Ротарь, Бенинг, 1994, с. 704–717) статическая модель рассмотрена довольно подробно, но во главу угла там поставлены не описанные выше задачи, связанные, прежде всего, с вероятностью “разорения"страховой компании, а вопросы сравнения рисковых ситуаций,оценивания риска, функций полезности, эмпирических принципов выбора страховых взносов.
Эти вопросы, будут рассмотрены в следующейглаве.В некоторых работах (в частности, (Bowers et al., 1986) и др.) содержится критика подхода, связанного с применением тех или иныхаппроксимаций для распределения суммарного иска. Главным недостатком “аппроксимационного"подхода считается недостаточная точность соответствующих приближенных формул и отсутствие приемлемых оценок точности аппроксимации. С этим, безусловно, следует согласиться, однако на практике избежать приближенных формул можно только в случае, когда распределения индивидуальных исков точноизвестны (например, в страховании жизни, когда выплаты практически всегда есть заранее известные величины).
К сожалению, полнаяинформация о распределениях исков имеется у исследователя далеконе всегда. Более того, отсутстве такой информации является скорееправилом, чем исключением. Поэтому перейдем к обзору некоторыхработ, связанных с аппроксимацией распределения суммарного иска виндивидуальной модели риска.Вопросы аппроксимации распределения суммарного иска “подходящим"обобщенным пуассоновским распределением рассмотрены в(1986) и развиты в (Čekanavičius, 1995).
Однако и в этих работах пред-3.2. Основные задачи теории индивидуального рискаполагается знание точного распределения индивидуального иска.Имеется ряд работ, в которых изучается асимптотика распределения случайной величины R, учитывающая только несколько моментовиндивидуального иска, в случае, когда величина N в том или иномсмысле считается очень большой. Отметим, что во всех этих работахвеличины премий Zj считаются одинаковыми и неслучайными: Zj ≡ Zдля всех j. Обычно при этом решается задача вычисления такой премии Z0 , что выполняется условие P {R ≥ 0} = 1 − ε, где ε – заданнаямалая величина (отметим, что указанная вероятность есть не что иноекак вероятность “неразорения"по данному страховому портфелю).Наиболее простым и “напрашивающимся"подходом является использование нормальной аппроксимации для распределения случайнойвеличины R (точнее, обычно аппроксимируется распределение суммарPного иска Y = Nj=1 Yj ).Соответствующие (достаточно простые и вытекающие из центральной предельной теоремы) формулы для ситуации неслучайного N содержатся в (Bowers et al., 1986), (Фалин, 1994) и других работах (пример таких формул можно найти в разделе 4.2 данной книги).
В (Bowerset al., 1986, с. 335) отмечается также, что использование нормальнойаппроксимации для распределения суммарного иска не является идеальным подходом, поскольку реальное распределение обладает положительной асимметрией, которой нет у нормального распределения. В(Bowers et al., 1986, с.
336–338) данный недостаток предлагается преодолеть с учетом третьих моментов рассматриваемых распределений ииспользования “сдвинутого"гамма-распределения.Другой подход к уточнению нормальной аппроксимации предложенв (Beard, Pentikainen and Pesonen, 1978, с. 42–45). В этой монографиипредлагается воспользоваться разложением Эджворта–Крамера и привычислении Z0 учесть первый член этого разложения распределенияслучайной величины Y . Этот подход (названный в (Beard, Pentikainenand Pesonen, 1978) NP-методом – “Normal Power Method") представляется с теоретической точки зрения более обоснованным, чем метод из(Bowers et al., 1986), так как при использовании нормальной аппроксимации, уточненной за счет асимптотического разложения, можно определить порядок точности соответствующих оценок (что в несколькоболее общей, чем в (Beard, Pentikainen and Pesonen, 1978), ситуациибудет сделано в данной книге).
В то же время аппроксимация с помощью “сдвинутого"гамма-распределения (Bowers et al., 1986) имеет эмпирический характер, так как не “поддерживается"соответствующимитеоретико-вероятностными результатами. В (Beard, Pentikainen andPesonen, 1978, с. 46–51) проведено сравнение различных методов ап-197198Математические модели страхового рискапроксимации распределения случайной величины Y . Отмечается, чтонадежность нормальной аппроксимации низка в том случае, когдараспределение индивидуального иска Yj имеет медленно убывающийхвост; NP-метод дает гораздо лучшие результаты, и авторы указанной работы рекомендуют, как правило, использовать этот подход (естественно, в том случае, когда третий момент случайных величин Yj “доступен", то есть может быть эффективно оценен).3.3Основные задачи теории коллективногорискаПод процессом риска мы будем понимать процесс изменения капитала,принадлежащего страховой компании.
Этот капитал изменяется вследствие двух причин: он увеличивается благодаря поступлению взносовот клиентов (страховых премий) и уменьшается из-за страховых выплат. Как правило (хотя не всегда), для чисто аналитического удобства рассматриваются математические модели изменения капитала, вкоторых страховые премии описываются детерминированной (неслучайной) функцией времени.
Однако процесс страховых выплат всегдасчитается случайным. Таким образом, сам процесс риска является стохастическим.Основной целью изучения процессов риска как математических моделей функционирования страховых компаний является оптимизацияпараметров деятельности страховых компаний таких, как, например,страховые тарифы (ставки страховых премий) и/или страховые выплаты. При принятии соответствующих решений можно руководствоваться различными критериями оптимальности. Например, можно, принимая во внимание стохастичность процесса риска, определить вероятностное распределение суммарных страховых выплат за рассматриваемый промежуток времени и, зная это распределение, вычислить размерстраховых премий, гарантирующий желаемый объем резерва с требуемым уровнем достоверности. Как правило, такие задачи, связанныес распределением суммарных страховых выплат (total claim size), решаются методами предельных теорем теории вероятностей, включающими как собственно предельные теоремы, так и теорию большихуклонений.Другим широко распространенным критерием оптимальностифункционирования страховой компании является вероятность разорения, под которой понимается вероятность того, что процесс риска опустится ниже некоторого уровня в течение определенного промежутка3.3.
Основные задачи теории коллективного риска199времени (конечного иди бесконечного). Задачи, связанные с изучениемвероятности разорения представляют еще одно важное направление втеории коллективного риска. Более того, как правило, задачи, связанные с распределением суммарных страховых выплат, решаются темиже методами, что и задачи теории индивидуального риска. Поэтомуименно задачи, связанные с изучением вероятности разорения, даютоснования говорить о математической теории коллективного риска како самостоятельном направлении страховой математики.Вероятность разорения рассматривается как функция основных параметров процесса риска. Одним из признанных основоположниковтеории коллективного риска является шведский математик Ф.
Лундберг. Именно в его работах (Lundberg, 1903), (Lundberg, 1926) былипоставлены задачи об отыскании вероятности разорения и приведеныпервые оценки этой вероятности, в частности, знаменитое ныне неравенство Лундберга (см. ниже). Однако его работы не содержали четких математических формулировок и были довольно трудны для однозначного восприятия. Поэтому возникновение математической теории коллективного риска обычно связывают с именем выдающегосяшведского математика Г. Краме́ра, в работах которого (Cramér, 1930),(Cramér, 1955) было начато систематическое изучение вероятности разорения. Его классические результаты, описывающие поведение вероятности разорения в зависимости от величины начального капитала,вошли во многие учебники по теории вероятностей.
Эти результатыстали основой для целого направления асимптотической теории риска, рассматривающей поведение вероятности разорения при неограниченно возрастающем начальном капитале. Эта проблематика остаетсяочень популярной и в настоящее время. Возникающие здесь задачиинтересны с математической точки зрения и требуют разработки новых методов исследования. Достаточно заметить, что даже при анализе классических моделей были использованы такие математическиесредства как факторизация Винера–Хопфа, тождество Спицера, теория мартингалов, теория марковских процессов и теория случайныхблужданий. Для создания и изучения более гибких и реалистичныхмоделей необходимо как учитывать новые факторы (инфляция, перестрахование и т.
п.), так и привлекать все новые и новые методы иподходы. При этом выявляются и новые закономерности. Например,необходимость учитывать возможность больших выплат приводит крассмотрению ситуации, когда распределения страховых требований(выплат) имеют “тяжелые хвосты", а это, в свою очередь, ведет к тому,что асимптотика вероятности разорения при неограниченно растущемначальном капитале приобретает совершенно иной характер, нежели в200Математические модели страхового рискаклассической ситуации, в которой выполнено так называемое условиеКраме́ра–Лундберга, заключаючееся в существовании экспоненциальных моментов у распределений страховых требований.Для подавляющего большинства моделей отсутствуют явные замкнутые формулы для вероятности разорения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
