goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 24
Текст из файла (страница 24)
126 1ЛАВА 5 парамагнитный цилиндр не только намагничивается, но и приобретает момент отдачи в сторону, противоположную вращению электронов, Так как наблюдаемый эффект для парамагнетиков оказывался очень малым, в опытах использовался резонанс; частота изменения тока в катушке была равна частоте собственных крутильных колебаний цилиндрика; при этом амплитуда существенно увеличивалась и делалась вполне доступной наблюдению. Существенно легче наблюдать вращение ферромагнитных образцов. По направлению возникающего углового момента можно было сделать заключение о том, что намагничивание действительно обусловлено движением отрицательных зарядов, т. е, электронов. Из опытов можно была вычислить и отношение магнитного момента 1з к механическому моменту М.
При этом ожидалось, что в согласии с формулой (5.25) эксперименты дадут На опыте обнаружилось, что отношение моментов ц,г14 в два раза больше ожидаемой величины. Этот результат показывает, что магнетизм связан не с ороитальпым, а с сооственным вращением, т.е. со спином электрона. Квантовая электродинамика вносит небольшие поправки в указанное соотношение и показывает, что собственный магнитный момент электрона превосходит магнетон Бора приблизительно на 0,1%, Этот вывод прекрасно подтверждается экспериментом.
Указанное различие носит название а н о м а л ь н о г о м а г н и т н о г о м о м е н т а электрона. На опыте наблюдается также эффект, обратный эффекту Эйнштейна и де Гааза: при закручивании ферромагнитных стерженьков происходит их намагничивание. Этот эффект наблюдался впервые Барнетом и носит его имя. ф 26. Полные угловой и магнитный моменты электрона Полный момент импульса электрона обозначается т и складывается из орбитального 1 и спинового в моментов: (5.44) э 26. ПОлныс УГЛОВОЙ и мхгиитиый мОмегпы электРОНА 12? Правила сложения моментов не зависят от того, являются ли моменты орбитальными или спиновыми. Поэтому квантовое число у (его иногда называют в н у т р е н н и м квантовым числом), определяющее полный угловой момент электрона, равно (5.45) —',1 ~ м — —.
~1 = 1,г2 ь При 1 ф О 2 принимает два значения, при 1 = О у = 1/2; 4 и у связаны обычным соотношением: 2 52.( + 1) (5.46) Проекция полного момента электрона на какое-нибудь направление (например, направление внешнего магнитного поля) кваптуется цо очевидному правилу 7', —.. йту, (5,47) где т, = +у, +Π— Ц, =Ц вЂ” 2),... (всего 2у 1 значений). Сложение спинового и орбитального моментов электрона приводит к сложению соответствующих магнитных моментов. Строгое теоретическое рассмотрение этого вопроса сопряжено с серьезными математическими трудностями. Читателей, интересующихся этим вопросом, мы отсылаем к учебникам по квантовой механике. Здесь мы рассмотрим сложение магнитных моментов с помощью векторной модели.
На рис. 52 сплошными линиями изображены угловыс моменты в, 1 и суммарный момент 4; за единицу длины этих векторов выбрана постоянная Планка 5. На том же рисунке изображены магнитные моменты 1А, и 125 за единицу длины векторов магнитных моментов выбран магнетон Бора. При таком выборе единиц вектор 12~ имеет ту же длину, гчГ' ,1 что вектор 1, а вектор р„ оказывается вдвое длинее, чем в. Суммарный вектор магнитного ,/' ГМ, момента 1хьуч поэтомУ не паРаллелен вектору 4. В центральном электрическом поле атома : 'и„„ (как и во всяком центральном поле) вектор 4 сохраняет модуль и направление. Векторы в рис. 52 Векторная модель и 1 направления не сохраняют из-за наличия сложения магнитных момагпитного взаимодействия.
Вместе с тем модуль в не меняется (з = 1г'2). Сохраняется и модуль вектора 1. Эта картина соответствует вращению векторов в и 1 вокруг суммарного вектора ~, Вместе с в и 1 вокруг 4 вращают- сЯ 1А„12~ и 12,уч. ПРи таком вРашении У вектоРа 1г.уч бУдет сохРанЯтьсЯ ГЛАВА 5 128 только проекция 1т на направление вектора 1. Проекция, перпендикулярная к направлению 1, быстро вращается, ее среднее взаимодействие со внешними магнитными полями равно нулю, и среднее значение самой проекции также равно нулю.
Таким образом, поведение электрона во внешних полях характеризуется проекцией суммарного магнитного момента на направление полного момента р, . Поскольку векторы 1 и 1А параллельны друг другу, можно записать: (5.48) Козффициент пропорциональности д для частиц носит название г и р о— м а г п и т н о г о о т н о ш е и н я, а для атомных злектропов называется ф а к т о р о м Л а н д е. Как нетрудно понять, гиромагнитное отношение равно отношению магнитного момента, выраженного в числе магнетонов Бора, к механическому моменту, выраженному в числе постоянных Планка.
Рассчитаем фактор Ланде с помощью векторной модели. Суммарный механический момент равен 1 = 1+ в, а суммарный магнитный момент определяется формулой -1хстя = Цн1-- 2цвв Проекция гх„„ на 1 равна Вектор и, равен пазтому 11 —. 2в1 1А3 2 двЗ дрвзй Множитель Ланде д, следовательно, равен д = —,, (11 -': 2в1) =.- — [1(1 —: в) й 2в(1 1 в)~ =" 1 ... 1, 1а+ 2ва -г ЗВ1 3 1 3 умножим зто соотношение на1з: дза =-1 —; 2вз+ ЗВ1. э 2?. ТонкАЯ стРУктУРА УРОвпей Атомх ВОД<>РОДА 129 При переходе к квантовой механике 1-, 1~, в~ и в1 следует заменить их операторами (напоминаем, что фактор Ланде д — это просто число и в замене не нуждается): д~ = 1 — 2в ч- 3(в1).
Найдем среднее значение дЯ. Мы уже отмечали (см. (2,26')), что опе- раторные равенства приводят к равенству средних величин. Поэтому дЯ~)) —.. ((1 )) + 2Ква)) — , '3((в1)). Средние значения З~, 1а и в~ нам известны; зто уЦ+1), 1(1+1) и а(а+1). Среднее значение в1 можно вычислить следующим образом. В классической физике 1=в — '1. Возведем это равенство в квадрат и выделим член 2в1 в левую часть: 2в1 =1а — в~ — 1~. Рассматривая зто равенство как операторное и снова заменяя его равен- ством средних величин, найдем 2' Найденные выражения следует подставить в формулу для д.
Подстановка дает д = 1 + 3(у + 1) —. '( + 1) — 1(1+ 1) (5.49) 2дО - 1) В 27. Тонкая структура уровней атома водорода и водородоподобных атомов Вернемся к атому водорода. Формула (5.12) для энергии уровней водорода и водородоподобных атомов была получена при решении уравнения Шредингера, т. е. нерелятнвистского уравнения, не учитывающего спина электрона. Волновое уравнение, учитывающее релятивистскую зависимость массы от скорости и спин электрона, было предложено Дираком (1928 г.).
Решением этого уравнения для уровней водородоподобных атомов является не (4.18), а несколько более сложная формула, так называемая формула тон кой с тру к тур ы. Эта формула приведена 1ЛАВА 5 в конце параграфа, так как до ознакомления с нею полезно выяснить, каким образом спин электрона должен влиять на положение энергетических уровней атома. Качественные рассуждения, к которым мы сейчас переходим, справедливы для любых атомов, а не только для водородоподобных.
Рассмотрим электрон, у которого ! ф О. С орбитальным механическим моментом связан магнитный момент и, следовательно, некоторое магнитное поле Вг. Проекция спина электрона на направление этого поля может, как мы уже знаем, принимать два значения, так как та = = +1)2. Таким образом, для электрона с ! ф О возможны два состояния, Уэ = ! + 1)г2 и Уз = ! — 1(2. Собственный (спиновый) магнитный момент электрона в этих состояниях по-разному взаимодействует с магнитным полем, которое возникает из-за орбитального движения (с п и н - о р б итал л ь н ое в з а и м од ей ст вне).
Поэтому энергия этих двух состояний различна. Уровни энергии с неравным нулю значением ! являются поэтому не одиночными, а двойными. Так как величина магнитного поля, создаваемого орбитальным движением электрона, зависит от (, то состояния с одинаковым главным квантовым числом п, но с различными значениями ! и у обладают несколько разными энергиями. Расщепление уровней с данным п из-за магнитного взаимодействия спинового и орбитального движения электрона носит название т о н к о й с т р у к т ур ы.
«Топкой» она называется потому, что расщепление уровней мало по сравнению с расстсэянием между уровнями с различными и. Однако это расщепление отчетливо проявляется в оптических спектрах и хорошо изучено на опыте'. На рис, 53 изображена схема спин-орбитального расщепления уровня с м —.- 2. Уровень с ! =-.
О не расщепляется: а-состояния с т, =. ш1гг2 имеют одну и ту же энергию, так как «орбитальное магнитное полез в этих случаях отсутствует. Для обозначения уровней с одинаковыми 1, но с различной энергией используется классификация, учитывающая значение квантового числа у. Так, например, 2р,уз означает, что электрои находится в состоянии с и, = 2, ! = 1 и у = 1т(2; в состоянии 2рзуз электрон при тех же значениях и и ! обладает у —... 3,)2. В $ 20, говоря о вырождении уровней, мы не учитывали спин-орбитального взаимодействия и связанного с ним расщепления и получи- гСпнн-орбнтальное расшепленне представляет сооой не единственную причину сдвига атомных уровней. Ва всех атомах, кроме водородаподобных (н, конечно, самого водорода), большую роль играет «экраггнроваггне» поля ядра полем других атомных электронов. Величина экраннровання зависит от радиального положения электрона. а значит — прн данном п — от велнчнны ((напомннм, что п = п + () У водородоподобных атомов имеется всего один электрон н экраннрованне отсутствует.
Однако н в этом случае, кроме спин-орбитальной связи, следует учитывать релятнвнстскне поправки, которые приводят к дополнительному сдвигу уровней. э й?. ТОнкАЯ стРУктУРА УРОвннй Атомх ВОДОРОДА гз! ли, что кратность вырождения каждого уровня с данным и равна '2г!з. Теперь мы видим, что такое глубокое вырождение имеет место лишь с точностью до спин-орбитального взаимодействия. Спин-орбитальное взаимодействие снимает вырождение по орбитальному моменту, так что уровни оказываются вырожденными только по значениям проекций полного углового момента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
