goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1ллвл а призму свет мог быть поляризован как угодно или не быть поляризован вовсе. Что же дает исследование света с помощью призмы Николя? Что означает результат опыта, состоящий в том, что после прохождения через призму Николя свет разделяется на два луча, плоскополяризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях? 11ервый и самый важный вывод заключается в том, что любое поляризационное состояние фотона может быть представлено как суперпозиция двух (и только двух() независимгях состояний (если бы состояний было больц1е, то после прохождения через призму Николя кванты оказались бы частично поглощенными либо распались бы не на две, а на большее число групп).
Эти два независимых состояния могут быть выбраны по-разному. Чтобы убедиться в этом, проще всего повернуть призму Николя на некоторый угол вокруг оси, совпадающей с направлением пучка; плоскости поляризации лучей повернутся на тот же угол. Известно, далее, что любое поляризационное состояние фотона может быть описано не только с помощью двух плоскополяризоваиных компонент. Так, например, оно может быть представлено как суперпозиция двух циркулярно поляризованных состояний (право- и левовращающихся). Второе заключение состоит в следующем. Выберем в плоскости, перпендикулярной к лучу, некоторое направление и будем изучать поляризацию света относительно этого направления (например, с помощью призмы Николя). Как бы ни было выбрано это направление, измерение всегда покажет, что фотон поляризован либо по этому направлению, либо перпендикулярно к нему.
Или, что то же самое, проекция вектора поляризации фотона на любое перпендикулярное к лучу направление всегда равна лиоо нулю (вектор поляризован перпендикулярно к этому направлению), либо единице (вектор поляризации параллелен выбранному направлению). Вернемся теперь к опыту по измерению проекции углового момента на какую-либо ось. Формула (5.3) показывает, что при измерении всегда будут найдены целочисленные значения этой проекции и что, следовательно, любое состояние системы может быть представлено в виде ряда (5.4). Физическая ценность первого утверждения несомненна. Второе утверждение не имеет особой ценности и с точки зрения математики является очевидным, В самом деле, любая однозначная непрерывная функция азимутального угла зс периодична с периодом 2гтп Согласно теореме Фурье любая такая функция может быть разложена в ряд (5.4). Таким образом, формула (5.4) не накладывает никаких ограничений на вид ш-функции.
Здесь следует предостеречь читателя от поспешных выводов. Если в начале рассуждений могло показаться, что квантование проекции $18. У1ловой момн1п углового момента требует полного пересмотра всех представлений о пространстве, то недостаточно внимательное чтение этого параграфа может создать впечатление, что вообще ничего существенно нового как будто и не возникло. Оба вывода неверны.
Смысл и важность полученных результатов огромны. Они будут обсуждаться на протяжении всей книги. Квадрат углового момента. Найдем теперь возможные значения квадрата углового момента ЛХз. Прямой подход к решению этой задачи требует решения уравнения, получающегося при подстановке в (2.28) оператора квадрата углового момента ЛХз: ЛХ ф = ЛХ'ьч Однако оператор ГХЯ имеет громоздкий вид и решение задачи требует знакомства со специальными функциями (с полиномами Лежандра).
Поэтому мы подойдем к задаче о нахождении возможных значений квадрата углового момента с несколько другой стороны. В классической механике квадрат углового момента равен сумме квадратов его проекций на координатные оси; Уя ЛХЯ + ЛХ2+ У2 В квантовой механике это равенство следует понимать как формулу, связывающую соответствующие операторы, ЛХ2 ЛХз + (Хз ЛХ2 и средние значения, (Ма) = (ЛХз) — (ЛХ„') + (И„'). (И,'.) = (ЛХ„') = (ЛХ') ( ') =-8( Хз).
и, следовательно, (5.5) Рассмотрим частицу, движущуюся в сферически-симметричном поле. Пусть квадрат ес углового момента имеет некоторое определенное значение. Задание квадрата углового момента определяет состояние частицы не полностью, так как при этом проекция углового момента на ось з может принимать разные значения. Нас будет интересовать сферически-симметричное состояние частицы с заданным значением квадрата момента. Так как ось з ничем не выделена из остальных координатных осей, то при сферически-симметричном состоянии частицы 1ЛАВА 5 1О2 Симметричное решение, конечно, не обладает какой-либо определенной проекцией углового момента, так как все такие состояния ограничивают область углов, в которых может находиться вектор М.
Оно является суперпозицией решений со всеми возможными проекциями ЛХ,. Более того, в симметричном решении все проекции на любую ось, в том числе и на ось, равновероятны и потому представлены с одинаковым весом. Поэтому (ЛХ~) равно среднему из всех возможных значений ЛХз. Согласно (5.3) возможные значения ЛХ. равны целому числу постоянных Планка 6: ЛХ, = О, ЛЛ6, Хь26, ..., -.спи „,6. Максимальное значение проекции момента ЛХ.
по модулю не может превышать!ЛХ~. Обозначим максимальное значение т через 1, так что т„,, = 1. Мы уже знаем, что 1 — целое положительное число. Выпишем полный набор возможных значений ЛХ, и ьи ЛХ, =16, (1 — 1)6...., ( — 1)Хц т = 1, (1 - Ц, ..., 1, О, -.1,..., --1,. (5.6) Мы видим, что при всяком данном 1 проекция момента ЛХ„может принимать 21+ 1 различных значений: одно нулевое, 1 положительных и 1 отрицательных.
Среднее значение (ЛХ~а) равно поэтому 1'+(1 1)а, ( 1) 1з, 2з, (ЛХз) = 6з = 26з 21 — 1 21 ч- 1 26~ 1(1 = Х)(21 Х) 6а 1(1 - 1). 21-1 б 3 Подставив полученное значение (ЛХз) в (5.5), получим Д,Х2 621(1 1) (5.7) где 1 — целое положительное число (или нуль). Формула (5.6) перечисляет все значения ЛХ,, возможные при данном 1. Равенство (5.7) определяет закон квантования квадрата углового момента.
Сравнение формул (5.6) и (5.7) показывает, что ЛХ,,„< ЛХв при любом значении 1 > О, так как ЛХз,„,х =. 6з1з, а ЛХз — -- 6 1(1+ 1). Этот результат, непонятный в рамках классической физики, легко объясняется в квантовой механике. Исследование показывает (мы примем этот э!9 ВРАШАтелъные УРовни молекул. МолекУлЯРныь спектРы !03 результат на веру), что проекции момента ыа две различные оси, например М„и ЛХи, не могут бь|ть одновременно известны; для них существует соотношение неопределенности, аналогичное соотношению неопределенности для координаты и импульса.
Зафиксировав состояние с определенным ЛХз, мы вносим неопределенность в проекции ЛХ и ЛХР. Средние значения (ХРХЕ) и (ЛХЕ) в таких вразмазапныхь состояниях, конечно, отличны от пуля: (ЛХе) > О, ,'ЛХ~а) > О. Поэтому ЛХа = ((ЛХа) — (ЛХе) + (М')) > М:'. В отличие от двух проекций вектора М, квадрат,иомента ЛХе и одна из его проекций, например ЛХ„могут быть определены одновременно. (Л4ы примем это утверждение также без доказательства.) Более того, в квантовой механике доказывается, что задание ЛХ, и ЛХЕ полностью определяет вра|цательыое состояние частицы. Обратимся к математическому смыслу полученных формул.
Состояние с данным ЛХе определяется заданием одного (или набора) из 21 г 1 возможных значений ЛХя. Таким образом, ряд (5.4) при заданном ЛХЕ = — — ае1(1, !) состоит из 21+ 1 членов. Конечно, вращательное состояние системы с данным ЛХе не обязательно уточнять, задавая именно проекции на ось и, хотя такой способ является общепринятым. Как бы мы, однако, ни задавали вращательное состояние системы с определенным М, для этого всегда нужно указать 21 чисел (последнее (21 гг 1)-е число определится из условия нормировки)'. Конкретный набор чисел, определяющих состояние, зависит от выбора осей и от особенностей описываемого состояния.
Напомним в заключение, что при экспериментальном измерении проекции углового момента на какую-либо ось получается одно из 21 — 1 возможных значений. 919. Вращательные уровни молекул. Молекулярные спектры В предыдущем параграфе мы с помощью квантовой механики выяспилн основные свойства угловых моментов микрочастиц. Главным результатом, который мы получили, является квантование момента и его проекций. Свойства угловых моментов, установленные в 9 !8, подтверждаются громадной совокупностью экспериментальных данных. Однако лишь 'Строго говойя, чтог|ы полностью задать состояние системы, следует еше указать сдвиг фаз между состояниями с разлияныыв т. Для обсуждения вопйосов, излагаемых в этой книге, сдвиг фаз не представляет интереса.
104 1ЛАВА 5 немногие из них могут быть рассмотрены на базе материала, изложенного в предыдущих главах книги. Большую часть экспериментальных данных мы рассмотрим в следующих главах, посвященных сложным атомам и атомным ядрам и их магнитным свойствам. Здесь же остановимся на в р а щ а тел ь н ы х 1ротационных) уровнях молекул и ядер. Рассмотрим квантовомеханический ротатор, изображенный на рис. 40 и являющийся моделью двухатомной молекулы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
