goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Такие задачи решаются, но находятся вне рамок данного курса. Точный расчет показывает, что у осциллятора, взаимодействующего со светом, могут осуществляться переходы только между соседними уровнями; остальные переходы «запрещены» и происходить не могут. 1ЛАВА 3 Этот результат можно понять и без расчета, с помощью принципа соответствия. Будем рассуждать так; при очень больших и квантовомеханическое решение должно совпадать с классическим, а классический результат приводит к единственному значению резонансной частоты ото =- „гь':у'т.
Значит, по крайней мере для высоких уровней должны существовать правила, запрещающие протаскивание через несколько уровней. Так как картина уровней от величины и не зависит, то следует ожидать, что это правило справедливо для любых и. Здесь следует указать, что невозможность апрыжков» через несколько уровней связана не со свойствами осциллятора, а с особенностями его взаимодействия со светом1.
При других методах возбуждения, например при электронном ударе, такие переходы вполне возможны. Рис. 26. Волновая функция осциллятора при разных квантовых числах. Рис. 27. Распределение частицы при осцилляторном потенциале. На рис. 2б изображены графики рыфункций, являющихся решением уравнения (3.2б) при и, = О, 1, 2 и 6; вдоль оси х отложены отрезки, равные амплитудам колебаний классического осциллятора при Е, рав- 'Сформулированное здесь правило, на самом деле, не является таким жестким и справедливо только для дипольпых переходов, которые обычно и происходят в атомных системах.
Адультипольные переходы могут происходить между уровнями, которые не являются соседними. э!1. ЛинейныЙ ГАРмоническиГ! Осциллятог ных Е„. На рис. 27 сплошными кривыми изображены кривые распре- 2 деления плотности вероятности ~ф(л)( для тех же состояний квантового осциллятора, а пунктиром — плотность вероятности найти классический осциллятор в окрестности точки м. Мы видим, что при малых квантовых числах п квантовомеханический осциллятор ведет себя совершенно иначе, чем классический. Вероятность найти классический осциллятор всегда является наибольшей для точки поворота, так как в этих точках его скорость равна нулю, а для квантовомеханического осциллятора вероятность оказывается максимальной в точках, соответствующих «пучностям» и-функции. При больших и усредненная кривая для распределения плотности вероятности квантовомеханического осциллятора хорошо согласуется с кривой для классического осциллятора.
Отметим еще одну особенность квантовомеханического осциллято- 2 ра. Из рис. 26 и 27 видно, что ф(м), а следовательно, и ~ф(л)~ не равны нулю за точками поворота (т.е. вне пределов, ограничивающих движение классического осциллятора). Такое поведение ф-функции, как уже объяснялось в предыдущем параграфе, связано с тем, что она должна быть непрерывной и гладкой везде, в том числе и у точек «поворота». Применим полученные выводы к колебаниям молекул. Молекулы состоят из связанных между собой атомов. Связь осуществляется внешними (валентными) электронами атомов; внутренние электроны, расположенные наиболее близко к ядрам атомов, в образовании молекул не участвуют.
Мы не будем здесь рассматривать природу химических сил, объединяющих атомы в молекулы. Этот вопрос будет подробно обсуждаться в гл. 11. Ограничимся хорошо известным из опыта утверждением, что при равновесии входящие в состав молекулы атомы находятся на таком расстоянии друг от друга, при котором силы притяжения и отталкивания уравновешивают друг друга и потенциальная энергия минимальна. При сближении или удалении атомов энергия возрастает по параболическому — в первом приближении — закону. Входящие в состав молекулы атомы могут колебаться друг относительно друга. При малых колебаниях молекулы ведут себя почти как идеальные гармонические осцилляторы, так что нижние колебательные уровни эквидистантны.
Наличие дискретных колебательных уровней у молекул приводит к появлению в молекулярных спектрах линий, связанных с переходами между этими уровнями. Мы уже отмечали, что правила отбора разрешают переходы только между соседними колебательными уровнями и, таким образом, весь колебательный спектр слабо возбужденной моле- ГЛАВА 3 ?4 кулы должен состоять всего из одной линии'. Так как расстояния между колебательными уровнями сравнительно невелики (О, 1 — 1 зВ), то такие линии обнаруживаются в инфракрасных спектрах поглощения молекул (Л =- 0,5 — 5 мкм). К спектрам молекул, в том числе и к колебательному, мы вернемся в гл. 5, после того как познакомимся с вращательными уровнями молекул. гПри больших амплитудах колебаний (соответствуюших высоким уровням) отличие закона изменения погенциальной энергии от параболического (ангармонизм) становится все более заметным.
Сделанные выше выводы при этом перестают быть точяыми. ГЛАВА 4 ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ Простейшими атомными системами являются атом водорода и в одор одо и одо б н ы е атом ы, т.е. такие атомы, у которых в поле ядра находится только один электрон. К водородоподобным атомам относятся однократно ионизированный атом гелия Не ' с зарядовым числом У = 2, двукратно ионизированный атом лития 1.1зч с г, = 3 и т.д. ф 12. Энергетические уровни водородоподобных атомов Потенциальная энергия водородоподобного атома равна з'еа 7г1г) = — — „ (4.1) потенциальная кривая изображена на рис.
28. Уравнение Шредингера для электрона в атоме (Е ( 0) имеет вид Цг) — — 2 э1 -- и —.... Еф, (4.2) йз, яеэ 2т где т — масса электрона. Физический смысл, как всегда, имеют лишь однозначные, конечные, непрерывныс и гладкие решения этого уравнения. Выражение (4.1) сферически-симметрично. Поэтому целесообразно решать уравнение (4.2) в сферических координатах г, д,,э (рис.
18). В общем случае волновая функция является функцией трех координат: ь" =- =- ф(г, д, „э). Мы ограничимся, однако, исследованием сферически-симметричных решений, т.е. решений, не зависящих от углов д и Эв При этом, конечно, большое количество решений будет потеряно. К ним мы вернемся несколько позже. ГлАвА 4 ?6 72 2."а .=- —,, + — —. е(га " Й. (4.3) Подставим (4.3) в уравнение Шредингера (4.2): 6а е( тз 2 г(ф Уеа Обозначив а~в,ГеЬ = ф' и гРф/й'- = сд", получаем гр + — д+ — ф=й~, ,л 2,! )У г' г (4.4) где ,3 = 2птХе'/йд, Йа = — 2тпЕ2'6~. (4.5) Чтобы упростить зто уравнение, произведем замену переменных.
Поло- жим Ф (г) = и(г) Тогда и' 1 ж и" 2 ~ 2 ер = — — — и, ф = — — — и+=и. га Подставляя эти выражения в (4.4), получим уравнение Шредингера в виде и 2-о — =А. и. (4.7) Исследуем это уравнение. Прежде всего изучим поведение функции и(г) на бесконечности. При е -е ею членом (3/г)и можно пренебречь по сравнению с А~и.
Поэтому при больших г вместо (4.7) получим Решение этого уравнения имеет вид и =Ае А" +Не~", 'Вывод выражения РНЗ) приведен в Приложении и. Воспользуемся выражением оператора Лапласа в сферических координатах, когда ф зависит только от г~ ф 12. Энввгвтичсскив х овни водогодоподовных хтомов ?? и .—.. е ~?(г). (4.9) Поскольку поведение и(г) при больших г правильно описывается функцией е ~", функция 7'(г) при г оо должна изменяться медленнее, чем экспонента.
Найдем производные от еи и =- — Йе '? -~-7'е и" =. 1 е в"?' — 2ке ~г?'+ ?""е Подставим эти выражения и (4.9) в (4.7); после приведения подобных членов получим У-- йу 1'У-О. (4.10) Решение этого уравнения будем искать в виде степенного ряда ?(г) = ~ а„аг~. (4. 11) Подставив (4.11) в (4.10), получим ~ а т(т — 1)г~ ~ — 2А ~ пытг~ 1 3 ~ а,„г"' 1 = О.
(4.12) ааа= 1 Так как равенство (4.12) должно удовлетворяться тождественно для любых значений г, сумма коэффициентов при любой степени 1 должна равняться нулю. Приравняем нулю сумму коэффициентов при г" (4.13) а„1(п + 1)п — 2йа„п -~- За„— — О. Из (4.13) легко получить рекуррентную формулу для коэффициентов ряда (4.11) 2йп — д П„Ь1 = а„ (4.14) п(о, + 1) где А и  — некоторые константы.
Функция и „остается ограниченной в бесконечно удаленной точке лишь в том случае, если В = О. Следовательно, и, —. Ае" '. (4.8) Функция (4.8) не является решением уравнения (4.7), но правильно отражает поведение этого решения на бесконечности. Поэтому будем искать решение уравнения (4.7) в виде ГААВА 4 ?8 В зависимости от величины д ряд (4.1!) может оказаться бесконечным или может оборваться на некотором и-и члене, т.
е. свестись к полиному. Если ряд не обрывается, то при п -ч ж Фп 2к ао-1 .=- ио а„, и+1 и+1 (4.1о) Оттава 2К Б -1- 1 Такая рекуррептна я формула, ка к нетрудно убедиться, справедлива для коэффициентов ряда с2"" = ~~ —,(2)сг)". (4.18) Таким образом, если ряд, в который разлагается функция 7"(г), не оказывается полиномом, то при больших и функция 7(г) ведет себя как ехр(2аг), и 6(г) растет с увеличением г как (1)г) ехр(кг), т.е. неограниченно возрастает. Это решение, следовательно, должно быть отброшено.
Рассмотрим теперь случай, когда ряд (4. !1) обрывается на и-м члене. При этом для некоторого и числитель в (4.14) должен обращаться в нуль: 2Ин —,д = О. Таким образом, ряд оканчивается на и;м члене, если (4.17) Й = д)2п, Ем = — япнтс 2)12 пз или (418) ьфбозначим через Ь„и Ь„е~ коэффициенты ряда (4.18) при т" и т"' т и составим аня ния отношение Ь„-т (2Д) + в' 2Ь ''ь,',"' ( +1))(2ь)ч ' -'!'' что совпадает с (4.15). где и — некоторое целое число. Подставляя в (4.!7) значения й и,,З из (4.5), найдем возможные значения энергии водородоподобных атомов: 9 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
