goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При Е ( сг мы вынуждены были положить в уравнении (3.6) В = О. Позтому сшивание 'Можно было бы записать это решение в виде Мг = Р Мп(згзз+д), однако приведенное в тексте выражение, как будет видно из дальнейшего, имеет более простой физический смысл. 62 1ЛАВА 3 решений привело к двум уравнениям, с помощью которых нужно было найти всего один коэффициент С. А это возможно не при всех, а лишь при некоторых, характерных для рассматриваемого случая, значениях энергии. Вернемся к обсуждению формулы (3.1!). Разделив эту формулу на Йг, получим ск(кгп) = 1 1 )"'2 В правой части этой формулы стоит существенно отрицательная величина (о выборе знака к см. текст после формулы (Злб)). Чтобы левая часть равенства также была отрицательной, необходимо, чтобы ктп лежало в областях я,г2 ( )гта ( и, 3т~2 ( Иго, ( 2п и т, д.
Во всяком случае, необходимо, чтобы выполнялось условие кга > я/2. Возведя зто неравенство в квадрат и заменяя )г-,' через й с помощью (3.4), найдем Вспомним теперь, что стационарные уровни возникают лишь в том случае, если Е ( сг. Поэтому уровни в потенциальной яме рассматриваемого вида возникают лишь при условии, что Уа > 2 2 8т ' В левой части этого неравенства стоят параметры потенциальной ямы, а в правой — только постоянные числа и универсальные постоянные.
Если полученное нами условие не выполнено (потенциальная яма слишком узкая или слишком мелкая), в ней не помещается ни одного энергетического уровня. Такие случаи встречаются не так уж редко. Силы взаимодействия между двумя нейтронами являются силами притяжения, однако ядра, состоящего из двух нейтронов, в природе не существует. Лналогичным образом не существует и ядра, состоящего из двух протонов. В обоих случаях потенциальная яма сил притяжения недостаточно глубока для образования связанного состояния.
Сила притяжения между нейтроном и протоном не намного больше сил, действующих между двумя нейтронами или двумя протонами. Этого небольшого различия, однако, достаточно для того, чтобы у уравнения Шредингера появилось $ 9. Прямою ольнля потшгциальнля ямл. Принцип соотввтствия 63 одно решение. Соответствующее связанное состояние нейтрона и протона называется дейтроном. Посколысу в этом случае имеется всего одно решение, дейтрон не имеет возбужденных состояний'.
Исследуем поведение тб-функции внутри потенциальной ямы. Для бесконечно глубокой ямы ! рафики этих функций изображены на рис. 20. Ограничимся решениями, приведенными на рис. 20. При возрастающих значениях и решения испытывают все более быстрые колебания и много раз обращаются в нуль. Таким образом, пространство, в котором движется частица, оказывается разбитым уулями смфункции па ряд отдельных областей. ют( ') л ю Рис. 20. тжфупкция частицы в бес- Рис. 21. Распределение частицы конечно глубокой потенциальной в бесконечно глубокой потенциальяме.
ной яме. Вероятность найти частицу в окрестности любой точки пропорци,я ,2 ональна д(ю): . На рис. 21 приведены графики для ~~(л) при и = ГБолее подробно эти вопросы рассматриваются в гл. !4. йт .—" ягго, кг =- 2я,га, Йт = Зи,га, ут(ю) = Аз!п(ят,,го) п!эи и = 1, ~(т) = Аз!п(2ял,Га) при и .— — 2, рэ(ю) = Аз!п(3июгго) при и = 3. 64 1ЛАВА 3 = 1, 2, 3.
Мы видим, что в низшем энергетическом состоянии (и = 1) с наибольшей вероятностью частицу можно найти посередине ямы; вероятность нахождения частицы вблизи краев ямы равна нулю. Такое поведение частицы резко отличается от поведения «классической» частицы, которое мы обсуждали в начале параграфа. Заметим, что минимальное значение, которое может иметь энергия частиц в яме, т.е, значение энергии при и — — 1, отлично от нуля: Е, =- 2таз В классической физике частица может «лежать» на дне ямы. В квантовой физике это невозможно. И это можно было предсказать заранее, до решения задачи. Ведь помещая частицу в яму, мы тем самым ограничили область возможных значений ее координаты; у такой частицы в силу принципа неопределенности должен существовать разброс по импульсам, а следовательно, и отличная от нуля энергия.
Попробуем определить эту энергию по порядку величины без точного решения — на основании принципа неопределенности. Неопределенность положения частицы в нашем случае равна а. Поэтому Ьх = а. Согласно соотношению неопределенностей (1.33) 2яй 2лй а Мы уже выяснили (2.27), что (рв) =- (р)з -. ((Лр)з). В нашем случае положительные и отрицательные р равновероятны, так что (р) = О. Поэтому (р") ((т) р) ' .-' -'бз 2т, 2т 2таз та Сравнивая полученное выражение с Е,, убеждаемся в том, что мы нашли правильный по порядку величины результат.
Вернемся к рис. 21. Видно, что с увеличением энергии (т. е. с ростом з квантового числа и) максимумы кривой ~ ф(х), располагаются все ближе и ближе; при очень больших значениях максимумы и минимумы следуют друг за другом так быстро, что при не очень точных опытах (практически при любых опытах с макроскопическими телами) картина «сливается» и представляется равномерным распределением, известным из классики. Оценим расстояние между уровнями. Для этого возьмем логарифмическую производную от равенства (3.!3); ЬЕ,,Ьо 2 2 $9.
ПРямоугг»лънАИ потенциАльнАя ямА. ПРинцип сООтВетствия 65 Из полученного равенства видно, что расстояние между энергетическими уровнями, отнесенное к величине энергии, уменьшается с увеличением п и для очень больших п так малб, что распределение разрешенных значений энергии оказывается практически непрерывным. Мы уже ввели ранее критерий, при выполнении которого достаточную точность дает классическая физика, и применять формулы квантовой механики не обязательно. Этот критерий был записан в виде Х » Л. Смысл его заключается в том, что при длинах волн, много меньших размеров системы, в которой движется частица, квантовомеханические особенности частиц оказываются несущественными.
В рассмотренной задаче действует, вообще говоря, этот же самый критерий. В самом деле, с увеличением энергии (числа и) длина волны Л уменьшается, и при тех же размерах системы (в нашем случае — потенциальной ямы) критерий применимости классической физики выполняется все лучше. При больших квантовых числах, как мы видели, частицы начинают вести себя совсем «по-классически». С увеличением размеров системы (с увеличением ширины потенциальной ямы) «квантовомеханическая частица» при все меньшей энергии превращается в «классическую частицу». В этом легко убедиться, решая конкретные примеры с различными значениями ширины ямы а.
Таким образом, при определенных условиях (при больших и) квантовая физика переходит в классическую физику; поведение частип при выполнении этого условия все более утрачивает особенности, характерные для микрочастиц. Этот результат является частным случаем общего физического принципа — п р и н ц и па с о от ве тот в и я. Согласно этому принципу любая новая теория, претендующая на большую общность, чем общепринятая теория, обязательно должна переходить в старую, классическую теорию в тех условиях, в которых «старая физика» была построена и проверена на опыте.
Квантовая механика, как мы видим, принципу соответствия удовлетворяет. Перейдем к яме с конечной высотой стенки. Как следует из (3.10), в области Т1 решение не равно пулю и имеет вид спадающей экспоненты. Это означает, что частица может заходить в область, где Е < (Т, но, как и следует ожидать исходя из принципа соответствия, вероятность нахождения в этой области тем л»еньше, чем дальше мы отойдем от края ямы.
В классической физике частица вовсе не может заходить в области с Е < ЕГ, так как при этом кинетическая энергия частицы оказалась бы отрицательной. В квантовой механике, как мы видим, такая ситуация возможна. Объясняется это тем, что равенство Е = Т -, Г в квантовой механике нельзя понимать как численное равенство. В квантовой механике это равенство справедливо для операторов Е =- Т вЂ” О и для 66 1ЛАВА 3 средних значений (Е) = (Т)+ (У).
Численное равенство Е' = Т и- П для мгновенных значений Т и ст в микромире невозможно уже потому, что оно бессмысленно: как мы уже отмечали, потенциальная и кинетическая энергия в силу принципа неопределенности не могут одновременно принимать определенные значения. В самом деле, потенциальная энергия зависит от координат, а кинетическая — от импульса частицы.
Поэтому не следует удивляться тому, что в некоторых точках пространства полная энергия оказывается меньше потенциальной. Рассмотрим обсуждаемый вопрос еще с одной точки зоЬепия. В области Т! волновая функция пропорциональна экспоненте е '", где кз = ,гам мГь в р р г быстро падает с увеличением х. При значении х = 1/йа волновая функция уменьшается в е раз, а вероятность найти частицу на таком расстоянии от границы ямы уменьшается в ез раз, т.е, почти на порядок. Примем значение х = 1 Гкз за меру неопределенности положения частицы в запретной зоне и обозначим ее Ьх, л. ч~ 2 я/ — 6). В этом выражении под корнем стоит «нехватка» энергии У вЂ” Е.
Если бы под корнем стоял нуль, то частица могла бы сколь угодно далеко заходить в запретные области. В /2 гу е) р Ф ' у терпретироваться как «нехватка» импульса бр. Следовательно, бр = й,гЬх. Мы знаем, что неопределенность импульса выражается приближенным равенством Ьр = 2яй,гЛх. Таким образом, «нехватка» импульса, как и следовало ожидать, по по- рядку величины равна его неопределенности. $10. Потенциальный барьер. Туннельный эффект Проникновение частиц в область, где потенциальная энергия оказывается больше полной, может проявляться в ряде важных физических явлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
