goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2А/ (, й ) \ 6') 2А/ Мы видим, что формула (2.14) действителыю быстро приводит к правильному ответу. Общее утверждение квантовой механики заключается в том, что среднее значение любой физической величины 7 находится по формуле (2.17) где ! — о и е р а т о р физической величины ). Мы уже установили вид 7' для х и любой функции от т. Сравнение (2.4) и (2.5) с (2.17) показывает, что оператор х приводит к простому умножению на х, а оператор ) (х) — к умножению на функцию Дх). Мы нашли также оператор р(х). Он определяется формулой (2.15).
В этой связи нужно только отметить, что для простоты изложения до сих пор формулы писались так, как если бы ф-функция всегда зависела от одной координаты х. В общем случае в расчет следует принимать все три пространственные координаты, так что вместо (2.!7) нужно писать (7) = О/ Ю (х, у, з)У(х, у, а)ьч(х, у, з) ах пуда, $6. Опаглтогы 4? или (2, 18) где сЛ' — элемент объема. Операторы трех проекций импульса можно написать по аналогии с (2.15): Рв — - - 16 —., Р„= -16 —,, Ря — -- -16 с .
(2, 19) или в векторной форме: р —... — 16х?, (2.20) 7'= — = — (р,+р +р'). р 1 з, 2 2т, 2гп (2.21) Оператор кинетической энергии равен поэтому 2пт( х = — [( — 16 —,) ( — 16 —,) + ( — 16; —,) ( — 16 —,) + ( — 16 — ) ( — гй —,)], т. е. (2.22) Определенный формулой (2.22) оператор Т может быть использован для нахождения среднего значения кинетической энергии по формуле (2.!8) или (2.17), если известна гыфункция частицы. Рассмотрим, например, волну де Бройля (2.16) ьз(х) = ехр(г †'х), распростра- 1 /Рж 2А няющуюся вдоль оси х. Так как выфункция в этом случае не зависит от координат у и х, нет нужды прибегать к (2.18) и можно применить для где х? — оператор градиента. Операторы х и р являются основными операторами квантовой механики.
Укажем правило, позволяющее находить операторы всех других физических величин. В декартовой системе координат формулы, которые классическая физика выводит для связи между числовгями значениями физических величин, в квантовой механике следует рассматривать как формулы, связывагои1ие операторы этих величин. Так, например, связь между кинетической энергией и импульсом в обычной механике определяется формулой 1ЛАВА 2 вычисления (Т) формулу (2.17). Замечая, что дифференцирование по р и 2 обращает ф-функцию в нуль, получим (Т) — -- / ф'(х)ТЯхфх = А — — 2/ ехр( — 1 — х) ( — —, ) ехр(т — х)с(х =. 2 7 . 2 Ртп 1 Рт 2тйА / 2т,' (Т) = / ф'Тфйг — ~ ф — '' (р.' -' Р.„' ь р'М )Р = — -- — / с1 р. фсЛ: — —,/ аз р ь'тЛ' —, —, / ф р саЛт =.
2т/ и 2т/ Я ' 2т/ '2т '( *) (РР) В общем случае эта формула не приводит к классической связи между энергией и импульсом. Чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что, вообще говоря', (12.') Ф (1зя)'. 'Рассмотрим. например, средний импульс и средний квадрат импульса у частицы, импульс которой с равной вероятностью принимает значения а и Ь. Средний импульс частицы равен (а Ь Ь)72. Квадраты импульса частицы в первом и втором состояниях равны соот- как и должно быть. Конечно, такой простой результат возникает не всегда. Он получился здесь потому, что в состоянии, описываемом простой волной де Бройля, импульс и кинетическая энергия имеют вполне определенные значения.
Средние значения этих величин совпадают с этим единственным значением. Покажем, что для достаточно крупных, классических объектов сформулированное правило вычисления операторов обеспечивает выполнение обычных законов классической механики. Для крупных объектов неопределенности координат и импульсов оказываются несущественными по сравнению с размерами и импульсом самого тела. ф-функции таких тел и распределения по другим физическим переменным крайне узки.
Практически следует считать, что эти величины имеют одно-единственное, «классическое» значение (которое, конечно, может быть измерено с помощью опыта). Средние значения физических величин поэтому совпадают с этим единственным значением, Рассмотрим в качестве примера связь между энергией и импульсом какого-нибудь большого тела. В соответствии с (2.22) и (2.18) его средняя энергия равна $ 6. Опврлторы При очень узких распределениях, когда средние значения совпадают с единственными, формула дает что находится в согласии с классической физикой. Найдем оператор полной энергии частицы. Этот оператор называется оператором Гамильтона Й (по аналогии с гамильтонианом классической механики). С помощью обычных правил получим (2.
28) При выводе была использована формула (2.22). Оператор потенциальной энергии Гг, как оператор всякой функции координат, равен самой функции. Найдем, наконец, оператор момента импульса. Будем исходить из формулы классической механики 1 ) к! М=,'гхр) = х у Ра Ру Р Выпишем в явном виде оператор проекции момента импульса на ось -: ЛХ, = тр„— УР = х( — И вЂ”,) — у( — тй —,) = — тй(х —, — у —,). ду дх ду дх Перейдем к сферическим координатам г, д, со, связанным с декартовыми координатами х, у, а соотношениями (рис. 18) "= гсозд, х = тяп дсозд, у = гяпдяттсо. (2 24) С помощью (2.24) выразим частную производную по ьо через производные по декартовым координатам; д дх д ду д дз д д.
дгп дх дуо ду ду д- = — гзшдзшу —, гяпдсозР—, = — у —, +х —, д ., д д д дх ду дх ду' ветственно оа и Ьа. Средний квадрат импульса (аа — Ьа)/2 не равен квадрату среднего импульса '(а - Иггз) 1ЛАВА 2 50 Сравнивая это выражение с формулой для М.-, найдем ~ГХх = — И вЂ” ' 11 дэ2 (2,25) (Е) =- 1 ф*й! Т =- 1 ф*(т + ХЭ)фа — — 1 А*Т! гПг+ 1 '*Ой г)р; или (2,26) (Е) —.. (Т) — (Ег), Среднее значение полной энергии равно сумме средних значении кинетической и потенциальной энергии.
Это утверждение не эквивалентно утверждению классической физики о равенстве ч и с л о в ы х з на ч е н и й Е и Т+1Х. При обсуждении этого различия следует помнить, что кинетическая энергия зависит от импульса, а потенциальная энергия — от координат частицы.
В силу соотношения неопределенностей потенциалшгая и кинетическая энергия частицы не могут одновременно иметь определенных значений, так что простое числовое равенство в духе классической физики невозможно. Формула (2.2б) показывает, однако, что классическая связь сохраняется между средними значениями Е, Т и ХХ. Формула (2.2б) может быть легко обобщена. Повторяя рассуждения, которые предшествовали этой формуле, нетрудно показать, что из операторного соотношения Вид оператора ЛХ, похож на вид операторов для проекций импульса (2.19). Этому не следует удивляться. В аналитической механике показывается, что уэ и ЛХ, являются обобщенной координатой и обобщенным импульсом. В квантовой механике играет больРис.
18. Связь декартовой и сферической систем коорди- шую роль оператор квадрата момента имнат. пульса ЗХ . Он имеет, однако, сложный вид, , 2 и мы в этой книге им пользоваться не будем. Вернемся к формуле (2,23) для опера- тора полной энергии. Найдем с помощью этой формулы связь между средними значениями полной, потенциальной и кинетической энергий: з?. СОвственные сОстояния возникает равенство (А) = (В) + (С) (2.26') для средних значений. Остановимся на связи между средним значением некоторой величины х (не обязательно координаты!) и средним значением ее квадрата ха. Всякое конкретное значение х может быть представлено в ниде суммы среднего значения этой величины и некоторого добавка Лх: х = (х) + Ьх. Возьмем среднее от обеих частей равенства.
Так как среднее значение суммы равно сумме средних значений (это следует из (2.!)), то немедленно получим (Ьх) = О. Найдем теперь среднее значение х~: (х ) = (((х) + етх) ) = (((х ) + 2(х) Ьх — (тзх) )):, (х) и (х) — это числа. Их средние значения равны им самим. По той г же причине среднее значение 2(х)Ьх равно нулю. Имеем поэтому (2.27) Среднее значение положительной величины (Ьх)в (она носит название д и с и е р с и и) не может быть отрицательным и обращается в нуль в том единственном случае, когда Ьх тождественно равно нулю, т.е.
когда нет никакого распределения, и величина х в условиях поставленной задачи точно определена (и поэтому выражается некоторым определенным числом). Формула (2.27) указывает критерии, позволяющий во всякой конкретной задаче проверить, имеет ли интересующая нас физическая величина некоторое распределение или является числом. Для этого достаточно сравнить (хв) и (х) . ф 7. Собственные состояния Среди задач о нахождении ьмфункций частиц в различных состояниях особенно важна задача о состояниях, в которых какая-нибудь. величина имеет вполне определенное значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
