goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Такие состояния принято назь1вать собст вен н ы и н состояниями этой физической величины. Мы пока встречались с единственной 6-фун1кцией такого рода — с волной де Бройля вида ехр(г — 'х), описывающей состояние, (,д'' й?. Совствспныв состояния Уравнения типа (2.28), вообще говоря, являются уравнениями в частных производных. Математика учит, что для однозначного решения таких уравнений нужны дополнительные ограничения, например граничные и начальные условия. Условия, которые накладывает квантовая механика на решения уравнений (2.28), имеют несколько другой характер: физический смысл могут иметь лишь решения всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие.
В качестве примера с помощью (2.28) найдем тнфункцию состояния, в котором проекция импульса р, имеет определенное значение р Подставляя в (2.28) в качестве оператора ?' оператор проекции импульса — юй —,, получим д дл' Этому уравнению (и всем необходимым условиям!) удовлетворяет функ- ция ф =- С ехр(г — х), й являющаяся хорошо известной плоской волной.
Выясним теперь, какая связь существует между операторами физических величин и числовыми значениями этих величин, наблюдаемыми на опыте. Произведем опыт по измерению какой-либо физической величины ?. В результате опыта возникает некоторое число — измеренное значение величины г'. Пусть при измерении обнаружилось, что г" имеет значение (гь Это не означает, что до опыта значение величины / равнялось ?о; эта величина могла иметь, некоторое распределение, из которого эксперимент выбрал найденное значение ?о. Поскольку, однако, это значение найдено, состояние системы после опыта описывается ф-функцией с определенным значением г, т.е. функцией, являющейся решением уравнения,?тйь = ?очч.
Мы можем поэтому утверждать, что на опыте могут быть найдены лишь такие значения ?о величины ?, при которых (2.28) имеет решения, удовлетворяющие сформулированным выше требованиям. Функции, являющиеся решением уравнения (2.28) и удовлетворяющие условиям конечности, непрерывности, однозначности и гладкости, называются собственными функциями оператора ?; те значения гв, при которых такие решения существуют, называются с обес т в е н н ы м и з н а ч е н и я м и физической величины ?.
Таким образом, набор собственных значений для оператора ?' определяегп значения ?о, которые могут быть найдены из опьгта при измерении физи гееной величины ?. 54 1ЛАВА 2 При исследовании (2.28) нередко оказывается, что конечные, однозначные, непрерывные и гладкие решения могут быть найдены не при всех, а лишь при некоторых дискретных значениях зо. Набор собственных значений физической величины иногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным: )оы Да, Дз,... Опыт показывает, что в таких случаях измеренные значения г действительно оказываются дискретными и совпадают с собственными значениями го,. Хорошим примером дискретности в микромире являются оптические спектры атомов, которые состоят из ряда отдельных тонких линий.
Существенным различием макромира и микромира является то, что в макромире все объекты одного сорта различны, а в микромире — одинаковы. В самом деле, все дома различны, все люди разные, не бывает двух в точности одинаковых песчинок и т. д. И наоборот: опыт свидетельствует, что все электроны одинаковы, все протоны одинаковы и все атомы одного сорта тоже вполне одинаковы. В точности одинаковы и спектры, испускаемые атомами одного и того же сорта (например, атомами водорода или атомами гелия и т.д.).
ф 8. Уравнение Шредингера Перейдем к изучению изолированных физических систем, т.е. систем, настолько слабо связанных с окружающим миром, что этой связью можно вовсе пренебречь. Как известно, у таких систем сохраняется энергия. Их состояния, следовательно, описываются ~':-функциями, удовлетворяющими (2.28), в котором в качестве г' фигурирует оператор полной энергии системы. Подставляя в (2.28) значение оператора полной энергии (2.23), находим (2.30) Это уравнение играет важнейшую роль в квантовой физике и носит название у р а в н е н и я Ш р е д и н г е р а для стационарных состояний (стационарными в квантовой механике называются состояния с неизменной энергией).
Уравнение (2.30) может быть записано в более компактном виде, если для оператора дз/дхз+ д'/дрз+ дз~дзз, называемого обычно оператором Лапласа, ввести общепринятое обозначение х: 55 з 8. УРАВнение ШРедингвРА гй~ =. 11Ф. дг (2.32) Обсуждение этого уравнения выходит за рамки книги Уравнение (2.30) получается из общего уравнения Шредингера, если гамильтониан Й явно не зависит от времени. В этом случае волновая функция Ф может быть представлена в виде произведения функции г)г(х, р, з), зависящей только от координат, и функции Ф(1), зависящей только от времени, так что Ф(г * ен ) =Ф( д* )Ф(1). Подставляя это выражение в (2.32) и деля обо части полученного уравнения на Ф(т, х, р., з), найдем где 1 -,, — — =- — Н Ф.
Фдг Ф Левая часть этого уравнения зависит только от времени, а правая — толысо от координат. Они не зависят, следовательно, нн от координат, ни от времени и равны некоторой константе. Обозначив эту константу через Е, найдем дж гй — = Ер, НФ = Евч г(г Первое из приведенных уравнений приводит к уже известной зависимости вол- новой функции от времени Чг(1) = ехр( — г — 1), Е а второе совпадает с уравнением Шредингера для стационарных состояний, т. е.
с (2.30). 'Об исключениях нэ этого правила см. текст после формулы (3.8). Физический смысл имеют лишь конечные, однозначные, непрерьгвные и гладкие решения этого уравнения~. В отличие от уравнений Ньютона уравнение Шредингера является не просто дифференциальным уравнением, а дифференциальным уравнением в частных производных. Такие уравнения аналитически решаются крайне редко. Поэтому в квантовой физике существует очень узкий круг задач, решаемых в аналитическом аиде до конца. Однако можно научиться оценивать результат и в тех случаях, когда точное решение не может быть получено из-за сложности уравнения.
Для этого в следующей главе будут проведены исследования общих свойств решений уравнения 1Предингера па простых примерах, когда такие решения можно получить и проанализировать полностью. В заключение отметим, что уравнение Шредингера для стационарных состояний является частным случаем более общего уравнения 1Предингера, описывающего поведение любых нерелятивистских систем: ГЛАВА 3 ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ. КВАНТОВАНИЕ ЗНЕРГИИ. ТУННЕЛЬНЫЙ ЗФФЕКТ 99. Прямоугольная потенциальная яма. Принцип соответствия Рассмотрим случай, когда потенциальная энергия частицы У(я:) равна нулю на отрезке О < л < щ обращается в бесконечность при и < О и равна некоторой положительной величине Г при ж > а (рис. 19)'.
Если полная энергия частицы Е < сУ, то говорят, что частица находится в «потенциальной яме». Рассмотрим вначале, как будут себя вести в такой яме классические частицы. На отрезке О < ж < а они движутся с постоянной кинетической энергией и, следовательно, с постоянной скоростью. Энергия частип в яме может иметь любое значение. При О К Е < У частицы не могут выйти за край ямы, потому что вне ямы потенциальная энергия болыпе полной и кинетическая энергия должна была бы иметь отрицательное значение, что невозможно.
Подойдя к краю ямы, частицы «отражаются» от стенки и движутся в противоположную сторону, там снова отражаются и т. д. Таким образом, частицы, подчиняющиеся классической физике, отсутствуют вне потенциальной ямы и могут быть с равной вероятностью найдены в любом месте ямы Частицы, подчиняющиеся квантовой механике, ведут себя сушественно иначе. Основные особенности движения могут быть поняты без расчетов.
Мы уже знаем, что ф-функция частицы должна быть непрерывной и гладкой. Поэтому ф-функция не может «оборваться» у прая вой стенки и должна продолжаться за ней-, хотя за краем ямы полная 'для простоты мы рассматриваем одномернущ эадачу. тО том, как ведет себя ьмфункция при обращении потенциальной энергии в бесконечность. мы поведем речь ниже. После этого можно оудет обсуждать поведение ьифункции у левов стенки. $9. Пгямо«толы!Ая потвпцнхлы!Ая ямА. Пгинцип соответствия 5? дг г/» а — — „+ (?(т)в! = Есь 2ш г/д;в (3.1) Так как функция 1/(х) является ступенчатой (рис. 19), то для решения задачи удобно разбить область изменения л на два участка с постоянными значениями 11, получить решения для каждого участка в отдельности, а затем «сшить» их так, чтобы б-функция была непрерывной и гладкой. Область л < О, как будет нидно из дальнейшего, интереса не представляет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
