goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Рассмотрим потенциальную яму, изображенную на рис. 22. Этот случай отличается от случая, изображенного на рис. !9, тем, что область, в которой потенциальная энергия отлична от нуля, занимает не все полупространство х > а, а узкую область от а до Ь. Область э 10. 1!ОтенциАлъный БАРъеР. Туннелъный эФФехт 6? а, < ш < (л где Е < П, называют в этом случае потенциальным барьером. Запрем в начале опыта серию частиц в области 0 < ю < а. экспоненциально падающее п(м) решение (3.10) в точке 6 будет мало, но все-таки отлично от нуля. Наши частицы смогут по- 1 П 1П этому проникнуть в область 111, расположенную за потенциальным барьером, и уйти из Š— — — — — —— потенциальной ямы. Попавшие в область 1?) частицы беспрепятственно уходят в сторону и о Х больших м и обратно не возврап1аются.
Соответствующая еофункция имеет вид бегущей Рис. 22. Потенциальный (уходящей) волны. Через достаточно большой барьер. промежуток времени все частицы уйдут из области 0 < ж < а. Просачивание частиц сквозь потенциальный барьер носит название туннельного эффекта. Как ясно из предыдущего, задача о проникновении частиц сквозь потенциальный барьер является примером из квантовой механики нестационарных систем (систем, состояние которых зависит от времени).
Рассмотрение таких задач, вообще говоря, выходит за рамки этой книги. Формула (3.10), однако, позволяет сделать важную оценку, основанную на том, что туннельный эффект происходит медленно, и задача о проникновении частиц сквозь потенциальный барьер является «почти стационарнойа, так что без большой погрешности для расчета можно применять (3.10). ныфункция частиц за потенциальным барьером отличается от ннфункции перед барьером множителем е "ць "). Вероятность нахождения частицы определяется квадратом волновой функции. Плотность частиц за барьером поэтому отличается от плотности частиц до барьера множителем РЙ О =,-*ЕЕЕ- > = еЬтв-О~ЖР-трии1.
РСЕ> Величина Р называется прон ицаемостью барьера. Важным примером прохождения частиц сквозь потенциальный барьер является ст-распад радиоактивных ядер. При ст-распаде материнское ядро испускает ст-частицу, состоящую из двух протонов и двух нейтронов и превращается в дочернее ядро. На рис. 23 изображен график потенциальной энергии взаимодействия а-частицы с дочерним ядром. При 'Как ясно иа вывода, формула (3.20) справедлива только для «понти стационарных» решений, т. е. при Еу « Е 68 1ЛАВА 3 больших расстояниях между ядром и оичастицей их взаимодействие с хорошей точностью описывается законом Кулона (3.21) Утт(г) = Уе зе/г, где Яе — заряд дочернего ядра, -е — за03г) ряд о-частицы (а = 2). Этот участок кри- 13 И вой обозначен на рис.
23 римской циф- рой П. При малых расстояниях между В дочерним ядром и о-частицей начинают сказываться короткодействующие силы притяжения — ядерные силы. Поэтому при малых расстояниях потенциальная энергия меняет знак и становится отрицательной. Зависимость ядерных сил от расстояния плохо известна. Сколько-нибудь точно восстановить форму поРис. 23. Потенциальный баРьер тенциальной ямы в области г не удастся.
К счастью, результат расчета не очень к этому чувствителен, так что в области 1 яму просто считают прямоугольной. Ширина прямоугольной ямы близка к размерам ядра. Для тяжелых элементов, расположенных в конце периодической системы, радиус ядра гл по порядку величины равен 10 ш см. Рассмотрим в качестве примера ст-распад эшро, Заряд ядра полония равен 84е. Полоний испускает оичастицы с энергией 5,30 МэВ; его период полураспада равен !38 дням.
Дочернее ядро эовРЬ имеет заряд, равный 82е. Вычислим высоту потенциального барьера — значение потенциальной энергии в точке А (рис. 23). С помощью (3.2!) найдем уе 2е 82 2(4 8 10 — »о)э У = ' = ' =3710 з р =23МэВ, гл 10 '-' Мы видим, что энергия г»-частиц существенно меньше высоты барьера, так что с»-распад возможен только в результате туннельного эффекта. Формула (3.20) описывает вероятность прохождения частиц под прямоугольным барьером, в то время как форма барьера при а-распаде скорее «треугольная», чем прямоугольная. Выражение для прозрачности барьера произвольной формы в общем виде получить не удается.
Приближенное же значение для проницаемости барьера можно получить, заменяя истинную форму барьера суммой прямоугольных участков, как это показано на рис. 23. Г!олная картина прохождения частицы сквозь з!1. ЛинейныЙ ГАРмоническнг! Осцнллятог что П = ехр( — 2 ~ ~сгг, —,(У, — Е))— 1Я Ф -, р(-21 й — — '"1и! ! — л]л). Рн! гл Оценка показателя экспоненты в формуле (3.22) дает значение, близкое к 60. Таким ооразом, проницаемость кулоновского барьера для о-распада оказывается очень малой, а периоды полураспада радиоактивных ядер, которые обратно пропорциональны коэффициентам прозрачности, наоборот, очень велики.
ф11. Линейный гармонический осциллитор. Колебательные уровни молекул На рис. 24 изображен классический гармонический осциллятор, представляющий собой шарик с массой т, прикрепленный к пружине. Если мы направим ось л вдоль оси пружины и за начало отсчета примем положение равновесия шарика, то сила Г, действующая на шарик, будет связана с координатой а: формулой Рис 24. Модель гармониче- ского осциллятора. (3.23) где й — жесткость пружины. !1отенциальная энергия шарика à — йлз/2. (3.24) Будучи выведенным из состояния равновесия, такой шарик совершает гармонические колебания с частотой шв — Хй,г т.
(3.2о) такой барьер складывается из ослабления волновой функции при движении на отдельных участках и из последовательных отражений от границ участков. Если барьер достаточно плавен (его высота мало меняется на расстоянии, равном длине волны), отражения не очень существенны, и ослабление волновой функции в основном определяется се затуханием при движении в областях с Е < 6г. В этом случае проницаемость всего барьера Р равна произведению проницаемости П, соответствующих участков.
При перемножении показатели экспонент складываются, так 1ЛАВА 3 7О Из (3.24) видно, что потенциальная кривая гармонического осциллятора является параболой (рис. 25), Поэтому задача о гармоническом осцил- ляторе — это задача о поведении ~астицы в потенциальной яме парабо- лической формы. Ь ~" ы, й 2 — — + — т б=Е1ц йгп г(тд 2 (3.26) Используя полученные выше выводы, мы можем предсказать, что решение будет удовлетворять всем необходимым условиям не при всех, а лишь при некоторых дискретных значениях энергии осциллятора, так как при удалении от положения равновесия потенциальная энергия быстро возрастает и колеблющаяся частица не может «уйти на бесконечность».
Точное решение уравнения (3.26) приводит к следующему выражению для спектра возможных значений энергии осциллятора (математические выкладки слишком длинны, и мы их опускаем): Б'„= 1) — „, ь( — —,). = О. 1, 2... Вводя обозначение ~о †-- хггй/т, найдем Е„.—.- йпо(п-, — ). (3.27) К задаче об осцилляторс всегда сводятся () задачи о малых колебаниях.
В точке равновесия потенциальная энергия имеет минимум. Разложение потенциальной энергии в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия начинается поэтому с квадратичных членов. При малых отклонениях всеми остальными членами можно пренебречь и колебания можно считать гармоническими. В атомной физике к осциллятору сводит- Рнс 26, Уровни энергии сЯ задача о колебаниЯх молекУл и многие дРУ- и разрешенные переходы гие важные задачи. При решении таких задач для гармонического ос- следует, конечно, применять не классическую, цнллятора.
а квантовую механику. Для решения задачи о квантовомеханическом осцилляторе необходимо найти конечное, однозначное, непрерывное и гладкое решение уравнения П!редингера при ст = ктз/2, т.е. урав- нения з!1. ЛинейныЙ ГАРмоничесхиг! Осциллятог Выражение для шо совпадает с (3.25) для частоты классического осциллятора. Как и следовало ожидать, наименьшее значение энергии осциллятора не равно нулю: при и — —. 0 Ев .—... )коо/2. Значение Ео называется «нулевой энергией». Квантовомеханическая частица нс может «лежать» на дне параболической потенциальной ямы, точно так же как она не может лежать на дне прямоугольной или какой бы то ни было другой потенциальной ямы конечной ширины.
1'1орядок величины для Ео может быть оценен из соотношения неопределенностей. Сравним (3.27) с (3.13) для возможных значений энергии в прямоугольной яме. В отличие от энергии уровней в прямоугольной яме, энергия осциллятора пропорциональна первой степени и, так что энергетические уровни находятся на равных расстояниях друг от друга (эквидистантны). Эти энергетические уровни изображены на рис. 25. Осциллятор «может находиться» на любом из изображенных уровней энергии, но не между ними. Чтобы «раскачать» осциллятор, нужно добавить ему энергию, равную разности энергий соседних уровней: «'.ьЕ = Е ! — Е» = 6 'о. Если передача энергии осуществляется посредством фотона, то для частоты фотона имеем ~~ = !»Е,ГЙ = шо. (3.28) Остановимся на некоторых особенностях классического и квантовомеханического осцилляторов.
У классического осциллятора зависимость амплитуды колебаний от частоты раскачивающей силы имеет резко выраженный резонансный характер; осциллятор реагирует лишь на одну частоту, равную частоте собственных колебаний шо .—, 47пт. Квантовомеханический осциллятор на первый взгляд кажется способным поглощать целый набор частот, кратных частоте (3.28), и переходить при этом с пулевого на один из верхних уровней (пунктирные стрелки на рис. 2з). Чтобы выяснить, как обстоит дело с реальными микроскопическими осцилляторами, например с молекулами, необходимо изучить процесс взаимодействия света (фотонов) с молекулами и научиться писать и решать уравнения для систем, меняющих свое состояние во времени (в процессе взаимодействия).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
