goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Назовем область О < ж < а областью ! и все решения в этой области снабдим индексом П Область л > а назовем областью П и припишем индекс 2 решениям во второй области. Уравнение (3.!) в области 1 примет вид /?(л) О а Рис !9. Прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокой стенкой при з . †.. О. Й~ «/ ьз! , Е«/« 2гц г/жз (3.2) а в области 11 запишется в виде 32 — — — Огь в = Е«дз. 2гп г/а;з (3.3) Введем обозначения ;,в 2тЕ 1= 1в /сз~ = ~(/? .- Е). (3А) При этом уравнения (3.2) и (3.3) примут простой вид: г/'О! ., г/'-»!в йг'!ь! = О, /гзю2 = О.
г/лз г/лз (3.5) энергия меньше потенциальной. Следует ожидать, что этот заход в запретную с классической точки зрения область будет тем меньше, чем тяжелее частицы, так как очень крупные, «классические» частицы в области с Е < 11 заходить не могут. После этих предварительных замечаний перейдем к точному решению задачи о движении частицы в потенциальной яме. Уравнение Шредингера в одномерном случае имеет вид 1ЛАВА 3 Как следует из (3.4), йт~ и йза — величины положительные. Решая урав- нения (3.6), найдем ф~ =-.4В1П(йта-' Э.) ЫЗ = Всйв СЕ (3.6) В формулах (3.6) А., .а, В.
С вЂ” некоторые константы. Примем теперь во внимание условия, которым должна удовлетворять 1,'.-функция, Учтем прежде всего, что т5-функция должна быть всюду конечной (в том числе и в бесконечно удаленной точке!), Будем считать йв положительной величиной (выбор отрицательных значений вместо положительных приводит просто к обмену местами первого и второго членов второй формулы (3.6)). Член ехр(йат) при х — ~ оо неограниченно возрастает. Поэтому необходимо, чтобы В =- О. Потребуем, чтобы решения Уч и т5а в точке а были равны (чтобы решение было непрерывным) и переходили одно в другое без излома (чтобы оно было гладким).
Приравнивая т1ч(а) и фа(а), найдем .4а1 (й а —, -) = С. 'ь'ч. (3. 7) Полагая Щ/г(л в точке а равным Щз/г(л, получим йд А сов( йз а + э) = — йж Се ~". Деля эти два равенства друг на друга, найдем Гй(йта — ' Эг) = — йг/йз. (3.8) Сд(йта :р) = О, что возможно лишь в тех случаях, когда в1п(йга + э",) = О, а значит, и уд(а) обращается в нуль. Мы замечаем, таким образом, что в точке, где потенциальная энергия бесконечно возрастает, ж-функция обращается в нуль. За стенкой 6-функция начинается с нулевого значения, а далее может только затухать, как это следует из (3.6). Она, следовательно, остается равной нулю, Производная г(ф1 фл при сг— ос в нуль не обращается.
Мы видим, таким образом, что в т о чке, где потенциальная энергия обращается в бесконечность, 11-функция обращается в нуль, остается непрерывной, по перестает быть гладкой. Потеря гладкости является «наказаниемл за нефизическое допущение Исследуем прежде всего случай, когда 6г очень велико.
Как следует из (3.4), йг при увеличении 6г не изменяется, а йз возрастает. Поэтому при (à — оо отношение йг,1йз — О. При бесконечно высокой стенке, следовательно, $9. ПнямоугОлъиАя потецциАлы!Ая ямА. ПРинцип сООтветствия 59 о том, что потенциальная энергия обращается в бесконечность. Ио даже при таком допущении ф-функция Остается непрерывной. Проведенные выше рассуждения полностью применимы к бесконечно высокой левой стенке ямы, т, е, при !г —..
О функция ьб! должна обратиться в нуль. Имеем поэтому мнфункция остается равной нулю налево от точки т = О, т.е. при всех отрицательных значениях х. Уравнения (3,6) с учетом (3,7) и (3.9) сильно упрощаются и приобретают окончательный вид: !!! = АВ1п()гтл), ф~ = Сехр( — lгзл). (3.10) Вместо уравнения (3.8) получим (3. Щ 18(ига) = .-йг/й . В уравнение (З,П) не входит ни одна произвольная константа, и из него следует, что решение задачи имеется не при любых значениях параметров. Если задаться шириной а и глубиной СТ потенциальной ямы, уравнение (3.11) в силу (ЗА) определяет возможные значения Е. Однако это уравнение является трансцендентным, и рассматривать его неудобно. Отложим поэтому дальнейшее обсуждение уравнения (З.П) и рассмотрим вначале более простой случай, когда не одна, а о б е с т е н к и у ямы бесконечно высокие.
Так как при этом йг!!ага —. О, то уравнение (3.11) принимает простой вид: Тя(йта) = О. (3.11') Уравнение (3.11') удовлетворяется при А!а=Ил, и=1,2,3, или А! =-. хпуа. (3.12) Решение й! = 0 (при а = 0), которое формалыю удовлетворяет уравнению (3.11'), на самом деле является лишним. В самом деле, при и! = 0 функция фг, а вместе с ней н см тождественно обращшотся в пуль. Это означает, что речь идет о случае, когда частицы в яме нет. Решения приобретают смысл при целых и, начиная с единицы. 1ЛАВА 3 бО От решения (3.12) с помощью первого из равенств (3.4) перейдем к возможным решениям для энергии 6 2 и я а Е=.— к,=- " и, а=1,2,3, 2т 2гпаз (3,13) '-2==в(Е - ) кл2 2га Е йа (3, 14) и вместо (3.5) найдем т, в д '»«2 а +»ю зьт = О; + ма э»в = О.
да'д2 (3. 15) Решение первого уравнения имеет вид, аналогичный первому из ра- венств (3.10): А' Формула (3.13) показывает, что частица, «запертая» в потенциальной яме, может иметь только дискретные, квантованные значения энергии. Эти значения принято называть у р о в н я м и э н е р г и и Для бесконечно глубокой ямы вычисление положения уровней, как мы видели, легко доводится до конца в общем виде. В произнольном случае положение уровней вычисляется с помощью уравнений типа (3.11), которые проще всего решать графически.
Выясним причину, по которой возникает квантование энергии. Решения уравнения Шредингера в отдельных областях пространства, приведшие к (3.10), сами по себе к квантованию энергии не приводят. Квантование возникло из-за того, что мы сшивали волновые функции на границе областей, в которых решение описывается существенно различными функциями: тригонометрической и зкспоненциальной. Существует общая теорема квантовой механики, в которой доказывается, что энергия всегда квантуется у систем, которые не могут уходить на бесконечность, и не квантуется у систем, саособнгях уходить на бесконечность. Таким образом, если частица в яме «не заперта», т.е.
при Е > Г, квантование энергии не возникает. К этому результату в рассматриваемом случае можно придти и путем точного решения задачи. При Е > (г вместо (ЗА) введем обозначе- ния $9. Пряморгольнля потйнцилльнля ямл. Принцип соотвйтствия 61 а решением второго является функция' тзг паза г — тызх ег = В е (3.17) Пошьем решения уог и шз в точке а.
Приравнивая сзг(а) — -- узз(а), найдем лг — (е,а -. е %,а) Вге за Сге лза (3.18) 21' Приравнивая производные, получим А гзтга гн а , г нза г и га йг —.гзс (ег"" —: е г"га) .—. гм (В'е*"з' —, Сге ""). (3.19) Уравнения (3.18) и (3.!9) позволяют найти В' и С' через А'. Лмплитуду одной из волн, например А', следует считать заданной. Как нетрудно убедиться, Вг 4 — заза( гага (~1 + 1) — сига(ЗЦ 1) ) А инга( тига (зс1 1) - ззсга(з"1 + 1) ) Решение может быть найдено при любых действительных з н а ч е н и я х зсг и зсз, т е. при любом Е > сг'. Решения (3.16) и (3.17) проше всего интерпретировать, начиная с функции грг.
Эта функция представляет собой сумму двух волн де Бройля: волны ехр( — глазы), движушейся справа налево, и волны ехр(гзсзш), движущейся слева направо. Пришедшая из +со волна частично отражается и преломляется на границе ш .— о потенциальной ямы (зсз меняется на жг), отражается от стенки, расположенной при ш =- =- О (к члену, содержащему ехр( — гзсгш), прибавляется член с ехр(гзсйш), снова преломляется на границе т = о и уходит в бесконечность. Б рассматриваемом простом случае особенно ясно видна причина, приводящая к квантованию энергии при Е < гу. При Е > гу' сшивка функций приводит к двум уравнениям для двух неизвестных коэффициентов В' и С'. Эти уравнения всегда имеют решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
