goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Включим детектор электронов, стоящий за щелями, «на совпадения» с детектором электронов отдачи. Если детекторы сработали одновременно (произошло «совпадение»), мы будем знать, что электрон прошел через левую щель, если электрона отдачи не возникло, значит, он прошел через правую щель. Изучив распределение электронов, которое мы получим при совпадении отсчетов в обоих счетчиках, мы убедимся в том, что это распределение не будет иметь ничего общего с получавшейся раньше дифракционной картиной от двух щелей. Оно будет соответствовать дифракционной картине от одной, левой, щели, Распределение электронов, не вызвавших совпадений, даст дифракционную картину от правой щели.
Почему же картина распределения электронов так резко изменилась? В том случае, если не ставить вещества на пути электронов через левую щель, волны, прошедшие через обе щели, интерферируют и дают общую дифракционную картину — распределение от двух щелей. Электроны, испытавшие соударение и вызвавшие «отдачу», изменя!от направление движения, а их волновые функции меняют фазу случайным образом, так что волны, описывающие электроны, испытавшие рассеяние, не 'Дальнейшее обдумывание этого вопроса показывает, что дело обстоит еше сложнее Измерив распределение даже очень большого чнслз электронов на пластинке, мы определяем только )А з. т, е.
квадрат модуля ю-функпии, и ничего не узнаем о ее фазе А ведь свойства волны определяются ие только распределением интенсивности, но и разносгямн фаз. Для восстановления фазы нужно ставить дополнительные опьпы, например измерять дифракнионную картину на разных расстояниях от щелей й 3. Свойствл ьолп дв Бгойля = — = — = Йс, оф = — = с. Е рс 6 Л ' к (1.21) Таким образом, фазовая скорость плоской волны для фотонов совпадает со скоростью распространения электромагнитных волн. Вычислим теперь фазовую скорость плоской волны для нерелятивистской частицы. Для нсрелятивистских частиц кинетическая энергия равна рз,Г2т. Учитывая равенства (!.1) и (1.15), находим э й (йтий) (Ь) 2т 2ьв 2' (1. 22) т.е.
фазовая скорость волны равна половине скорости частицы, Этот результат на первый взгляд кажется неожиданным, но ни к каким трудностям не приводит. Как известно из курса оптики, скорость передачи сигналов определяется не фазовой, а групповой скоростью волны. Фазовая скорость совпадает с групповой лишь в том случае, если среда (в нашем случае — вакуум) не обладает дисперсией, т.е, если фазовая скорость распространения не зависит от частоты.
Именно так обстоит дело для фотонов. Электромагнитные волны, как следует из (1.21), создают с волной, прошедшей через правую щель, общей дифракционной картины. В результате опыта мы действительно узнаем, через какую щель прошли наши электроны, но эти сведения относятся не к электронам, дифрагировавшим через две щели, а к другому опыту, к другому распределению электронов, к такому распределению, которое совместимо с вопросом о том, через какую щель прошел электрон.
Мы еще раз убеждаемся в том, что в физике микрочастиц всякий опыт, всякая попытка узнать о частииах что-нибудь новое, обязательно меняет их состояние, их волновую функцию. Мы выяснили ца двух примерах, что любой опыт, проведенный с микрочастицами, изменяет состояние частиц из-за влияния измеряющей аппаратуры на измеряемый объект.
В макромире влияние аппаратуры на объект при разумной постановке опыта может быть сделано очень малым. Хотя такое влияние в принципе обязательно существует, в опытах с телами макроскопических размеров оно столь ничтожно, что классическая физика им с полным правом пренебрегает вообще. В микромире это влияние оказывается большим и часто играет определяющую роль. Скорость распространения плоских волн. Найдем скорость распространения плоской волны для фотона.
Из оптики известно, что фазовая скорость волны т:ф = ш/кч Для фотонов Е = рс, так как масса фотона равна нулю. Воспользовавшись этим равенством, а также равенствами (1.1) и (1.!5), получаем 3О ГЛАВА 1 всегда распространяются в вакууме со скоростью с. Формула (!.22) показывает, что у нерелятивистских частиц фазовая скорость зависит от скорости (а значит, и от энергии) частицы и, следовательно, от частоты гз. Волны де Бройля обладают дисперсией даже при распространении в вакууме. уз(м) = Ве'~', (1.23) где В = Ае (1.24) Изображенная на рис. 13 внфункция, описывающая распределение частицы по координате, как и всякая другая функция, по теореме Фурье может быть представлена в виде интеграла: ф(л) =-.
/ В(й)е'~*гГА'. (1.25) Состояние частицы в начальный момент времени определяется, таким образом, наложением большого числа монохроматических волн, каждая из которых движется со своей скоростью. Такое наложение волн, имеющее один резко выраженный максимум, называется обычно в о л н ов ы м п а к е т о м . Во всякий другой момент времени положение частицы описывается, грубо говоря, местоположением максимума л'-функции. Выясним теперь, какие волны слем(х) дует сопоставлять частицам, наблюдаемым в обычных, классически поставленных опытах. Классические опыты всегда начинаются с того, что мы определяем положение частицы в некоторый момент времени Зо.
Пусть измелз-Ьл л рение координаты проделано с точностью Ью, т.е. мы определили, что частица находится Рис, !3. Волновой пакет. между юо и мо —,Ьм, С точки зрения волновой (квантовой) теории это означает, что волновая функция частицы равна нулю во всем пространстве, кроме участка, заключенного междУ ло и ло + Ахм (Рис, 13). Ясно, что такаЯ фУнкциЯ не является одной монохроматической волной типа (!.!9).
Однако она может быть представлена в виде совокупности таких волн. Поскольку мы исследуем сейчас волновую функцию частиц в момент времени зо, зависимость воли от времени является пока несущественной. Запишем отдельную волну в виде з4 Принцип пеопрвдвлнн!!Ости Из оптики известно, что скорость движения волнового пакета равна г р у и и о в о й скорости волны и вычисляется по формуле (1.26) и„, = г!ьр/гИ С помощью 11.1) и (1.15) для волнового пакета получим (1.27) !,р — — гй ~ у!)й = г)Е/!1Р. Вычислим с помощью 11,27) групповую скорость фотонов и нереляти- вистских частиц. Для фотонов имеем ДЕ гг!,Рг) ггР ггр (1,28) чего н следовало ожидать.
Для нерелятнвнстских частиц найдем с1Е и!Р /2п!) Р пгн — — О. (1.29) т гп Таким образом, групповая скорость плоской волны действительно равна скорости частицы. Если скорости частиц велики, то групповую скорость проще всего найти, дифференцируя соотношение Ез = раса .; гласа; !1Е Рс мг — — — ' -— " — -— - и, г)Р Е 2ЕдЕ =- 2рсздр, Вычисление фазовой скорости плоской волны по релятивистским формулам приводит к результату, сильно отличающемуся от П.22). Фазовая скорость волны оказывается больше с, и при уменьшении скорости частиц она не уменьшается, а увеличивается, поскольку, как оказывается, 3 Оч,оф = с При медленно движущихся 1нерелятивистских) частицах зто отличие, однако, не приводит ни к каким новым физическим результатам.
ф 4. Принцип неопределенности Мы уже убедились в том, что классические представления во многих случаях оказываются неприменимыми к микрообъектам. В частности, движущимся микрочастицам нельзя приписать определенных траекторий, т.е. определенных значений координат в следующие один за другим моменты времени, ГЛАВА 1 Посмотрим, к чему приводит попытка точного определения координат у электронов.
Рассмотрим электроны, проходяшие через щель в экране Э и попадающие затем на фотопластинку Ф (рис. 14). Мы уже знаем, что на фотопластинке будет наблюдаться дифракционная картина. Пусть до прохождения через щель электроны обладают вполне определенным импульсом ро (Р, = О, Ря — — ро., р„— -- О). Такие электроны описываются плоской волной с 1со = рог'й. Так как плоская волна распределена по всему пространству, то и каждый электрон так же размазан. Электроны, прошедшие через щель, я уже не описываются плоской волной.
Соответствующая волна является расходящейся, причем интенсивность волны сложным образом зависит ат направления. Как видно из рисунка, распространение расходяшейся волны происходит в разных направлениях, так что волна не имеет определенного волнового вектора 1с и, следовательно, электроны, прошедшие через шель, больше не обладают импульсом ро. При прохождении через щель у электронов наиоолее заметно меняется проекция импульса ря на ось, параллельную ширине щели.
Рис. 14. Распределение ин- Оцепим по порядку величины разброс тенсивности электронов по- в величине Ри Обозначим через тЛт ширисле прохождения пучка че- ну щели. Рассмотрим какой-либо электрон, рез шель. прошедший через щель. Указать заранее, в какое место фотопластинки попадет электрон, невозможно. Однако вероятность его попадания в разные места фотопластинки определяется дифракционной картиной, изображенной на рисунке. Приблизительно в половине случаев электрон попадает в центральную область главного максимума, размер которой можно положить равным ширине этого максимума, измеренной на уровне половины высоты (размер ! на рис.
!4). Этот размер может быть заменен расстоянием от максимума до первого минимума дифракционпой картины. Угловое расстояние от максимума до первого минимума примем за меру расходимости волны, описывающей движение электрона, прошедшего через шел ь. Направление на первый минимум определяется из условия (1.30) т'.хт сбп д = Л. $4 Игинцип псопнвдвлкиности 33 Отсюда Л!Ьх = з!и д = 1«д, (1,3Ц Но ьйд = Р.,/Рю пРичем вместо Р, следУет писать ЬР„так как эта величина определяет разброс в импульсе: (1.32) Из (1,31) и (1.32) имеем «хр «хх = Лрю Учитывая, что Л вЂ”.. 2«г/й = 2яЬ/рю получим окончательно (1,33) Ьр.,„Ьх = 2яй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
