goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Соотношение (1.33), выведенное нами для случая дифракции на щели, имеет всеобщую применимость и носит название с о о т н о ш е н и я неопределенностей Гейзенберга. Чем точнее мы определяем координату электрона (уменьшаем ширину щели Ьх), тем более неопределенным становится соответствующая проекция импульса электрона. Неопределенности в координате и в импульсе, которые входят в формулу (1.33), происходят не от несовершенства наших знаний, а от того, что волновая функция электрона действительно «размазана» по соответствующей области Ьри и Ьх.
Распределение по координате в рассмотренном случае определяется шириной щели. Распределение по импульсам можно измерить не только по виду дифракционной картины, но и непосредственно. Для этого вместо фотопластинки нужно установить прибор, измеряющий импульс частиц (например, по отражению от кристалла). Рассмотрим еше один мысленный опыт. Определим положение электрона с помощью микроскопа, как это показано на рис, 15, Здесь !в объектив микроскопа, 2 — пучок света, направленный вдоль оси микроскопа и освещающий электрон, 3 — электрон и 4 — его изображение Точность измерения координаты зависит от разрешающей силы микроскопа.
В оптике показывается, что разрешение «Лх микроскопа определяется в основном свойствами объектива и равно (1.34) «ах= Лузшд, где Л вЂ” длина волны света, а вшд — апертура линзы. Из (!.34) видно, что определить положение электрона с хорошей точностью можно лишь в том случае, если апертура объектива достаточно велика. ГЛАВА 1 д Чтобы «увидеть» электрон, нужно, чтобы на нем испытал рассеяние хотя бы один фотон. Рассеянный фотон проходит через точку, являющуюся изображением электрона.
Координата этой точки может быть определена. После этого с точностью (1.34) определяется положение электрона. Испытав соударение с электроном, фотон изменяет направление движения, а электрон получает отдачу. Микроскоп не дает возможности определить, в какую сторону отклонился рассеянный фотон, известно лишь, что после рассеяния он проходит через объектив. Импульс отдачи электрона поэтому тоже остается неизвестным. Обозначим начальный импульс фотона через рв.
Рис. 15. Измерение У всякого фотона, проходящего сквозь объектив, координаты влек- ~р« ~ ( рэ 1д д, Так как знак р при рассеянии мотрона с помощью жет быть любым, а величина лежит в указанных света. пределах, это неравенство определяет на самом де- ле неопределенность проекции импульса фотона на ось т. Импульс отдачи, полученный электроном, равен изменению импульса фотона. Пренебрегая различием между синусом и тангенсом, найдем, что неопределенность в импульсе электрона равна Ьр =-р 1й.д =р з!яд.—..р — = Ь)г — —.- Л Л 2»гй "ЬХ ААМ ААЮ ' (При вычислениях зшд был заменен на Л/~Хм с помощью (1.34),) Умножая равенство на тЛх, получаем Ьт Ьр, = 2»гЬ, что находится в согласии с принципом неопределенностей Гейзенберга.
Отметим, что принцип Гейзенберга связывает неопределенность в координате с неопределенностью проекции импульса на эту к оординату: Ахар. = 2»гй, ЬуЬрэ -- 2тгБ, ЬзЬр« = 2х)ь (1.33') В то же время принцип Гейзенберга не накладывает никаких ограничений на точность измерения координаты ю и проекции импульса на ось р в Говоря о принципе неопределенности, следует иметь в виду, что он определяет теоретический предел, который далеко не всегда достигается в реальных приборах.
Так, разрешение телевизора или качество биноклей и фотоаппаратов связано вовсе не с принципом неопределенности, 54 Пгинцип пгопвддвлкнности а с количеством точек, используемых для изображения (телевизоры) или с качеством объективов (фотоаппараты). Однако никакой телевизор и никакой фотоаппарат не могут превзойти ограничений, накладываемых принципом Гейзенберга. Обратимся теперь к математическому смыслу принципа неопределенности. Пусть т4з) опыт по измерению координаты частицы показал, что эта частица находится в некоторой мз точке, скажем в начале координат. Гели измерение координаты произведено с точностью а, то результат измерения, грубо говоря, заключается в том, что тьфункция частицы отлична ис от нуля лишь в области от — а, до а. Вид Ч трона после измерения функции между — а и а при этом может быть его координаты разным и существенно определяется способом, который был принят для измерения координаты.
Поскольку все дальнейшие расчеты будут производиться лишь по порядку величины,мы можем для простоты положить, что в этой области еьфункция просто постоянна, как это, изображено на рис. 16 (такой вид имеет 4ефункция, если измерять с помощью щели координату электрона, имевшего до измерения определенный импульс, как это делалось, например, па рис. 14). Определим фа, т. е.
величину 4-функции на отрезке — а < х < а. По а определению !Ст(л)) гьт, равно вероятности найти частицу в интервале дм. Вероятность найти частицу в произвольном месте от -оо до ж равна ( (и(х),,'"'дх. Поскольку при этом мы вычислили вероятность достоверного события, то У ф(..)~' =1.
(1.35) Условию (1.35) или более общему условию (1.36) должна удовлетворять всякая ф-функция, поскольку она является амплитудой вероятности. Условия (1.35) и (1.36) называются обычно условиями нормировки. Зб ГЛАВА 1 Интеграл (1,35) в нашем случае нетрудно вычислить: ,ф(Ф) пж = ~ фо гзю = йфоо = К Таким образом, фΠ— -' 1,1АУйо.
(1.37) Функция, изображенная на рис. 16, очевидно, не является плоской волной вида е'"*. Поэтому после измерения координаты частица не обладает определенным импульсом. Однако выфункция (1.37) может быть разложена в интеграл Фурье, т.е.
может быть представлена в виде суперпозиции волн В самом деле, по теореме Фурье всякая функция может быть представлена в виде' ос ь(Ф) —.- 1' у (й)гзькг1)с. Л~ у (1.38) Коэффициенты у()с) определяют вклад различных волн в рассматриваемую волновую функцию. Посколысу плоская волна представляет собой состояние с определеьшым импульсом, формула (1.38) определяет распределение по импульсу. Физический смысл (1.38) заключается в том, что величина ~у(й) ~' !й (1.39) 'Формула (1.38) отличается от обычных формул разложения, принятых в матемаптке, множителем Чдт/2-. Если включить этот множитель в Д(й), формула примет привьмный вид. зЕсли принять не !1.38), а обычную формулу разложения в интеграл Фурье ф(х) = С!Е)е'Ькйт, то ',С(А), оказывается пропорциональным, ио не равным вероятности попасть в интервал Ж.
Чтобы С(Ь) имело смысл ампяитуды вероятности, нужна потребовать, чтобы ) )с(ь)~ ж.=. 1. этому условию удовлетворяет функция г(а), введенная 2 в 11.38). определяет вероятность того, что волновое число частицы лежит между А и )с+г)к, и, следовательно, ее импульс заключен между й)с и )1(й+г1!с) -.
Мы видим, таким образом, что распределение по координатам (задание ф(Ф, у, з)) определяет расгзределение ао импульсам. Поскольку зти распределения но являются независимыми, между ширинами распределений существует математическая связь, Эта связь и устанавливается принципом неопределенности. э4 ПРинцип неопгадвлен««ости З7 В теории интеграла Фурье указывается формула для нахождения функций Г(к): ((«г) = ) и(л)е 'ь*дл ««2«г У вЂ” к (1.40) Установим с помощью этой формулы явный вид распределения по им- пульсам для ф-функции, изображенной на рис.
16. Подставляя в (!.40) значение фо из (1.37), найдем Г( ) = 1 1 ! е»«*г(л = 1 ( — 1 )(е '«ь — е»ь») = «'2т,. '««2а .I 2«Яа «!«!/ х«~га й — а (1.41) Вероятность того, что импульс частицы лежит в окрестности р, равна квадрату модуля )(й); г й ) ~(й)!а ю (1.42) На рис. 17 приведен график этой функции. Как видно из рисунка, рас- пределение имеет типично «дифракционный» вид. Как и прежде, примем за «ширину» распределения расстояние от середины распределения до первого минимума «х«г — — я««а «лр = й«Ьй = й«тг,«а.
и, следовательно, Такимобразом, принцип неопределенности Гейзенберга не представляет собой положения, независимого от других основных положений волновой м е х а н и к и. После того как выясняется необходимость описывать поведение частиц волновыми функциями, принцип неопределенности возникает как математическое следствие теории. В дальнейшем будет показано, что во многих случаях умелое применение принципа неопределенности позволяет угадывать основные черты явлений без точного решения уравнений. Формула (1.40) показывает, что плоские волны, на которые может быть разложена ф-функция, в каждой точке пространства обладают вполне определенным сдвигом фаз, т.е, когерентны между собой. Эта когерентность характерна не только для импульса (для плоских волн), Ширина распределения Ьл в нашем случае равна 2а, Имеем, следовательно, «хр«хм - 2кп.
38 ГЛАВА 1 0 'г 2 го 3тг /с а, а и 2тг а, и Рис. 77. Распределение электрона по импульсам после из- мерения его координаты. но и для всех физических величин, которые характеризуют состояние частицы (момснт импульса, спин н т, д.), Чтобы яснее представить себе ограничения, возникающие из принципа неопределенности, рассмотрим обычный классический метод измерения импульса частиц. В макроскопической физике для определения импульса частицы можно воспользоваться формулой (1.43) гп = тпц.
Для определения скорости следует измерить путь, проходимый частицей за небольшой (в пределе за бесконечно малый) промежуток времени: п =. (шз -- шт)7(уз — ут). (1,44) г При известных условиях пожег, конечно, применяться и классический метод нзнерения импульса никрочастиц. Чтобы измеряемое значение инпульса искажалось меньше, не Можно ли использовать предложенный метод в микромире? Измерив координату частицы шг в момент 17, мы неизбежно изменяем ее импульс и притом тем сильнее, чем точнее измеряется координата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
