goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Суммарная энергия фотовов Равна 2тпзсз. $15. Рдснреде'!ение электронной плотпОсти В АтОме ВОДОРОДА 89 Поэтому по формуле (4.18) для позитрония получаем Ен„.— —. ЛЕ,У2 =- 13, 6/2 —. 6, 8 эВ. ф15. Распределение электронной плотности в атоме водорода Распределение электронной плотности в атоме водорода определяется квадратом модуля ф-функции.
Вычислением ~-функции мы занимались в 8 12. Объединяя (4.6), (4.9) и (4. П), найдем Е(г) — — — е ' ~ ~асят 1 Для вычисления ам, следует применить рекуррентную формулу (4.14). Входящий в нее параметр Д определяется (4.5). Возможные значения и находятся по формуле (4.17). Найдем ф-функцию для и = 1, т, е. для основного состояния атома. Подставив и. = 1 в (4.17), находим, что й1 = 81!2. Примем для простоты а! = 1.' Подставив и = 1 в (4.14), убеждаемся, что все члены ряда (4.11), начиная с ию обращаются в нуль; первый же член ряда оказывается равным г. Воспользовавшись соотношениями (4.6) и (4.9), получаем !81 (! ) .=- е (4.25) Здесь з 2 Аэ Л Пс где Ле — комптоновская длина волны электрона,о — постоянная тонкой структуры.
Итак, !д-функция основного состояния является экспонентой с максимумом в начале координат (рис. 34). С точки зрения классической физики электрон обладает наименьшей энергией, находясь в начале координат. Квантовая механика, как мы видим, приводит к непрерывному распределению с максимумом в начале !На самом деле значение а! находнтсн из условии нормировки !т !з сп ' = 1. Глдвд 4 00 —,г — гехт. „„0 'тттаахв 1т Птахи После сокращения получаем 2 1 'ха 2 са ' 1 т стая†йт (4. 26) Рис. 34.
Пространственное распределение электрона в атоме водорода (основное состояние). Для водорода т'трах = Са~ о. (4.27) Величину (427) принято называть радиусом первой борове ко й орбиты атома водорода. В действительности никаких орбит у электронов в атомах, конечно, не существует; название же это, как и некоторые другие, перешло в современную физику из полуклассической теории Бора строения атома'. Вычислим гт гсваах =- Лотто =" (3,66 10" см) 137 0,53 10 см; гн.„„определяет по порядку величины размер невозбужденных атомов водорода и обозначается обычно гхт, 'Более валробио теория Бора рвееислреиа в э 28.
координат. Однако из (4.25) не следует, что вероятность найти электрон на нулевом расстоянии от начала координат является максимальной. Вероятность того, что электрон находится в объеме сПг, как мы знаем, равна ~ф(г)~ сЛ'. В качестве элемента объема возьмем сферический слой толщиной Й. на расстоянии г от начала координат: Жг = 4ягг Й.. Вероятность найти электрон в шаровом слое, находящемся на расстоянии г от ядра, при и = 1 равна 4я с)г фа(г)( т е. определяется функцией г гг ~ ~сп(г) —.
гге гь"; график этой функции также изображен на рис. 34. Функция г ~бтт(г)~, определяющая пространственное распределение электрона в невозбужденном атоме водорода, обращается в нуль вместе с г в начало координат и экспоненциально убывает при больших тх Найдем значение г =" гпвах при котором эта функция достигает максимума.
Для этого приравняем нулю производную от ггегьтт: 415. РАснРеДе'!ение электгонной плотнОсти В Атоме ВОДОРОДА 9! Рассмотрим волновую функцию для первого возбужденного состояния атома водорода (и = 2). При а = 2 к = !У/4; ряд (4.!!) обрывается на втором члене, и волновая функция имеет следующий вид: (э1. 28) гдз(г) = е "(1 -. йэг). На рис. 35 изображены функции 2!2(г), 42(г) и га у!2(г) ~; последняя функция, как мы видели, характеризует вероятность найти электрон на расстоянии г от ядра. Из рисунка видно, что распределение электронной плотности при и = 2 оказывается довольно сложным.
Еще более сложными являются распределения электронов в следующих возбужденных состояниях. Общим свойством всех распределений является отличная от нуля вероятность найти электрон как на очень малых, так и на довольно больших расстояниях от ядра. В заключение еще раз подчеркнем, что пространственное распределение электронов в атоме можно характеризовать либо квадратом 2 волновой функции ~рд(!)', либо ве- >, т!,'т', личиной г ~!д(г)~ . Первое из этих выражений определяет вероятность найти частицу в единичном объеме, а второе — в шаровом слое 2 толщиной 1/4х. Величина 2р(>.), в основном состоянии атома водорода в начале координат максимальна, в то время как гз~ф(г)~ обращается в нуль.
Функция ф(г) при удалении от начала кооРдинат Убывает Рис. 85. Пространственное распреде- с отличной от нуля производной. !а ление электрона в атоме водорода ким образом, Т!(!') не является глад- прип=2. кой в начале координат. Этого следовало ожидать. Потенциальная энергия точечного источника обращается в бесконечность в начале координат, а при обращении потенциальной энергии в бесконечность, как было показано в Э 9, ф-функция приобретает излом. В заключение приведем оценочную формулу, с помон!ью которой можно быстро (хотя и грубо) находить «радиус орбиты» Л, т, е. среднее расстояние электрона от ядра в водородоподобных атомах. При главном Глдвд 4 92 квантовом числе а 1 е 2 хтп П И у (4.
29) ф 16. Мезоатомы гМюонами называют частицы с массой, в 207 раз превышаюшей массу электрона т„= =. 207пг,. В остальном свойства мюонов о ~ень похожи на свойства электронов, в ~астности, ни те ни другие не способны к ядерным взаимодействиям, так что на них действуют тояько элеюрические силы (и силы так называемого слазбого» взаимодействия). Сушествуют положительные мюоны н~(д . = -1е) н отрицательные мюоны н (д . =- — 1е). и я' Более подробно об этих частицах см.
гл. !6. Решения, полученные для водородоподобных атомов, могут быть применены к системам, называемым и е з о а т о м а м и. Мезоатомами называют атолты, в которых один из электронов заменен мезоном. Разумеется, такая замена возможна только, если мезон имеет отрицательный заряд. Рассмотрим мезоатомы, которые получаются при замене единственного электрона в атоме водорода отрицательным мюоном1 )х . Пропуская пучок отрицательных мюонов через водород, можно получить мезоатомы водорода. Образование мезоатомов происходит следующим образом: отрицательный мюон, попадая в кулоновское поле протона, притягивается им и образует систему, аналогичную атому водорода; так как радиус боровской орбиты обратно пропорционален массе частицы, связанной с ядром (точнее говоря, приведенной массе системы частица-ядро), то для мюона этот радиус оказывается существенно меньшим, чем для электрона; на расстояниях, на которых расположен электрон, захваченный мюон зкрапирует поле ядра, и электрон покидает атом.
Энергии уровней в мезоатомах рассчитываются по (4.18) с учетом того, что в Л1 входит масса мюона. Спектр излучения мезоатома водорода хорошо известен и прекрасно описывается этой формулой. Мезоатомные системы могут образовывать не только атомы водорода, но и любые другие атомы. Так как мезон всегда располагается гораздо ближе к ядру, чем электроны, поле атомных электронов практически не оказывает на мезон никакого действия, и его энергия может рассчитываться так же, как энергия единственного электрона в водородоподобных ионах, т.е. по (4.18). Опыт показывает, однако, что эта формула справедлива только для мезоатомов, в которых заряд ядра невелик (У < 10).
При больших Я радиус орбиты оказывается столь хиал, что мюон в существенной мере находится внутри ядра, где поле уже не описывается потенциалом "-Хе')г. Отклонения от (4.18) используются для определения радиусов ядер тяжелых атомов. 93 $!? Шигинл гвовнай ф 17, Ширина уровней При решении уравнения Шредингера для потенциальной ямы и для атома водорода (и во всех других случаях, когда энергия квантуется) мы нашли, что энергия системы может принимать значения, выражающиеся набором дискретных, вполне точно определенных чисел. Этот результат, означающий, что энергетические уровни атомов не имеют ширины, не соответствует истине и возникает из-за того, что при написании уравнения Шредингера были сделаны некоторые упрощения.
Рассмотрим атом, находящийся в возбужденном состоянии. Такой атом может испустить фотон и перейти в основное или менее возбужденное состояние. Точное уравнение Шредингера должно учитывать эту возможность, возникающую из-за взаимодействия атома с электромагнитным полем — полем, имевшимся до излучения или возникающим в процессе излучения.
Учет этого взаимодействия и приводит к появлению «ширины» у энергетических уровней. Теоретический анализ взаимодействия атомного электрона с излучением вполне возможен, но лежит далеко за пределами нашего курса, в котором мы ограничиваемся исследованием только стационарных — не зависящих от времени — состояний. От квантовомеханического подхода к исследованию ширины уровней нам придется поэтому отказаться. Подойдем к этому вопросу с несколько другой стороны. Из оптики известно, что световое излучение происходит в виде волно- Ке Ф(Г) вых «цуговгч имеющих обычно длину порядка нескольких метров. Цуг конечной длины не может быть вполне монохроматичным и всегда несколько -т,'2 т/2 г «размазан» по частоте.
Соответствую- т щий квант, следовательно, содержит некоторую неопределенность в энергии. Рис. 36. Волновой цуг. Эта неопределенность может возникнуть только в том случае, если энергия возбужденных уровней определена не вполне точно, т.е. если уровни имеют некоторую «естественную ширинугь Оценим неопределенность энергии кванта. Рассмотрим волновой цуг, испускаемый в течение промежутка времени т, движущийся со скоростью с и представляющий собой отрезок точной синусоиды с частотой П (рис.
36). Чтобы найти спектральный состав излучения, описывающего цуг, следует произвести его разложение в интеграл Фурье. Введем функцию Ф(г), описывающую световую волну, изображающуюся Глава 4 94 цугом: Ф(В) = 0 при В < — т~2, ~ ) т(2, Ф(Г) = Аехр(гй~) прн — т/2 < г < т(2., и разложим ее в интеграл Фурье: Ф(а) = — ~ Дьэ) ехр(иле) й ~; по известной теореме об интеграле Фурье Ды) = / Ф(в) ехр( — ила) ~й. Замечая, что вне интервала ( — т~2, т(2) волновой цуг отсутствует, имеем . (э Д(ш) =- / А ехр(гЖ) ехр( — иА) гй —.- — ~./2 ехр ~~(Й вЂ” Цт~2 — ехр ~ — г(Й вЂ” ш) т~2 ,' Л э1п((Й вЂ” ш)т(2~ Лт (Й вЂ” ьэ )ту 2 Ь~т =- 2-г (4.30) Входящее в это равенство время т равно времени испускания световой волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
