goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Линии с меньшей частотой называются «красными спутниками» («стоксова» часть спектра) и образуются из-за поглощения невозбужденными молекулами части энергии рассеивающихся фотонов. Линии с ббльшей частотой называются «фиолетовыми спутниками» («антистоксова» часть спектра) и связаны с передачей рассеивающимся фотонам энергии молекул, находящихся в возбужденных вращательных и колебательных состояниях. Поскольку число таких молекул невелико, интенсивность стоксовых линий, особенно при низких температурах, существенно превосходит интенсивность антистоксовых. ваш связано с энергиями уровней следующим очевидным соотношением: в Ш в ГЕкввеа Еквлва) + ГЕврвш ~вава:)] ' Таким образом, сведения о колебательных и вращательных уровнях молекул могут быть получены из разностей частот основной линии и линий комбинационного рассеяния.
.т 5к4к Зк 2к 1к 1ф 2ф Зф Рис. 45. Спектр комбинационного рассеяния для линии ртути с Л = 435,8 нм на молекулах СС1«. На рис. 45 изображен спектр ртутной лампы, используемый в качестве источника монохроматического света, и спектр комбинационного рассеяния на молекулах СС!4. Спектр ртутной лампы содержит фиолетовый триплет. в котором самой яркой является линия с Л = 435,8 нм; эта линия и дает наиболее отчетливые спутники, обозначенные в нижней части рисунка цифрами. Каждый из спутников представляет собой целую колебательно-вращательную полосу, распадающуюся на отдельные ли- 1ЛАВА 5 ВО нии при увеличении разрешающей способности прибора и при условии, что исследуемое вещество находится в газообразном состоянии.
В 20. Классификация состояний электронов. Главное квантовое число. Вырождение уровней Как мы уже знаем, электроны атома движутся в центральном (или почти центральном) электрическом поле и могут обладать как нулевым, так и ненулевым угловым моментом. Момент электрона 1 и его проекция 1, квантуются по правилам (5.6) и (5.7)1 1 = 6~1(1 1), ! = О, 1, 2,..., 1» = бтттн пч = О.
-Е1, ! 2, ..., ж11 (5.!0) (5.1!) величину1принято называть орбитальным угловым моментом, а1 — орбитальным квантовым числом. Эти назва- 1 ния, так же как и «радиусы боровских орбит» Я 15), остались в квантовой механике от полуклассической боровской теории атома. С современной точки зрения эти названия малоудачны, но широко используются по традиции. Более подробно представления теории Бора изложены вз28.Величинагньназывается магнитным квантовым числ о м; оно определяет возможные значения проекций орбитального момента 1 на какую-либо ось. Происхождение термина »магнитное число» будет разъяснено ниже. В атомной физике принята следующая классификация состояний: состояние электрона с 1 = 0 называется,ч-состоянием; состояние с(=1 носит название р-состояния; при !=2 имеем г(-состояние! затем следуют состояния 7, д, гь и далее по алфавиту.Этиобозначениясостояний являются общепринятыми, и их следует запомнить'.
Вернемся к атому водорода. При решении уравнения Шредингера для атома водорода мы ограничились сферически-симметричнымн решениями, не зависящими от углов д и у, т.е. решениями для а-состояний. Но электрон в атоме водорода может находиться и в состояниях с 1 у! О. 'Обращаем внимание читателя на то, что в общепринятых обозначениях !и 1 описывают одну и ту же физическую величину — угловой момент, но 1 имеет размерность углового момента, т.е, ту же размерность, что и А !»рг.с), а 1 — безразмерная величина !простое число).
Зауквы а, р, и' и т", применяющиеся для обозначения состояний электронов с 1 = О, 1, 2, 3, являются первыми буквами слов зйагр, рг1пс!ра1, Шйпье. 1нпбатеп1а1, которые использукгтся в атомной спектроскопии для названия серий в опти еских спектрах щелочных атомов. $20. Кллссишиклция состояний эльктронов Тогда нужно искать решение уравнения Шредингера, зависящее от г. 11 и ээ. Это решение может быть найдено в виде произведения функции Л, зависяшей только от г, и функции у, зависяшей только от ту и;о, так ф(г, д. э ) = Л(г) у Ф у ) Радиальная волновая функция ль(г) кваптуется так же, как ц»функция з-состояний (3 12).
Ее последовательные значения нумеруются «радиальным» квантовым числом п„. Вид функции У зависит от орбитальных квантовых чисел 1 и пз1. Вычисление показывает, что в ч исто к ул о н о в с к ам п о л е энергия электрона зависит только от квантового числа п, равного сумме п, и 1, и не зависит от каждого из этих чисел в отдельности'. Поэтому решение задачи об атоме водорода в самом обшем случае приводит к уже известной нам формуле (4.18) для энергий уровнеи: (5.12) Еп — »1 ~ з Здесь (5.13) Квантовое число п» определяющее энергию атома водорода, называется глав н ы м к вантовым числом. Так как орбитальное квантовое число 1 может принимать любые значения, начиная от нуля, а срадиальное» квантовое число п„— любые значения от единицы, то главное квантовое число п, являющееся суммой чисел и„и 1, может принимать любые значения, также начиная от единицы: (5,14) и = 1, 2, 3,...
Для сферически-симметричных решений (1 =.- 0), которые мы получили в предыдущей главе, п,„=- и и формулы (4.!8) и (5.12) совпадают. Из (5.13) видно, что при любом значении п ) 1 возможны не только и-состояния (т.е. состояния с 1 = 0), но и состояния со всеми значениями 1 в интервале 0 < 1 < п — 1 — всего и различных состояний. Для всех этих состояний энергия оказывается одной и той же и выражается (5.12).
Если мы учтем теперь, что при каждом данном значении 1 электрон может находиться в 21 + 1 состояниях с различными значениями тиг, то окажется, что число состояний с разными 1 и тг на уровне равно 'Иногда «радиальным» квантовым числом называют число и'„, связанное с введенным здесь п„следующим соотношением; п', — -- и. — 1. Вид (бэ.!2) ири этом сохраняется, з и = = п', Ь1.1-1. 112 1ЛАВА 5 таблица 2.
Квантовые числа и кратность вырождения уровней во- дородоподобных атомов по орбитальному угловому моменту зИз-за наличия спина полное аы ожденпе овпей в даа аза больше. Дополнительное увеличение числа совпадающих (как мы увидим далее, приблизительно совпадающих) по энергии уровней связано с наличием у электрона собственного вращения (спина). Число состояний, расположенных на каждом уровне, оказывается поэтому в два раза больше: с З Асост — 2тг (5.15) Более подробно этот вопрос рассмотрен в ф 24 и далее.
Если уровню энергии соответствует больше чем одно состояние, говорят, что он вы р о ж д е н. Число состояний с одинаковой энергией называется к р а т но с т ь ю вы р ож де н и я. В атоме водорода и в водородоподобных атомах невырожденным (с учетом спина — двукратно вырожденным) является только уровень с и = 1, т.е. уровень, определяющий основное состояние атома. Уровень с и = 2 оказывается четырехкратно (восьмикратно) вырожденным и т.д. (табл. 2). ф 21.
Правила сложения угловых моментов Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц, имеющих орбитальные моменты 1г и 1гп и найдем возможные значения суммарного углового момента Ь этой системы. Угловые моменты — векторные величины, и складываться они должны по правилам сложения векторов.
Абсолютное значение суммарного момента Ь зависит от взаимной ориентации составляющих моментов 1т и 1я. В квантовой механике векторный э 21. ПРАВи1!А слОжениЯ Уп10вых момюпов характер моментов сохраняется, но при обсуждении правил сложения следует помнить, что как сам момент Ь, так и его проекция Е« кванту- ются по уже известным правилам: (йыз| = 11 Е(Е+ 1), Е, —.
йте. (5.16) (5.!7) (5.!8) гпе = щ1, + пт1,. Обратимся теперь к возможным значениям Е. Мы уже знаем, что Е должно быть целым числом, величина которого зависит от величины Здесь Е = О, 1, 2,... (орбитальное квантовое число системы); пте — -- О, ~1, ='2,, ..., ~Е (магнитное квантовое число, определяющее проекцию момента Е на ось -). Квантовый характер угловых моментов (и их «размазанность», связанная с принципом неопределенности) лишает угловой момент простой классической наглядности и заставляет внимательно исследовать правила сложения моментов.
Здесь следует отметить, что само понятие «вектор> к угловому моменту следует применять с осторожностью. До сих пор в этой книге мы имели дело с двумя векторами — с вектором, определяющим коордипату (радиус-вектор), и с вектором импульса. Эти величины являются векторами в классическом смысле этого слова. Проекции радиус-вектора на все три оси декартовой системы координат могут быть измерены одновременно. По ним можно восстановить модуль и направление самого вектора. Аналогичное утверждение справедливо и для вектора импульса. Принцип неопределенности не вносит ничего нового в векторный характер каждой из этих физических векторных величин — он только указывает на их связь и ограничивает возможность их одновременного определения.
Иначе обстоит дело с угловым моментом. Одновременно определить можно только квадрат и проекцию момента на одну из координатных осей (мы выбрали ось з). Две другие проекции при этом не имеют определенного значения. Конец вектора момента не указывает, как в классической физике, в одну точку, а «размазап« по основанию конуса, описанного вокруг оси з. Такие «векторы« в классической физике не встречаются. Но проекция углового момента на ось является обычным числом, обращение с которым не требует никаких новых правил.
Найдем связь между квантовыми числами Е, те и квантовыми числами складывающихся векторов 11 и т1,, 1я и п«1«. Для этого рассмотрим проекции моментов на ось ° (рис. 46). Обычные правила сложения показывают, что йгие равно сумме Ьт1, и Йт1«, или 1ЛАВА 5 114 и взаимной ориентации 11 и 1ш Задача будет полностью решена, если будут найдены максимальное и минимальное значения квантового числа Е. Наибольшее возможное значение Е равно наибольшему возможному числу тш Следовательно, Ежах — '- тбп„— —. т1пп,„т1,,„.„=- 11 + 11.
(5.19) Рассмотрим геометрический смысл найденного решения. Выберем наибольший из векторов 11 и 1ш Пусть это будет вектор 11. Направим ось " так, чтобы проекция вектора 11 на эту ось была максимальной, т.е. чтобы тг, †.. 11 (рис. 47 а)'. Направим, далее, вектор 1д так, чтобы его проекция на эту же ось и также была максимальной и, следовательно, равнялась 61д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
