goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В классической физике этот случай соответствует сложению параллельных векторов. Минимальное значение суммарного вектора в классической физике получается при антипараллельной ориентации векторов. На векторной диаграмме моментов минимальное значение получается при такой ориентации векторов 11 и 1н, когда проекции этих векторов на ось максимальны, но имеют различные знаки. Оставим направление 11 прежним, а направление 1о заменим на противоположное (рис. 47 б), проекция этого вектора на дт, ось и теперь равна — 61э. Поэтому имеем Е ппп — — 11 — 4 Рис.
4б. Сложение проекций углового Эта выражение правильно лишь при 11 > момента. При 11 < 1э оно становится отрицательным, что не имеет смысла. Правильная запись имеет вид 5ш~г =,11 '" 12! ° (о.20) Согласно (5.19) и (5.20) имеем (5.2Ц Из (5.21) следУет, что Л может пРинимать 21э+ 1 значение, если 11 > 1в, и 211+ 1 значение, если 11 с 1в. «Особый» характер вектора углового момента приводит к нарушению справедливости некоторых привычных равенств.
Так, при сложении классических ' Направления оси - и вектора 1г, кпк легко видеть, при ятом ие совпадают, а образуют наименьший еозможнмй угол. !15 з 21. ПРАвит!А сложнзия ую10вых момв!пОВ йб — - — В 61, Рис. 47. К правилу сложения векторов углового момента: а — наибольший сум- марный момент, 6 — наименьший суммарный момент.
векторов максимальное значение суммарного вектора равно сумме длин составляющих векторов )~ эы)та — ,'~ т!+ )~ 3 . В квантовой механике это не так. Прежде всего нужно попытаться понять, что следует подразумевать под длиной вектора. Как мы знаем, определенные значения одновременно могут иметь проекция вектора на некоторую ось (которую обычно считают осью з) и его квадрат. Под длиной вектора з (будем обозначать ее (з,!) естественно понимать корень нз его квадрата; )ь.) = ъ'Х'-'.
Легко видеть, что в квантовой механике В„„< !1,~+ 1., (5.22) причем равенство возможно только в том случае, если 1з нли 1з равно нулю. В самом деле, чтобы доказать сказанное, достаточно заметить, что +У.|,'.„= 7„„„я(й.,„+ 1) = (1, -(- 1з) (1, + 4 + 1) = = 1з(1т — ' Ц вЂ”, !з(!з+ 1) + 21з1з ~ (П(П 1) + Ь(1з+ 1)+ + 2 ,/!зз(1з + 1 );/Ц!з †' 1 ). Аналогичным образом можно показать, что (б.22') !У.,я„> ( 1, -)1з !.
По атому же правилу находится суммарный момент частицы, если она участвует одновременно в двух врашениях. Если система состоит не нз двух, а из многих частиц, то квантовое число х„определяюшее результируюший момент Ь вЂ”.- 1т - 1в — 1з + ..., находится путем последовательного применения правила (5.21). 1лава 5 116 ф 22. Орбитальный магнитный момент электрона Из курса электродинамики известно, что со всяким электрическим током связаны магнитные поля. Поэтому электрон атома, обладающий отличным от нуля угловым моментом, должен обладать также и магнитным моментом. Чтобы найти связь орбитального механического и магнитного моментов электрона в атоме, рассмотрим классическую задачу о магнитном моменте электрона, движущегося со скоростью м по кругу с радиусом г (рис.
48). При таком движении электрона образуется «токовый листок» с площадью Я .=-.гга. Угловой момент электрона (5.23) М = т (г х ъс). Магнитный момент «токового листка» (в гауссовой системе единиц) равен р = ч1Я = —, вт и = — гни, (5.24) 1, 1 то а Ч '" с с2хг 2с где и — единичный вектор нормали к «токово- му листку». Если мы учтем, что заряд электрона 4 = — с, где е — абсолютная величина элемен- тарного заряда, то вместо (5.24) получим Рис. 48. Магнитный и механический моменты в классической физике. е р,„= — —,г мп. 2с' (5.24') Сравнивая (5.23) и (5.24'), находим р = — — гни= — ' т(гкхс)= — ' М, е е с. 2с 2»ис 27пс т.
е. е — - м. 2»ис (5. 25) р, =-,' Лу«. 2тс (5.26) Итак, магнитный момент электрона, движущегося по плоской орбите, направлен в сторону, противоположную механическому моменту и связан с ним множителем е,с(2»пс). Кроме универсальных постоянных е и с, в него входит масса т движущейся частицы — электрона. Очевидно, что для проекций моментов р„, » и а1» сохраняется та же связь; з22. ОРБитАлъный мАМ|итг|ый мОмент электРО|-|А 117 е 2|по ' (5 2гг) е 2пгс " (5. 26') Эти формулы в одинаковой мере справедливы как для электрона, движущегося в атоме с орбитальным моментом 1, так и для любых других заряженных частиц, обладающих не равным нулю угловым моментом.
Найдем правило квантования р,. Для этого в уравнение (2.28) подставим оператор р = — 1 = —, (-тй — ~: е е / . д!. 2|ос = 2пгс(, д|Р!' — 1 — И вЂ”,~ ~ = 1А! 1|А е Г . д т 2гвс(, дээ) (5.27) Решением этого уравнения является функция ад =- ехр( — 1 ц1, |д), '1 Г 2тс Ях ( ей (о.28) которая, как и функция (5.2), является однозначной, непрерывной и гладкой лишь в тех случаях, когда 2|ос — и|, 2х = |и|.2х, ел (5.29) где |и| †цел число. Из (5.29) следуют правила квантования для и! . Ье р|. = — пт|:, 2тс (5.30) пт! — магнитное квантовое число, определяющее, согласно (5.30), воз- можные значения проекции магнитного момента электрона. Подстав- ляя (5.30) в (5.28), найдем, что при данном |и| цд-функция имеет вид |( =- (1/тт2~г) ехр(1|п|ЭР). (5.3Ц Переходя к квантовой механике, как всегда, следует числовые равен- ства классической физики заменять операторными равенствами.
Форму- лы (5.25) и (5.26) связывают операторы орбитального момента 1, орби- тального магнитного момента р„, и их проекций 1, и р„ч: !ЛАВА 5 Но именно такое распределение имеет ~рсфункция состояния с проекцией углового момента пг~6. Квантовое число гаи таким образом, одновременно определяет проекции механического и магнитного моментов.
Согласно (5.6) т1 =. О., *1, я2....., ='Б Мы пришли к выводу, который нетрудно было предсказать заранее по виду равенства !5.2б): проекции углового момента э,аектрона 1. и связанного с ним магнитного момента рц определяются одним и тем же квантовым числом тб разница заключается только в том, что 1л выражается в единицах 6, а ры — в единицах 6с/2тпс.
Гдиница измерения магнитных моментов электронов 6е/2гпс называется м а гнетоном Бора: гю 2гпс (5.32) рн = — рвгпц пц = О, ~1 ~2 ..., Н! 15.33) Правило квантования для рн мы запишем исходя из вида равенства (5.25') и уже известного правила квантования (5.7): .'Н1~ =,'„„,Я~+1) = р Х+!') (5.34) где 1 = О, 1, 2,... — орбитальное квантовое число. Вместо этого равен- ства в литературе часто применяется запись (5.34) гч = — Рв!. Эта запись противоречит правилам, принятым при написании (5.!0), так как постоянная Планка 6 исключена из ! и перенесена в рв.
Поэтому Формула (5.32), определяющая магнетон Бора, кроме универсальных постоянных, содержит массу частицы. Масса протона почти в 2000 раз больше массы электрона, а единица измерения ядерных моментов — ядерный магнетои рн .— -- 6е/2гп, с — почти в 2000 раз меньше магнетона Бора.
Поэтому магнитные моменты ядер оказываются в тысячи раз меньше электронных и магнитные свойства вешества в основном определяются структурой электронных оболочек атомов и в гораздо меньшей степени зависят от свойств атомных ядер. Самые легкие после электрона частицы — мюоны — имеют массу, в 207 раз превосходящую массу электрона. При тех же механических моментах они обладают в 200 раз меньшими магнитными моментами В гауссовой системе единиц магнетон Бора для электрона равен рн = 0,927. 10 ао эрг/Гс. Окончательно имеем з 23. ЭкспьгРимен!мхгы1ое ОИРеде'!ение моментов !!9 при пользовании готовыми формулами необходимо следить за размерностью и при необходимости добавлять или исключать Ь.
Величина ~!Аг~, так же как и !1~, никогда не встречается в приложениях. Иметь дело приходится либо с проекциями этих векторов на некоторую ось, либо с их квадратами гав и 1-'. Обе зти величины, как мы знаем, могут быть определены совместно. ф 23. Экспериментальное определение угловых и магнитных моментов В предыдущем параграфе мы выяснили, что электрон с орбитальным моментом 1 обладает магнитным моментом гаг — — — !ив!. Обсудим способы экспериментального определения 1 и Иг, Из курса электричества известно, что частица, обладающая магнитным моментом га, при помещении в магнитное поле с индукцией В приобретает дополнительную энергию (5.35) Эта энергия зависит, таким образом, не только от величин В и р, но и от угла между направлениями магнитного момента и поля; она минимальна при параллельной ориентации, максимальна при антипараллельной ориентации момента и поля и равна нулю, когда !А и В оказываются взаимно перпендикулярными.
Направим ось з по направлению магнитного поля. В этом случае (5.36) Так как проекция магнитного момента квантуется, то энергия микро- частиц в магнитном поле может принимать ряд дискретных значений. Если мы рассматриваем электрон, обладающий орбитальным моментом 1 и магнитным моментом,и1, то для него сатг =- — ргг, — - гтггйтвВ, гп! =- О, =1, ' 2, ..., Е!. (5.37) Мы видим, что уровни, которые до наложения поля были вырожденными по птг, при наличии поля расщепляются на 2!+ ! подуровней в соответствии с числом воза!ожных значений тп1. Таким образом, в магнитном поле снимается вырождение уровней по магнитному квантовому числу'.
1-!а рис. 49 схематически изображено расщепление с1-уровня электрона !1 = 2) на подуровни при наложении магнитного поля. !С атой особенностью повеления микрочастив в магнитных полях и связано название магнитного квантового числа. 1ЛАВА 5 120 Дискретный характер углового момента дает возможность использовать новые по сравнению с классической физикой методы измерений.
Если в классической физике для определения углового момента необходимо проводить, вообще говоря, довольно сложные количественные измерения, то в микросистемах, как мы видим, достаточно узнать, на сколько компонент расщепляется уровень в магнитном поле. 1)=О Вгмб 2 1 0 — ! — 2 Рис. 49. Расщепление врурон- Рис. 50. Схема опыта П1терна — Герлаха. ня в магнитном поле. Формула (5.37) показывает, что расстояние между соседними уровнями равно )знВ.
Измерив это расстояние на опыте,мы можем определить величину )зв, если известно магнитное поле, или определить величину поля по известному значению магнетона Бора. Оба эти способа играют важную роль в науке. Опыты по исследованию расщепления уровней в магнитном поле были впервые поставлены Штерном и Герлахом (1921 г.). В этих опытах пучки нейтральных атомов или молекул пропускались через область, в которой создавалось неоднородное магнитное поле. В неоднородном поле на частицы действует сила Р = — дгас) су = йтас)(гыВ), способная расщепить пучок на отдельные компоненты'.
Чтобы увеличить расщепление пучка, в опытах Штерна и Герлаха использовалось сильно неоднородное магнитное поле. Схема этих опытов изображена на рис. 50. С помощью полюсных наконечников Я и 5Г (находящихся в вакууме) создавалось поле, резко неоднородное вблизи полюса В, имевшего форму ножа. Частицы пропускались вдоль оси р.
Наблюдалось расщепление пучка вдоль оси з. Сила Г„действующая на частицы 'Однородное магнитное поле ориентирует частицы, ооладаюпгие магнитным моментом, но не вызывает расщеплении пучка, так как прн двнжении нейтральных атомов через однородное поле никаких сил не возникает 1могут возникать только моменты сил). б24. Спин элвктронл 121 в направлении оси а, равна дВ. дВ„дВ д" " д- ' да ' дВ. 1» д- ' (5.38) Величина силы зависит от д» и пучок частиц, прошедших через установку вблизи «ножа», должен расщепиться на столько компонент, сколько возможных проекций имеет магнитный момент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
