goldin-novikova-vvedenie-v-kvantovuyu-fiziku-2002 (810754), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если в каком-нибудь состоянии с данным значением и, 1 и у находятся несколько электронов, то запись можно упростить. Например, в невозбужденном атоме гелия оба электрона находятся в состоянии 1аг721 поэтому вместо записи 1агуз, 1агу часто пишут (1ат7212 или 1азгуо. ф 30. Типы связи электронов в атомах Во многих случаях подробная характеристика структуры атома не требуется, но представляет интерес значение полного углового момента электронной оболочки атома. Этот момент (иногда будем называть его просто полным моментом атома) складывается из спиновых и орбитальных моментов всех его электронов.
Опыт показывает, что в легких 'В водородоподобнык атомах уровни с различными 1, но одинаковыми 1 по случайным причинам совпадают 14 27). з 30. Тины связи злектРОИОВ В Атомдх !41 и средних атомах, где спин-орбитальное взаимодействие сравнительно невелико, орбитальные моменты отдельных электронов складываются в суммарный орбитальный момент атома Ь, а спиновые моменты— в суммарный спиновый момент 8: (6.1) 1 = 1т + 1В '- 1з + ; В = вт + вя " вз 1 Полный момент Л является суммой 1 и Я: Л=Е+Я.
(6.2) Значение квантового числа Т, Обозначение состояния 0 1 2 3 Я Р ху Г и далее по алфавиту. Справа внизу указывается значение квантового числа Л, а слева сверху — мультнплетность состояния, т.е. число, равное 2Я-Р1. Смысл этого числа заключается не только в том, что по нему можно определить Я. В тех случаях, когда 5 < Е, число 25 + 1 равно количеству уровней, появляющихся из-за спин-орбитального взаимодействия, т. е, определяет м у л ь т и п л е т н о с т ь состояния. Число 25+ 1 называется мультиплетностыо и в тех случаях, когда Я > Л, хотя число уровней тонкой структуры равно в этом случае 2Ь + 1, а не 25 + 1.
Все Я-состояния атомов, так же как и а-состояния отдельных электронов, являются синглетными. В качестве примера рассмотрим основное, т.е ' При связи Рессела — Саундерса сохраняется вектор 3, аосолютные значения векторов Е и Я (квантовыс числа Е и о) и проекции векторов Е и Я на вектор 3. При операциях с векзорами углового моьгепта большую пользу приносит векторная модель, поьгогаюшая понять и запомнить основные результаты. В рамках этой модели следует представлять себе, что векторы Ь и 8 могут вместе вращаться вокруг вектора Л. Моментам Ь, 8 и Л соответствуют квантовые числа Л, Я и Л. Очевидно, что при четном числе электронов в атоме Я и Л являются целыми числами, а при нечетном числе электронов — полуцелыми. В тех случаях, когда полный угловой момент атома получается по правилам (6.1) и (6.2), говорят о норм а л ь ной связи электронов в атоме, или о связи Рессела-Саун дерса.
В этих случаях константами движения являются не только полный угловой момент атома .1, но также квантовые числа Ь и 5'. Для указания состоянии атомов используются принятые в спектроскопии обозначения, аналогичные обозначениям, применяемым для отдельных электронов Я 20). В зависимости от значения орбитального квантового числа Л, состояния обозначаются прописными буквами; 142 Глава 6 обладающее наименьшей энергией, состояние атома углерода — аРо.
Запись означает, что атом углерода в основном состоянии имеет Л = 1, Я .†. 1 и,У =- О. Мультиплетность состояния равна 3, т.е. это состояние является одним из трех близких по энергии состояний с одинаковыми Л и Я, но различными д: зРо, Рг и зРю Нормальная связь электронов в атомах не является единственно возможной. В тяжелых атомах из-за сильного спин-орбитального взаимодействия полный угловой момент атома складывается из полных угловых моментов отдельных электронов: Такая связь электронов в атомах называется у — уг-с в я з ь ю.
В чистом виде эта связь почти никогда не осуществляется на практике, и у тяжелых атомов используется символика, принятая для рессел-саундеровской связи. ф 31. Принцип Паули (принцип исключения) В начале этой главы мы выяснили, что электроны могут находиться в различных состояниях, описываемых разными наборами квантовых чисел, например, и, 1, 2' и т .. Рассмотрим невозбужденный атом.
В каких состояниях находятся его электроны? С точки зрения обычных представлений следовало бы ожидать, что все электроны атома, находящегося в невозбуждснном (основном) состоянии, должны занимать уровень с наименьшей возможной энергией, т.е. наиболее глубокий уровень атома. Но опыт указывает на то, что это не так. Но мере увеличения Я происходит последовательное заполнение электронных уровней атомов. Чтобы объяснить такое заполнение уровней, Паули вьюказал гипотезу о том, что в любом кеаятовом состоянии может находиться только один электрон. Каждый следующий электрон невозбужденного атома должен поэтому занимать самый глубокий из еще не заполненных уровней. Всесторонняя проверка подтвердила справедливость гипотезы Паули.
Утверждение, что в одном и том же квантовом состоянии не может находиться более одного электрона, имеет всеобщую применимость и обычно называется прин ианом исключения или принц и и ам Па р л и. Принцип Паули справедлив не только для электронов, находящихся в одном и том же атоме, но и для всех электронов во Вселенной. При этом следует помнить, что состояния электронов 143 з 31.
!1Ринцип ИАУли 1пРинцип искл!Очинив) могут отличаться как по энергии, так и по пространственному распределению. Исследуем математическую сущность принципа Паули. Возьмем систему, состоящую из двух электронов, находящихся в некотором силовом поле. Координаты первого электрона отметим индексом 1, а координаты второго — индексом 2. Пусть первый электрон находится в квантовом состоянии 1, которое описывается волновой функцией ь2цх1, ут, 21), а второй электрон — в квантовом состоянии П с волновой функцией ЫП1Х2, рз, 22). Поскольку по предположению в состоянии 1 находится первый электрон, ф!(х1, ут, 21) есть амплитуда вероятности найти этот электрон в окрестности точки 1хт, п1. 1); ф! в этом случае является функцией координат первого электрона. Аналогичным образом функция фп1хз, уз, -2) — амплитуда вероятности найти второй электрон в окрестности точки (х2, уз, 22) — является функцией координат второго электрона, Рассмотрим теперь распределение о б о и х электронов.
Оно описывается функцией, зависящей от координат как первого, так и второго электронов, т.е. от шести координат х1, д1, 21, х2, д2, зз. «Выключим» для простоты силы, действующие между электронами. Если бы электроны не подчинялись принципу Паули, их движение в отсутствие взаимодействия было бы независимым.
В теории вероятностей показывается, что вероятность события, представляющего собой совпадение двух независимых событий, равна произведению вероятностей обоих событий. В нашем случае в качестве таких событии следует рассматривать нахождение первого электрона в окрестности точки 1 и второго электрона— в окрестности точки 2. Поэтому следовало бы ожидать, что амплитуда вероятности, описывающая поведение электронов, имеет вид Ф1 2 = б!!(х1, П1, д1)фп(х2, пз,, 2).
(6.4) Легко видеть, что такая запись находится в противоречии с представлениями квантовой механики. В самом деле, написанная формула утверждает, что функция 1й! описывает распределение именно первого электрона, в то время как поведение второго электрона описывается функцией !!и. Иначе говоря, наша запись содержит в неявном виде предположение о том, что можно установить, какой из электронов является первым, а какой — вторым. Мы уже знаем, что все электроны вполне тождественны, так что отличить их друг от друга по каким либо «внешним признакамР невозможно. Можно ли отличить их по начальному состоянию, например назвать первым электрон, который в некоторый момент времени находился в окрестности точки 1, а вторым — тот, который в это время был около 144 Гллвд 6 точки 2? Сможем ли мы в дальнейшем установить, который из электронов является первым, а какой вторым? Легко видеть, что нет.
В самом деле, положение каждого из электронов описывается ввфункциями, размазанными, вообще говоря, по всему пространству. А так как электроны не имеют траекторий, то невозможно установить, какой из электронов пришел в ту точку, где он через какое-то время был обнаружен. Таким образом, написанное выше выражение позволяет знать об электронах больше, чем может быть обнаружено на опыте, и уже поэтому не может быть правильным.
Существуют два способа записи амплитуды вероятности', которые не обладают отмеченным недостатком: Фт(гт, гз) = (1,'хГ2)(тбь(гт)бть(гя) тбш(гт)сй(гя)]), (6.5) Фо(гт, гз) = (1/ьт2)~ый(гт)фп(гя) — Фп(гт)тл(гз)~. (6.6) В этих формулах гт и гэ обозначают совокупности трех координат ют, рт, т и юя, рз, ав соответственно. Каждое из этих выражений состоит из двух членов. Первый член описывает состояние, когда в состоянии 1 находится первый электрон, а в состоянии !1 — второй электрон, а второй член — состояние, когда в состоянии 1 находится второй электрон, а в состоянии !1 — первый. Поскольку эти состояния теперь смешаны, узнать, где находится какой электрон, невозможно.
Обратим внимание на важную особенность функций Фт и Ф, определенных (6.5) и (6.6). Назовем первый электрон вторым, а второй— первым. От такого переименования электронов, конечтю, ничего измениться не должно. Легко видеть, однако, что при переименовании электронов функция Фт совсем не изменяется, а функция Фз меняет знак. Поскольку распределение частиц зависит от квадрата модуля тыфункции, изменение знака функции ни на каких наблюдаемых на опыте явлениях обнаружено быть не может. Характер симметричной функции Фт и антисимметричной функции Фз, однако, существенно различен.
Рассмотрим, например, случай, когда оба состояния цй и шп идентичны. Функция Фя при этом тождественно обратится в нуль, в то время как с функцией Фт ничего существенного не произойдет. Частицы, которые описываются антисимметричными функциями, не могут поэтому быть в одинаковом состоянии, в то время как частицы, которые описываются симметричными функциями, в одинаковых состояниях быть могутт. 'Множнтелн )чт2 вводятся в (5.5) и (б.б) для нормировки. Дальнейшее обсук донне этого вопроса отложим до В 52. Ярассуждения, которые привели нас к необходиыо«ти описывать микрочастицы симметричными н антисимметрн ~ными функциями, проводились, для простоты, на примере цевааимодействующих частиц. Полу ~енный вывод является, однако.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
