belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Решение. Фактически в задаче требуется получить формулу (4.55). Будем считать, что С = О при х < О п х > а, и Гт = бо прн О < х < а 1сьт. рпс. 4.4). Пусть частица движется в положительном направлении оси х (т. е. из — оо). Тогда согласно (4.51) и (4.52) волновая функция имеет вид: 4т = е'ь* + Вг а* в области х < О, т)т = ое ' + Де * под барьером 1т. е. в области О < х < а), и тэ = Сеы' за барьером (при х > а). Здесь Ь = УтТп~Е(1Р тт'Гр — Етте.О """", »,т„„„с:=0 х = а,, получаем систему уравнений относительно В, о, 3 и С: < 1 + В = о -Р ртт', Ж(1 — В) = рт1о — )т), ае'-Ртзе ' =Се' ', ( ' —,3 "") — кС '" Решая эту систему, находим интересуюший нас коэффициент С 1согласно (4.53) коэффициент прозрачности В = )С)~): 4тктте 1й + гж)зе-, 1й ;р,)зе- О Отсюда получаем, что коэффициент прозрачности В = ~1+ зй рта~ 4кзхе ЗАДАг1И 65 х = / ь~*хю» дх = — ~ х вш ) — ~ г1х = —; а/ ) а) 2' о — 2 /' з.
з(ях1 а 2 *-'=- /х вьн ) — ) бх= —; е р — 15 с1х —, шп соч — с1х — О, 1г1х 1ат,/ ) а ) ) а) о а Теперь можно рассчитать Лхз = хз — х и гарт = рз — р и сравнить ик произведение с тем, з з — т , з з — т что следует из соотношение неопределенностей. Нетрудно получить,что гзхз г1рт — йз. Если ширина барьера достаточно велика, а именно ма » 1, то т. е.
приходим к выражению 14.55) 1с точностью до предэкспоненцивльного множитечя). 3. При какой энергии электрон беспрепятственно пройдет над прямоугольным барьером высотой Пе = 5 эВ и шириной а = 0,1 нм7 яйв 2 Ответ: Е=17о4- . ='154-37,62в)эВ,глен=1,2,3,... 2та' 4. Электрон, находившийся в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины а = 0,4 нм и глубины 77е = 10 эВ, переведен в возбужденное состояние с энергией Š— 10 т эВ 1нуль отсчета энергии состояние покоя электрона вне ямы). Оценить время жизни возбуя денного состояния, считая, что оно определяется вылетом электрона из ямы, а но переходом в основное состояние. Решение. В соответствии с условнямн задачи считаем,что потенциал П = 0 при х < 0 и х > а, и 77 = — 77о при 0 < х < а.
Вероятность ныпета электрона в 1 секунду оценим как иР, где и частота ударов электрона о стенку,а Т7 коэффициент пропускания ступеньки высоты 77е для частицы с энергией Е. Как известно, 77 = 47гк'7'1lг 4- й'), где егйЙ'= 2 гв- + .с ,в= ° гз(усг~д Отз х — б В%х -~,з, ! =лу/ 5 10г' с '. В результате т 1п77) ' 10 '~ с. Следует, однако, иметь в виду, что приведеннная здесь оценка является оценкой по порядку величины, поскольку, как видно из полученного результата, электрон вььпетаот из ямы после 2 — 4 столкновений с краом ямы, а в этом случае используемый метод является весьма приближенным.
5. Волновая функция основного состояния частицы в одномерной бесконечно глубокой яме ширины а владеет вид: 0~ = т/2/аз1п1ях/а) при 0 ( х ( а и е1 = 0 при х < 0 и х > а. Найти средние значения координаты х, ее квадрата, импульса и квадрата импульса частипы. Решение. По правилу вычисления квантовомеханическик средних имеем: ГЛАВА 5 ДИСКРЕТНОСТЬ ЭНЕРГЕТИт1ЕСКИХ СОСТОЯНИЙ. ГАРМОНИт1ЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР. КУЛОНОВСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ 5.1. т1астица в потенциальной яме Согласно классической физике, финитнос движение частицы происходит в ограниченной области пространства —. потенциальной яме, определяемой физической природой взаимодействия частиц.
Иными словами, потенциальная яма есть область, в которой на частицу действует сила, удерживающая ее в этой области. Термин «потенциальная яма» происходит от вида графика, изображающего зависимость потенциальной энергии частицы от координат, и применяется как в классической, так и в квантовой теории. Основное свойство потенциальной ямы " - удерживать частицу, кинетическая энергия которой меньше глубины ямы; такая частица внутри потенциальной ямы будет находиться в связанном состоянии. Связанное состояние это состояние системы частиц, при котором их относительное движение происходит в ограниченной области пространства (т.
е. является финитным) в течение длительного времени по сравнению с характерными для данной системы периодами. В природе существует огромное число связанных систем: от звездных скоплений и макроскопических тел до микрообъектов — молекул, атомов, ядер. В классической механике частица с энергией, меныпей глубины потенциальной ямы, попав в нее, не сможет выйти и будет двигаться внутри ямы; положение частицы на дне ямы отвечает устойчивому равновесию и соответствует нулевой кинетической энергии.
Если же энергия частицы превьппает глубину потенциальной ямы, то она преодо- '2 левает действие сил притяжения и свободно покидает яму. Примером может служить двии= дН; д„, Е,=тдд жение упругого шарика, находящегося в поле сил земного притяжения, в обычной яме с жесткими стенками (рис. 5.1). Шарик массы ьа с энергией Е~ ( Н не может покинуть Рис. 5.1 потенциальную яму глубиной Н = тдН, где д ускорение силы тяжести, а Н вЂ” высота ямы (обычной), в которую попал шарик, и будет совершать колебания между точками 1 и 2 (если пренебречь трением), поднимаясь лишь до высоты й = Е~((тд).
Если же энергия шарика Ев ) Н, то он покинет яму и уйдет на бесконечность с постоянной скоростью п., определяемой из соотношения та~/2 = Ез — Н. В отличие от классической механики, в квантовой механике энергия, которой может обладать частица, находясь в потенциальной яме в связашюм состоянии, принимает не непрерывные, а дискретныс значения, т. е, существуют дискретные уровни энергии, причем наинизший (основной) уровень гьь ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ 67 лежит выше дна ямы.
Действительно, вследствие квантовомеханического соотношения неопределенностей между координатой з; и импульсом р частицы гхрЬх 6 локализация частицы (2хя -+ 0) вблизи минимума. потенциала приводит к большому значению ее средней кинетической энергии (из-за болыпого разброса в значениях импульса 21гр 67гг1х). С другой стороны, умопыпепие степени локализации (2)гл ф 0) приводит к увеличению средней потенциальной энергии, так как частица проводит значительное время в области пространства, где потенциал превышает минимальное значение. Энергия основного состояния соответствует наименьшей возможной полной энергии квантовомеханической системы, совместимой с соотношением неопределенностей. В предыдущей главе уже упоминалось, что дискретность энергетических уровней микрочастицы, находящейся в какой-либо потенциальной яме, отчетливо проявляется в спектрах излучения и поглощения атомов, молекул, ядер. Ярким подтверждением дискретности атомных уровней являются эксперименты по возбуждению и ионизации атомов электронным ударомг впервые проведенные в 1913 г.
Д. Франком и Г Герцем (см. гл. 3). В этой главе мы рассмотрим ряд примеров стационарных состояний микрочастицы, находящейся во внешнем потенциальном поле. Начнем наше рассмотрение с простейшей квантовомеханической задачи о частице массы ьч в одномерном потенциальном «ящике» с бесконечными стенками и шириной а (см, рис, 4.1). Фактически, мы эту задачу уже решали, когда обсуждали в предыдущей главе движение электрона между двумя абсолютно отражающими стенками.
Посмотрим, как ее решение получается непосредственно из уравнения Шредингера. Стационарное уравнение Шредингера (4.23) в данном случае имеет вид 52 Огз г1277г 2т — 2Ях) = (Š— Ь7)ф(л)г или +, (Š— 57) ф = О. (5.1) Ре7пением этого уравнения является функция 2тЕ ф Аег7гх + Ве — 'хгх где й2 (5.2) Физические условия на 4г-функцию на границах (О, а) совершенно понятны — сквозь бесконечный потенциальный барьер частица пе может даже протуннелировать, и, в силу непрерывности волновой функции, это приводит к условиям на границах потенциала (5.3) = О. х =- ц а Значит, решение (5.2) уравнения (5.1) можно записать в виде г7г = С выл(йх) (5 4) со следующим из (5.3) и (5.4) условием йа = гт.
Последнее определяет возможные значения Й, а следовательно, и дискретные значения энергии Е, которые в силу связи к и Е (5.2) равны Е„= и', где п=1г 2,3 ... ( 7о) 2 (5. 5) 2т ГЛ. В. ДИСКРЕТНОСТЬ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ Случай п = О означает, что нет частицы вообще, т. е. решением не является. Напомним, что именно граничные условия определяют дискретность допустимых значений энергии частицы.
Константу С найдем из условия нормировки гР-функции: Сз г ~',1х = Сэ з1п'(йх) г)х = — з1п'(йх) Я(йх) = — / С2 Г 1 — сов 2йх Сз = — / с1(йх) = — (йа), (5.6) й,/ 2 2й о откуда следует, что С =,~ 2/а, и, таким образом, решение нашего уравнения имеет вид Г2, г яхт ф(х) = ~( — гйп1 и — ) . у в а (5. 7) Здесь необходимо отметить, 1то в стационарном состоянии й не есть волновое число волны де Бройля, ибо ф-функция в данном случае не является плоской волной. Дело в том, что у частицы нет определенного импульса, имеется лишь распределение по й, а в основном состоянии (и = 1) вообще Ьр р. В этом смыслер~= йй, хотя й строго определено. Это и есть проявление корпускулярно-волнового дуализма.
Мы п=4 п=4 уже подчеркивали,что в квантовой ме- п=З п=З ханике можно говорить лишь о полной энергии системы, но нельзя делить ее на п=я п=я кинетическую и потенциальную. Посмотрим., как выглядит наше решеп=1 и=1 ние (волновая функция и ее квадрат) при разных и. На рис. 5.2 а изображона волновая функция частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками; рис.
ш2 б вероятность нахождег Рис. 5.2 ния частицы в пространстве (на этом рисунке масштаб энергий уровней не соблюден). Из полученного результата можно сделать следующие выводы: 1. Энергия частицы Е в потенциальной яме не может быть произвольной, она принимает ряд дискретных значений. 2. Наименьшая возможная энергия Е1 — — г1вя211(2тат) не соответствует «классическому» минимуму дну ямы. Она называется нулевой' энергией, и ее существование есть следствие принципа неопределенностей: ограничив частицу областью возможных значений координат (О, а), мы вносим разброс по импульсам, т. е. минимальная энергия всегда отлична от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
