belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(6.11) В механике доказывается, что кинетическая энергия тела, движущегося в поле центральных сил, может быть представлена как сумма кинетических энергий радиального и вращательного движений, т. е. ,2 2 г2 — = — + (6.12) 2т 2т 2тг2 ' где момент импульса Г является интегралом движения (сохраняющейся величиной) в центральном поле. Поэтому, если у тела есть ненулевой угловой момент, то эффективную потенциальную энергию радиального движения удобно представить в виде Гг ь21(1+ ц ГГзФ = Г2 (Г) +, = Г1(г) + (6.13) где Гг(г) обычная потенциальная энергия (в атоме — энергия кулонов- ского взаимодействия). Таким образом, формально уравнение Шредингера имеет такой же вид, как в радиально-симметричном поле, но с другим потенциалом (к кулоповскому потенциалу теперь добавляется центробежный). Поскольку величина момента импульса тела, находящегося в поле центральных сил, сохраняется, то волновые функции частицы в таком поле ГЛ.
8. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ КВАНТОВАНИЕ. СПИН ЭЛЕКТРОНА 82 являются собственными функциями оператора квадрата момента импульса: у р8 э т2„~ «21(! + 1)~ !6.14) а уравнение Шредингера имеет следующий вид: 52 / т!21(1+ 1) 'т (6.15) Радиальная волновая функция Л1т ) квантуется так же, как и ф-функция симметричного состояния 18-состояние). Обозначим соответствующие радиальные квантовые числа через и„. Согласно вычислениям в чисто кулонов- скол поле энергия электрона зависит только от квантового числа и, такого что и = и„+1, и„= 1, 2, 3, ..., ( = О, 1, 2, 3, ...
Поэтому (6.16) п = 1, 2, 3, Оно называется главным квантовым числом. э- электроны т=-О т=1 т=-О т= — 1 р- электроны К $ М + М 1 т=! ел=о М + К~ т= — 1 т= — 2 и- электроны М- ~ 1=2 т=2 М Х~' т= — 2 1=3 т=З т=2 т= — 1 М К Рис. 6.4 Отметим,что радиальное квантовое число однозначно связаяо с числом узлов радиальной волновой функции (т.
е. точек, в которых эта функция обращается в пуль) внутри области, в которой эта функция определена, а именно: число таких узлов равно и, — 1. Как нетрудно убедиться, квантовое число и состояний частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенци- 6.2. СОСТОЯНИЯ АТОМНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С РАЗНЫМИ Х!ОМЕНТАМИ ИМПУЛЬСА 83 альной яме Я. 4.5) точно так же связано с числом узлов соответствующей волновой функции внутри интервала ее опрщ1елепия, На рис. 6.4 показаны угловые распределения плотности и-, р- и д-электронов в атоме при различных значениях магнитного квантового числа т1. Одновременно показано, какому движению электрона такие состояния соответствуют в боровской модели атома. Распределение по углам обладает симметрией тела вращения около той оси, на которую фиксирована проекция момента импульса (на рисунке это ось 2).
При 1 = О электрон может находиться лишь в з-состоянии, которому соответствует полная шаровая симметрия. Следует заметить, что в модели атома Бора такого состояния просто пет. При 1 = 1 симметрия состояния соответствует симметрии типа диполя, при 1 = 2 возможна и симметрия типа квадруполя, когда максимум вероятности нахождения электрона соответствует углу 0 = х/4. Распределение заряда по радиусу определяетюя радиальной волновой функцией Хо1 (г). Так, для сферически симметричных состояний заряд сферического слоя радиуса г и толщины с)г равен 6О( ) р(г)6 4 ° Х„,( ) йг. (6.17) У в-состояния волновая функция Х 1(2) максимальна в пуле, а с ростом радиального квантового числа максимум ее смещается все дэлыпе от центра. Поскольку распределение заряда определяется согласно формуле (6.17), пРоизведением т хв1(т), то его максимУм всегда смещен от центРа атома, 2 2 но чем больше радиальное квантовое число, тем больше это смещение, т.
е., О грубо говоря, тем дальше расположен электрон от ядра. На рис. 6.5 в качестве примера приведено распределение заряда в первых состояниях водорода,по оси абсцисс отложено расстояние от центра атома, вы- 0 5 1О 15 20 25 г/П, ражснное в единицах боровского радиу- я-состоя иия 11=0) са (радиуса первой водородной орбиты). Числа па кривых показывают значение 02 чисел п, 1. Например, 31 означает в=1, 1 = 1.
Как видно, максимум состояния 10 (основное состояния атома водорода) как раз соответствует радиусу первой боровской орбиты. Максимум зарядового рас- 0 5 1О 15 20 25 «/»я пределения (расстояние электрона от о-состояния 11=-1) ядра) смещается от центра атома с ростом п. Обратим еще раз внимание на следунш1ий факт: в теории Бора электроны движутся по плоским орбитам, т. е. они не могут быть сферически симметричными. Согласно этой теории нулевым моментом импульса обладал бы электрон, движущийся прямолинейно вдоль радиуса, но тогда по классическим законам он бы натолкнулся на ядро.
В квантовой механике, в которой нет представления о движении электронов по орбитам, нет и никаких препятствий для реализации сферически симметричных состояний атома. Поэтому волновая функция 84 ГЛ. 8. ПРОСТРЛНСТВЕННОЕ КВЛНТОВЛНИЕ. СПИН ЭЛЕКТРОНА электрона в атоме может быть сферически симметричной, т. е.
зависеть только от радиуса. В таком случае, как мы уже говорили, энергия определяется выражением у2,4 Р Р Еи— (6.18) 2(4яго)862пг На рис. 6.6 показано распределение электронной плотности по радиусу в боровской модели и при квантовомеханическом описании. Как указывалось выше, радиальная волновая функция имеет число узлов, на 1 меныпее, чем 0 номер соответствующего стационарного состояния. Это хорошо видно из рис. 6.5. Итак, при заданной энергии (данном значении п) возможны состояния со всеми 1, уцовлетворяющими услови4о 0(1 <п — 1, а всего квантовое число 1 может принимать п различных значений.
Однако при данном 1 электрон может находиться в 21+ 1 состояниях с различными значениями квантового числа гпь Таким образом., нетрудно рассчитать число различных состояний, соответствующих одной и той же энергии, и оно равно и — 1 (21+1) = п = п~. (6.19) ( — о В этом случае говорят, что уровень вырождеп, а число состояний, соответствующих одной и той же энергии, определяет кратность вырождения. В нашем случае получается и'-кратное вырождение. Несколько забегая вперед, отметим, что для стационарных состояний электрона в кулоновском поле имеет место еще дополнительное двукратное вырождение, связанное со олином электрона, так что на самом деле в кулоповском поле электронный уровень оказывается 2пг-кратно вырожденным.
Обратимся теперь к вопросу о магнитном квантовом числе ьчь Если заряженная частица (в нашем случае электрон) обладает ненулевым моментом количества движения, то это означает, что в системе имеются токи, следовательно, система должна обладать и магнитным моментом. Рассмотрим классическую задачу о магнитном моменте электрона, движущегося по окружности (рис. 6.7). С движением заряженной частицы массой т со скоростью в по окружности радиусом г связаны как механический момент 1, так и магнитный 14. Момент количества движения Ь = т~тч], (6.20) а магнитный момент Рис. 6.7 14=45, (6.21) где 7 - - протекающий ток, равный — ео/2яг, а Я = хгв . -.
площадь кольца, охватываемого током. Но поскольку ]гч] = 1 /т, то е е 44 = — — (гч] = — — Ь. (6.22) 2 2т Коэффициент связи между 44 и Ь называется гирол4агнитным отношениег4. Последнее пе всегда равно еД2т,), и поэтому соотношение между р и Ь 6.2. СОСТОЯНИЯ АТОМНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ С РАЗНЫМИ МОМЕНТАМИ ИМПУЛЬСА 8В обычно записывается в виде е р=-д — 'Ь, (6.23) 2т где коэффициент д называется д-фактором и равен 1 для орбитального движения электрона. Ясно, что такая же связь справедлива для проекций: е р ~2 (6.24) 2т Как уже не раз говорилось, чтобы найти выражение для операторов физических величин, надо просто заменить численные равенства операторными, т.
е. для оператора магнитного момента мы имеем Й.=- ' Х.. (6.25) 2т Отсюда сразу можно сказать, что правила квантования проекции магнитного момента электрона с заданным значением орбитального числа 1 такие жс, как и для 1 г; е р,= — а пй. (6.26) 2т Итак, проекция момента количества движения электрона ь, и связанного с ним магнитного момента р, определяется одним и тем же квантовым числом ть Разница лишь в единицах: ь, выражается в единицах а, а и, в единицах е6/(2т) = 0,927.10 22 Дж/Тл. Эта величина называется магнетоном Бора и обозначается р ..
Таким образом, закон квантования проекции магнитного момонта может быть записав в форме р,= — р ть (6.27) Теперь становится ясным происхождение названия т~ как магнитного квантового числа. Квантование орбитального момента количества движения, задаваемого формулой (6.28) Ь = (г р1, приводит к целым значениям 1, а., значит, к почетным значениям 21 + 1 числа возможных ориентаций момента в пространстве. Если энергия зависит от ориентации момента, то в спектре как излучения, так и поглощения мы должны наблюдать расщепление основного перехода на 21+ 1 линий. Следовательно, появление в спектре нескольких близко расположенных по энергии линий (их называют мдльтиплетами) естественно связывать с таким расщеплением, т.
е. рассматривать как результат существования зависимости энергии состояния от магнитного квантового числа ть Однако одно из наиболее легко наблюдаемых подобных расщеплений --- дуплеты в спектре щелочных металлов, и, в частности, дуплет натрия нс укладывается в эту простую схему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
