belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Такая запись волновой функции системы страдает тем недостатком, что мы, как это было в классике, «пометили» частицы, т, е, указали, какая их пих помер 1, а какая номер 2. Ясно, что в случае одинаковых частиц решение уравнения 1Предингера с той же энергией Е может также иметь вид [Рп(1, 2) = [[7„(2) [[7[[(1). (7.3) Теперь вторая частица находится в состоянии [[7 с энергией.Е[, а первая — в состоянии фБ с энергией Е2. Таким образом, имеется двукратное вырождение, связанное с симметрией задачи по отношению к перестановке частиц местами. Рассмотрим, как правильно записать волновую функцию всей системы.
Если система может находиться в двух разных состояниях, имеющих одну И тУ жс ЭНЕРГИЮ И ОПИСЫВаЕМЫХ ВОЛНОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ [17[ И [[7п, тО СОГЛаСНО принципу суперпозиции, любая их линейная комбинация ч' — с[У' + сзч[ (7.4) (где е[, сх произвольные числа) будет также решением уравнения Шредингера. 11оскольку волновая функция системы должна быть либо 7.2. ТАБЛИЦА МЕНДЕЛЕЕВА симметричной, либо антисимметричной, то или сг = сг или сг = — сг. Нормированная па единицу симметричная функция при сг у'= 13 имеет вид г)г,,(1, 2) = 17гч'2 (ф (1)фд(2) + ф„(2)фд(1)), (7.5) а антисимметричная функция ф,(1,2) = 17ъ'2 (ф (1)фд(2) — ф (2)фд(1)) (7. 6) (1/и72 -- нормировочный множитель).
Полученные формулы легко обобщить на случай систем из любого числа частиц. Из формулы (7.6), описывающей волновую функцию системы невзаимодействующих фермиопов, следует крайне интересный и принципиальный для их поведения результат. Если бы две частицы оказались в одном и том же состоянии (уг„= уггг, т.
е. частицы находятся в одном и том же месте пространства и в одном и том же сггигговом состоянии)., то волновая функция (7.6) обратилась бы в нуль. Это означает, что в системе одинаковых частиц с полупелым спином две (или более) частицы не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Последнее утверждение и называется принципом исключения (запрета) 17аг7ли или просто —.- ггринцггвом Паули. В общем случае для систем одинаковых взаимодействующих частиц с полуцелым спином принципом Паули часто называют требование антисимметрии волновых функций. Принцип запрета Паули делает понятной оболочечную структуру атома.
Если все состояния на низших орбитах уже заполнены электронами, то новой частице не остается ничего другого, как занять свободное место на более высокой орбите. Более того, этот принцип позволяет понять правило Ридберга для числа электронов в заполненной оболочке атома. При заданном значении главного квантового числа п полное количество всех допугггимых значений орбитального числа 1 и магнитного квантового числа тг равно гг .
Каждое состояние электрона в атоме, однако, характеризуется не только величинами и, 1., тн но и значением четвертого квантового числа спипового, которое обозначается т, Последнее двузначно: оно принимает значения т, = 1гг2 либо т, = — 172. Поэтому полное число состояний электрона прв заданном числе н и произвольных 1, гнг, т, равно 2н . Получеш|ый резульг тат в точности совпадает с выражением Ридберга для числа электронов в заполненной атомной оболочке, сели положить Х = в. 7.2.
Таблица Менделеева В настоящем параграфе мы кратко рассмотрим., как описываются состояния сложных атомов. Для этого нам понадобится правило сложения моментов, о котором шла речь раньше. Чтобы описать структуру сложного атома, надо знать состояния всех его электронов. Опыт показывает, что в легких и средних атомах орбитальные моменты отдельных электронов складывшотся в суммарный орбитальный момент (7.7) Ь=1 +1 +1;+ а сливовые в спиновый: (7.8) в„ г 88 ГЛ.
7. ПРИНЦИП ЗАПРЕТА ПАУЛИ. ТАБЛИЦА МЕНДЕЛЕЕВА и полный момент равен Л = 1 + Я. (7.9) В этих случаях говорят, что имеет место ьЯ-связь или рассел-саундеровская связь. В тяжелых атомах осуществляется так называемая О-связь, когда полный момент равен сумме полных моментов отдольпых электронов, т. е. Л = ~[ З„где 3, = 1,, + з,. (7.10) [ Константами движения являются не только полный момент Л, но и абсолютные значения 1 и Я и их проекции па вектор Л.
Состояния атомов обозначаются аналогично тому, как это делается для отдельных электронов, но только большими буквами: состояния с Ь = О, 1, 2, 3, ... обозначаются соответственно буквами Я, Р, Р, Р,... Справа внизу указывается зна [ение квантового числа Л, а слева вверху -- величина 23+1; если Я < Л, то эта величина определяет мульгиплетность состояния, т. е. число состояний с одинаковыми 7 и Я, но разными Л. Например, если атом углерода находится в состоянии 8Рв, то это означает, что Ь = 1, 5 = 1, Л = О. Состояние отдельного электрона в атоме определяется квантовыми числами ц, 1, т[, т, Зададим некоторое орбитальное число 1 и рассмотрим, скольким состояниям оно соответствует.
При заданном 1 возможно 21+1 разных значений т[, но каждому т[ соответствуют два состояния с т,, = т.1/2, т. е. всего 2(21+1) состояний с разными т[ и т, Таким образом, при любом значении квантового числа и в атоме может быть в в-состоянии .. 2 электрона, р-состоянии .. 6 электронов, [1-сюс[тоянии -.- 10 электронов и т. д. Говорят, что совокупность электронов, имеющих одинаковые и и 1, образует оболочку атома. Согласно этой терминологии говорят об 8-оболочках атомов, р-оболочках и т.
д. Термин «оболочка» применяется также в смысле совокупности всех электронов, окружающих атомное ядро. Разумеется, при данном п значения квантового числа 1 не могут превышать и — 1 (см. гл. 4). Всего в этом случае может быть 2пз состояний, т. к. и = и, +1, 0 < 1 < п — 1, и все эти состояния образуют электронную оболочку атома с главным квантовым числом п. Оболочки, как и электронное состояние атома, обозначаются большими латинскими буквами: и = 1 К-слой 1 = 0 [в-оболочка), и = 2 7-слой 1 = О, 1 (8-, или р-оболочка), ц = 3 М-слой 1 = О, 1, 2, (в-, р-, [1-оболочка) и т.
д. Рассмотрим теперь, как последовате,льно заполняется таблица Менделеева. Созданная на чисто эмпирических правилах, исходя из химических свойств элементов и их подобия, периодичность свойств элементов нашла свое естественное обоснование лишь на основе квантовой механики. Впервые объяснение периодической таблицы Менделеева с точки зрения квантовой механики было дано Н.
Бором. В табл. 7.1 приведены квантовые характеристики атомов вплоть до аргона. Здесь использовано стандартное обозна [ение электронных конфигураций атомов: в скобках стоит спектроскопическое обозначение электронного уровня и1, а вверху — число электронов, находящихся на этом уровне. 7бъ ТАБЛИЦА МЕНДЕЛЕЕВА Таблици 7Л. Элекгпронные еоетполнил легких атомоо Таблица показывает, что до бора у всех элементов (Не, Ы, Ве) полностью заполнен К-слой, а у ь-слоя заполнена 2в-оболочка.
У более тяжелых элементов (от бора до неона) остовом служит электронная конфигурация (1з7?2)2(2в7?2) . В боре начинается заполнение р-состояний, в которых проекция спина может быть х1/2, а проекция орбитального момента тг = О, х1. Возникает естествешпяй вопрос о том, с какими значениями тг и те электроны будут последовательно заполнять р-оболочку? Здесь вступает в игру правило Хунда, согласно которому наименьшая энергия соответствует состоянию с максимальным суммарным значением Я.
При этом,1 = ~Л вЂ” Я~, если заполнено не более половины оболочки, и 1 =? + Я в остальных случаях. Последнее иллюстрируется табл. 7.2. Таблици 7.2. Кеантооне харакнгереитики электроное р атиомое от бори до неона Теперь надо объяснить, почему в таблице Менделеева наблюдается периодичность химических свойств элементов и чем выделены благородные газы. Благородными называются газы химически почти полностью инертные, их потенциал ионизации энергия отрыва одного электрона оказывается наибольшим, как это отчетливо видно из рис.
7.1. С квантовои точки зрения инертныо газы это элементы, у которых целиком заполнена 1ьоболочка; им соответствует состояние с 3= 0, ь = О, ? =О. Дело в том, что электроны в-оболочки расположены близко к ядру, они не являются внешними, а вот р-оболочка внешняя и ее заполнение приводит к инертности элемента. При заполненной р-оболочки после неона электроны ГЛ. 7. ПРИНЦИП ЗАПРЕТА ПАУЛИ. ТАБЛИЦА МЕНДЕЛЕЕВА 100 опять вначале заполняют Зв-состояние, от чего и возникает периодичность химических свойств. Правда, с порядком заполнения электронных оболочек у более тяжелых атомов все обстоит далеко но так просто, поскольку с ростом числа электронов в атоме существенную роль начинает играть экранирование поля ядра внутренними электронами, и электрическое поле, в котором находятся внешние электроны, заметно отличается от кулоновского.
В результате порядок заполнения (от з- к р-, а затем к д- и 7"-оболочкам) начинает нарушаться уже после Аг. Экранирование приводит к тому, что в 71- и 7"-состояниях электроны находятся эффективно ближе к ядру, чем в з- и р-состояниях.
Поэтому именно в- и р-электроны (а не и'- и 7'-электроны) определяют химические свойства элемента. Например, заполнение 47"-состояний у редкоземельных элементов практически пе меняет их химических свойств. А что касается д-состояний (1 = 4), которые должны были появляться в оболочке с главным квантовым числом и = 5, то из-за упомянутого эффекта экранирования их заполнение становится энергетически невыгодным, и в реально существующих атомах они вообще не заполняются. /, зВ 20 20 4 0 60 80 Рис. 7.1 Атомные номера инертных элементов иногда называют магическими числами, поскольку на первый взгляд кажется, что в их последовательности не наблюдается никакой закономерности. Однако они простое следствие квантовомеханических закономерностей заполнения электронных состояний. Действительно, инертными являются элементы с порядковыми номерами 2, 10, 18, 36, 54, 86, ...
У гелия два электрона в 1в-состоянии полностью заполняют К-слой, у неона добавлются еще 2 электрона в 2в-состоянии и 6 в 2р итого 10 электронов, у аргона еще 8 электронов в состояниях Зз, Зр и т. д., таким образом магические числа соответствуют, как указывалось выше, заполнению очередной р-оболочки 2р, Зр, 4р, 5р. ГЛАВА 8 АТОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 8.1. Спин фотона Обсудим теперь более подробно вопрос об излучении, возникающем при переходах атома из возбужденного состояния в основное либо в одно из нижележащих возбужденных состояний. Для этого необходимо прежде всего разобрать вопрос о собственном моменте импульса фотона, т. е. его спине.