belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Итак, квантовомеханические векторы можно складывать так же, как обычные, по модуль любого из пих равен й „Л(Г+ 1). Полученный результат называется квантовым правилом сложения угловых моментов. По этому же правилу находится суммарный момент частицы, если она участвует одновременно в двух вращениях. Теперь можно перейти к воп1>осу о полных механическом и магнитном моментах электрона. В силу наличия у электрона как спинового> так и орбитального моментов, полный механический момент равен их сумме 3 =1+ в.
(6.39) Квантовое число у полного момента у = (1 ~ в! = (1 ~ 1/2(. (6.40) Естественно, как подчеркивалось выше, длина вектора 3 эо ГЛ. б. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ КВАНТОВАНИЕ. СПИН ЭЛЕКТРОНА в результате суммарный магнитный момент оказывается непараллельным суммарному механическому моменту (на рис. 6.11 изображена диаграмма сложения орбитального и спинового моментов электрона и соответствующих магнитных моментов: механические моменты измеряются в единицах 6, а магнитные в магнетонах Бора).
Следует обратить внимание на то, что величина вектора гп равна величине вектора 1, а длина вектора м,. вдвое болыпе, чем 8. Поэтому вводится специальный коэффициент ---. так называемый фактор Ланде, который есть не что иное, как коэффициент пропорциональности между 3 и и.: И~ = длдв3 (6.42) Это --- то же гиромагнитное отношение, но не для частиц, а для атомных электронов. Заметим, что (6.42) — соотношение между проекцией суммарного магнитного момента пвт на 3 и величиной вектоРа 3, а не соотношение между этими векторами. Конкретное выражение для фактора Ланде через значения у, 1 и в легко получить. В самом деле„с учетом того, что спиповый д-фактор равен 2, из (6.39) следует: — цд = ДЬ1+2рвв.
(6.43) Соответственно, проекция суммарного магнитного момента ~и. на вектор 3 равна Р,:3 13 + 283 (6.44) $ ' й Значит Ц+ 281. И~ = Дв 8 3 = длрв3. (6.45) Р Мы получили соотношение между проекцией магнитного момента р1 и вектором 3. Отсюда можно получить выражение для фактора Ланде 1 .. 1 12+ 2в~ + 381 дл = —.2(13+ 283) = —.8 [1(1+ 8) + 28(1+ 8)) =,, (6.46) или д уз — 1з .„' 2вз + 38] (6.47) Это — — просто векторное соотношение. В операторном виде оно записывается как д Я = Р+ 2вз+ 3(81) (6.46) Операторное равенство означает и равенство средних значений, т. е. д,(1 ) =(1)+2(в )+3(81). (6.49) Первые два члена в правой части равенства (6.49) легко находятся по общему квантовомеханическому правилу для квадрата вектора (для любого вектора М имеем Мз = М(М + 1)), а среднее значение третьего члена вычислим, исходя из следующих соотношений: 3 =1+ 8 — ~ 38 = 82+1 + 281 — ~ 81= (1/2)(~в — вв — 1~).
(6.50) вл. тонкАя стРуктуРА спектРА АтоыА Водогодл Значит (з?) = (1/2)[»(» + 1) — в(в+ 1) — 1(1+ 1)], (6 51) и окончателы|о имеем йл = — ~(1 ) + (2з ) + — (» — з — 1 )~ = — ~ — — + — +, (6.52) 1(, э 3, д,] 1(1' ." 3»' л»2 2 ~ »з~ 2 2 2 или »(» + 1) + (, + 1) — ?(1+ 1) 9л =1+ 2»(» + 1) (6.53) гпе~ /1 о'/ 1 3'1 2(4яев)зйэ \,Р пз ~,» + 1/2 4п/ (6.54) где т приведенная масса электрона и протона, а = е~/(4яевйс) = 1/137 уже встречавшаяся нам поспюлннал тонкой стпруктуры, определяющая величину расщепления уровней по квантовому числу». Само расщепление, описываемое (6.54), носит название тонкой структуры спектра атома водорода.
Подчеркнем еще раз, что поправка за счет спин-орбитального взаимодействия мала: как следует из (6.54), ес отношение к основному члену порядка гг~, т. е. порядка (1/137)~. Как же выглядит спектр атома водорода с учетом тонкой структуры? Для классификации э,нектронных состояний обычно применяют спектроскопические обозначения, записываемые в виде д?,, п?, где и - главное квантовое число, 1 орбитальное квантовое число в буквенном обозначении (см. 3. 6.2), » — квантовое число полного момента импульса или, как его часто называют, полного углового,моментке 6.4.
Тонкая структура спектра атома водорода Как указывалось в предыдущем параграфе, наличие спина у электрона приводит к расщеплению энергий состояний с опрсленным значением 1 (т. е. момента импульса, связанного с орбитальным движением электрона) за счет спин-орбитального взаимодействия. Его происхождение качествепо может быть легко понято, если иметь в виду, что собственный магнитный момент электрона, связанный с его спипом, взаимодействует с магнитным полем орбитального тока. Можно рассуждать по-иному: в системе координат электрона, движущогося в кулоновском поле ядра, возникает магнитное поле, с которым взаимодействует собственный магнитный момент электрона.
Энергия такого взаимодействия зависит от ориентации магнитного момента относительно направления поля, т. е. от его проекции на это направление. А так как проекция магнитного момента (вместе с проекцией спина) может принимать два значения, то для любого? мы получаем расщепление на два состояния, соответствующие двум возможным значениям квантового числа полного момента» = 1~ 1/2. Исключение составляет лишь состояние с 1 = О, для которого» принимает только одно значение: » = 1/2.
Таким образом, наличие спина у электрона приводит к возникновению поправки к полной энергии атома водорода (см. (5.44)), зависящей от квантового числа». Эта поправка невелика, она такого же порядка, что и релятивистская поправка. Последовательный квантовомеханический расчет, учитывающий оба типа поправок, дает: ГЛ. ГЬ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ КВАНТОВАНИЕ. СПИН ЭЛЕКТРОНА Основное состояние (главное квантовое число и = 1, а орбитальное 1 = О) не расщепляется (а лишь слегка смещается вниз по энергии), поскольку 1 принимает только одно значение, равное 1/2. Следующее состояние, для которого и = 2, а 1 может принимать значения 0 и 1., расщепляется по энергии на два, т.
к. здесь г' может быть равно 1/2 и 3/2. При этом значение 1 = 1/2 получается в результате сложения спина электрона как с орбитальным моментом 1 = 0 (состояние 2з~~з), так и с 1 = 1 (состояние 2р17г), в то время как г = 3/2 может получиться лишь от сложения с 1 = 1 (состояние 2рг7г). Уровень энергии, соответствующий п = 3, расщепляется на три соответственно трем значениям, которые может принимать квантовое число 1, а именно: 1/2 (состояния Зз17з и Зр17г), 3/2 (Зрз7г и Здз7э) и 5/2 (состояние Зд-,7г).
И так далее. Согласно (6.54) уровни тонкой структуры атома водорода, соответствующие определенному значению главного квантового числа, двукратно вырождепы по 1 (за исключением уровня с максимальным значением 1). Например, состояния 2з~д и 2р17г должны иметь одинаковую энергию. На самом деле их энергии различаются: энергия состояния 2з17г располагается несколько выше, чем энергия 2р17г (хотя и ниже энергии уровня 2рз7г). Это расщепление уровней, составляющее порядка 1/10 топкого расщепления, получило название лзмбовского сдвига по имени У. Лэмба, окончательно установившего в 1947 г.
его существование. Причиной лэмбовского сдвига является взаимодействие электрона с флуктуационным электромагнитным полем, или, как принято говорить в квантовой электродинамике, с флуктуациями вакуума. Рассмотрение данного эффекта выходит за рамки нашего курса. Можно лишь отметить, что современная квантовая электродинамика даст превосходное количественное описание такого расщепления. Отметим, что с учетом спина электрона появляется новая степень свободы, а следовательно, и новое квантовое число тг (Ьги, проекция спина на выделенное направление), принимающее значения ~г1/2.
Таким образом, состояние электрона в атоме водорода можно характеризовать четырьмя квантовыми числами: и, 1, тпп гп, Однако, поскольку орбитальный момент и спин складываются в полный момент (от которого зависит энергия состояния), то состояние атома водорода удобно описывать с помощью другого набора квантовых чисел, а именно: и, 1, (, т;, где т квантовое число проекции полного момента импульса, пробегающее 2~ + 1 значений ( — г, — у + 1, ..., г — 1, 1).
Энергия состояния зависит от п и у, зависимость от 1 появляется при учете лэмбовского сдвига. Состояния вырождены по га . Физический смысл этого вырождения состоит в следующем: при отсутствии физически выделенного направления все ориентации момента импульса в пространстве равноправны. Коротко остановимся на правилах отбора для электромагнитных переходов (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
