belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Исходя из привешенных ранее соображений, энергия основного состояния соответствует наименьшей возможной полной энергии квантовомеханической системы, совместимой с принципом неопределе1шостей, легко оценить энергию основного состояния частицы в прямоугольной яме ширины а с бесконе шыми стенками.
В данном случае 11х а, а потому импульс 5.Ь ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ или п2 2 с1 2) = —,+ — —. (5.10) <Ь 2 т с1т. В отличие от одномерного уравнения, здесь появился новый член 2/т. с1/4т. Сделаем в (5.9) замену переменных: у2 = ~/т. Тогда ОвФт) 2 бФт) 1 ~'( й~ т <1~ т дт2 Получается, что паше уравнение для у2 свелось к следующему уравнению для функции г,: 122 12~ 2 (5.11) 2тп бтз Это уравнение математически тождественно уравнению для одномерного движения, но с одним отличием -- при т = 0 функция т,(т) должна не только частицы р = 2зр 6/а. Если отсчитывать, как это принято, энергию частицы от дна ямы, то ее минимальная энергия будет равна з 52 Я— (5.8) 2тп 2тпиз ' Что, естественно, совпадает с выражением (5.5) для энергии при п = 1.
3. Спектр возможных значений энергии частицы в прямоугольной яме с бесконечными стенками квадратичный (Е х пз). 4. Дискретность энергетических уровней с необходимостью приводит к дискретности спектров излучения и поглощения энергии. 5. Как видно из рис. 5.2, по мере увеличения энергии (числа и) максимумы кривой ~ф~~ располагаются все ближе и ближе и картина «сливается», становясь классическим равномерным распределением, при котором частица с равной вероятностью может находиться в любой точке от 0 до а. Это еще одна иллюстрация уже упоминашпегося критерия: классическая механика соответствует условию а» Л, т.
е. при длинах волн, много меньших размеров системы, в которой движется (локализована) частица, квантовомеханические особенности частиц оказываются несущественными. Рассмотренный нами случай потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет скорее методическое, нежели практическое значение. Реально мы имеем дело с ямами со стенками конечной высоты, и, разумеется, наиболее интересен вариант, когда потенциальная яма не одномерна, а трехмерна. Рассмотрим простой трехмерный случай, когда потенциальная яма сферически симметрична относительно некоторого силового центра. Это означает, что У = 0(т), где т = ~г~.
Ограничимся нахождением только сферически симметричных решений — решений, зависящих только от т, т. е. при ф = ф(т). Тогда в уравнении Шредингера для нашего случая Й12 = Ь~(~ 6~/(2т) 2А122+ (Ь' — У)ф = 0 (5.9) радиальная часть лапласиана, записанного в сферических координатах, имеет вид 79 ГЛ. З. ДИСКРЕТНОСТЬ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ оо при г=О; 57(7') = — Ь'в при г < ь3 (5.12) 0 при г) а. Нас будут интересовать состояния финитного движения, относящиеся к дис- кретному спектру энергий 0 < Е < 57в.
Так как функция 57(я) является ступенчатой, то для решения задачи удобно разбить область изменения я, как мы это делали при решении задачи о прохождении частицы через по- тенциальный барьер, на два участка с постоянными значениями 57. В области 0 < я < а уравнение Шредингера имеет вид ф" + й1 "г' = О, /с1 — — — в Е, (5.13) а в области вне ямы: Фл — ЦФ=О, ~,'= „, (57о — Е). Общие решения этих уравнений можно записать в виде ф1(х) = азш(к1я+ а), ~в(т) = бе ь'к+ геь'~, (5.15) где индексами 1 и 2 обозначены решения внутри и вне ямы соответственно. Из граничного условия 7Р1(0) = 0 следует, что и = О.
Чтобы волновая функция оставалась всюду конечной, необходимо соблюдение условия с = О. И, наконец, из условия непрерывности 7юлновой функции и ее производной по координате в точке:г, = а найдем 1й й1 а = — к1 /йз, (5.16) (5.14) откуда получаем, п ь =~„%~71ы'РОДь . (5.17) При выводе этого соотношения мы использовали тригонометрическое равенство зл а = Фдза/(1 + Ф~зо) и следующую из формул (5.13) и (5.14) связь й1~ + 17~~ = 2777Пв)1Г.
1 Изобразив графически левую и правую части последнего уравнения (рис. 5.3), О йа найдем точки пересечения прямых с сиз 2х Зз нусоидой. При этом корни данного уравнения, отвечающие собственным значениям Е, будут соответствовать тем точкам пересечения, для которых 1к1г1а < О, т. е. будут находиться в четных четвертях окружности (эти участки оси абсцисс выделены на рисунке жирными от1эезками). Из графика видно, что корни уравнения (т, е, связанные состояния) существуют не всегда: пунктиром показано предельное положение прямой, быть конечной, но и обращаться в нуль, так как в противном случае функция у7 = (,7г обращалась бы в бесконечность при г = О. Поэтому задача о дви- жении частицы в трехмерном сферически симметричном потенциале экви- валентна одномерной задаче с потенциалом, определяемым выражением а1.
чАстицА В пОтенциАльнОЙ яме 71 соответствующей условию йта = ктт2. Именно этим условием определяется минимальное значение энергии частицы в яме конечной глубины — ее пулевая энергия, равная величине Е = и 6,7(8та ). (5.18) Стационарные уровни возникают только в том случае, если Е ( амтв.
Поэтому уровни в потепциалытой яме рассматриваемого типа возникают лишь при выполнении неравенства 5та ) к~тт~тт(8т). (5.19) В левой части последнего неравенства стоят параметры потенциальной ямы, а в правой - .. только постоянные числа и универсальные постоянные. Если полученное нами условие не выполнено (потенциальная яма слишком узкая или слишком мелкая), в ней не помещается ни одного энергетического уровня. Иными словами, в таком случае, несмотря ца то, что потенциал является для частицы притягивающим, связанного состояния не образуется. Подобная ситуания реально встречается. Например, силы взаимодействия между двумя нейтронами являются силами притяжения, однако ядра, состоящего из двух нейтронов, в природе пе существует.
Аналогичным образом не существует и ядра, состоящего из двух протонов. Следует отметить еще одно отличие классического и квантового поведения частицы в потенциальной яме. Согласно квантовой механике, частица, находящаяся в потенциальной яме со «степками» конечной толщины (типа кратера вулкана), в результате туннельного эффекта может покинуть последшою, даже если ее энергия мепыпе высоты стенок потенциальной ямы. В этом случае говорят, что уровни энергии частицы являются квазистационарными, т. к.
частица «живет» в таком состоянии конечное время. О подобных уровнях также говорят как о лтетастабильных. Все уровни частицы в потенциале со стенками конечной толщины имеют конечную ширину, т. е. энергия такого состояния точно не определена (состояние пе является строго стационарным); при этом ширина состояния зависит, естественно, от его энергии и формы потенциала. Форма потенциальной ямы и ее размеры (глубина и ширина), определяемые физической природой взаимодействия частиц, могут быть различными. Два частных случая формы потенциальных ям имеют очень большое значение в физике.
1. Кулоновская потенциальная яма (57 = — Уегтт(4ттевг)), описьтватощая притязюети1е атомного злектпрона ядром, с зарядом Я. 2. Потенциал гармонического осциллятора (17 = ух~,72), игратощий, вазтсную роль в физике птвердого тпела, электромагнитпного излучения, колебательньтх спектров молех1ул, .являющийся одной из моделей ядерного ттотенциала. Для одномерного движения справедлива так называемая огцалляиионная теорема: волновая функция ут (х) дискретного спектра, соответствующая (и + 1)-у по величине собственному значению Е„, обращается в нуль (при конечных значениях х) и раз.
Примером может служить рассмотренная выше задача о частице в прямоугольной яме (см. рис. 5.2). Обсуждая вопрос о поведении системы при больших квантовых числах, мы показали, что при этих условиях поведение частицы утрачивает особенности, характерные для микромира — оно скорее напоминает ее классическое ГЛ. В. ДИСКРЕТНОСТЬ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ 72 поведение. Это является частным случаем более общего принципа — принципа соответствия, выдвинутого Бором, которь1й гласит: любая новая теория, препгендующвя на большую общное7пь, чем общепрв; нягпые теории, обязапюльно должна переходить в «старую» в тех условиях, в которь1х была построена и проверена на опыте «еп1арая физика». 5.2.
Квантовый осциллятор Перейдем теперь к рассмотрению характерных задач квантовой механики, и прежде всего к задаче о квантовом осцилляторе. Общее для всех осцилляторов заключается в том, что их энергия складывается из двух частей. Одно слагаемое пропорционально квадрату отклонения осциллятора от положения равновесия это потенциальная энергия. Бели у — — величина такого отклонения, то потенциальная энергия равна 17 = .уд2/2. (5.20) Коэффициент 7 называется «жесткостью» осциллятора.
Второе слагаемое кинетическая энергия может быть записано в виде Т = Щ2/2 (5.21) где у скорость изменения величины у во времени. Величину 11 называют «массой осциллятора». Как бы ни был конкретно устроен осциллятор, его угловая частота в7 = 27ги и период колебаний Т выражаются чорез жесткость у и массу ~3 следующим образом: а7 = ХЯД, Т = 277 Х77®~. (5.22) В случае маятника можно считать, что роль жестк1юти играет ускорение силы тяжести д, а массы длина маятника 1 (поскольку для маятника как кинетическая, так и потенциальная энергия обе пропорциональны реальной механической массе).
Таким образом мож- по рассмотреть сразу все осцилляторы независимо от их физической природы. Иначе говоря, осциллятором является частица., движущаяся в потенциале вида 17 = (17'2) гпозтх2, (5.23) где в7 --- частота классического осциллятора (на рис. 5.4 изображен потенциал гармонического осциллятора и дано схематичное изображение волновой функции стационарного состояния). В общем случае это задача о малых колебаниях вблизи положения устойчивого равновесия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
