belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В квантовой механике задать «координаты и скорости всех частиц» невозможно. Самое болыпее, что можно сделать, задать в начальный момент волновую функцию. Волновая функция есть максимально полное допустимое описание состояния частицы. Она заменяет классическое описание, которое задается координатами и скоростями. Квантовая механика позволяет однозначно найти волновую функцию и в л7обой более поздний момент. Вероятностное описание физических явлений (статистическая физика) до квантовой механики возникало в сложных системах, где малое изменение начальных условий приводит за достаточно болыпое время к сильному изменению состояния.
Такие системы описываются строго одиозна шыми уравнениями классической механики, и вероятность появляется при усреднении по интервалу начальных состояний. В противоположность этому, согласно квантовой механике, вероятностное описание справедливо как для сложных, так и для простых систем и не требует никакого дополнительного усреднения начальных условий. Доквантовая физика знала только относительность, связанную с движением, относительность скорости, относительность формы.
В квантовой теории результат измерения зависит от того, как и что измерить в одной и той же системе координат. И, наконец, как уже говорилось, невозможность одновременного определения координаты и импульса частицы пе связана с песоверп7епством наших знаний или измерительной аппаратуры. Причина совсем иная. Сама по себе микроскопическая частица, как правило, не обладает никакой координатой или импульсом, а характеризуется величиной другого типа волновой функцией. Только в результате физического контакта .
взаимодействия частицы с макроскопическим прибором появляется возможность говорить о ее положении или скорости. Очевидно, что точность, с какой могут быть найдены эти или другие величины, зависит от вида макроскопического прибора. Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает общие ограничения на такую точность, вытекающие из квантовой теории и лежащего в ее основе корпускулярно-волнового дуализма. При этом волновая функция характеризует вероятность любого результата эксперимента, а поскольку она описывает свойства микроскопического объекта самого по себе, одна и та же функция позволяет судить о вероятности результатов самых разных экспериментов, в которых определяются неодинаковые (в том числе и взаимно дополняющие) величины, и которые производятся с помощью разных макроскопических приборов.
В заключении этой главы мы рассмотрим вопрос о том, как же развивалась квантовая теория, и чем отличалось ее развитие от классичского развития науки. Построение теоретических моделей состоит из двух моментов: 1. Устанавливается связь символов теории (величин) с физическими обьектами; эта связь (соответствие) осуществляется по конкретным рецептам --. время измеряется часами, координаты линейками и т. д. ГЛ. 3. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 48 2. Строятся теоретические уравнения, т. е.
математический аппарат, в который входят некие символы, отождествляемые с физическими величинами (1, д, х, д, Е, г, ...). Это, в частности, уравнения Ньютона, Максвелла, Шредингера. Например., пусть мы имеем уравнение 12 . — = д. 112 13.18) Пока это только математика, но когда мы связываем д с тяготением, 1 "- со временем,х — с координатой, то интеграл данного уравнения 1 (х, 1, С1, С2) = О становится физическим законом — все пары измеренных х; и Ц связаны этим соотношением. В классической физике установление связи математических величин с реальными вещами, как правило, предшествовало уравнениям, т. е.
установлению законов, причем последнее составляло главную задачу, ибо содержание величин заранее представзгялось ясным, независимо от законов. Иначе говоря, мы просто свыклись с такими величинами, как длина, время, и т. д., и для них искали уравнения. Современная теорфизика исторически пошла по другому пути. Теперь прежде всего пытаются угадать закон, т. е. подмечая в физических явлениях, часто качественно, характерные особенности, ищут математический аппарат, который отражал бы эти особенности. Так поступал Шредингер в поисках математических уравнений, которым была бы присуща дискретность решений.
Вообще говоря, такой путь ничуть не хуже первого. В любом случае — до или после нахождения уравнений -- необходимо установление связи «чиссл с природой». В отношении микромира, к сожалению, ситуация далеко не так проста. Для классики координата х - - это число на том делении масштабной линейки, с которым в данный момент совпадает рассматриваемая точка. Тем самым установлен рецепт перехода от символа х к реальным объектам, этот рецепт мы и называем измерением.
Назвав в микромире х координатой, мы не установили связь с природой, а лишь провели аналогикц сославшись на макромир. Такое же положение и с импульсом. Мы взяли прежнее слово, что создает видимость содержания. Всякое измерение меняет х и р, и в этом вся сложность. Соотношение неопределенностей нас потому и смущает, что мы называем х и р координатой и импульсом, и думаем., что речь идет о соответствующих классических величинах. Задачи 1. Оценить минимальное рагстояние д, которое можно разрешить в злектропном микроскопе при ускоряюшем напряжении 1' = 100 кВ и числовой апертуре А = О,1. Указание. Числовой апертурой объектива называется величина п,шпгб где п .
абсолютный показатель преломления среды, находяпгейся между предметом и об ьективом, а 20 апертурный угол, то егть угол, под которым диаметр входного зрачка виден из точки пересечения главной оптической оси прибора с плоскостью предмета. Решение. Как известно из оптики, предельное расстояние, разрешаеьюе в оптическом микроскопе й = 0,61 Л,Е.4. В случае злектронного микроскопа в качестве «освешения» ВЛДЛЧИ используется пучок ускоренных электронов, и таким образом, в формулу для Н в качестве Л следует подставить дебройлевскую длину волны электрона, т. е.
д = 0,61 гЧ'1Ар) = = 0,61 Ц(А42пиЖ), где т и е ..- масса и заряд электрона соответственно. В результате д 0,03 нм. В оптическом микроскопе такое расстояние 0,1 мкм. 2. С помощью соотношения неопределенностей оценить размеры и энергию атома водорода в основном состоянии. Решение. Полная энергия электрона в атоме водорода Е = рз7'12т) — с~1'14хеог).
Поскольку неопределенность положения электрона порядка размеров атома (т. е. гхг г), а Ьр р (т. к. в основном состоянии кинетическая энергия минимальна), то р Цг, и Е й~/(2тгз) — ге((4хеег). В основном состоянии энергия минимальна, т. е. дЕ/дг = О. Отсюда получаем, что для этого состояния т 4хеейз/(те') = 0,5 10 з см и Š— гве"/ (2(4хео)ей~) = — 13,6 эВ, что по абсолютной величине совпадает с постоянной Ридберга (1.17). 3.
Оценить минимальный размер пятна, создаваемого на детекторе пучком атомов серебра, испускаемых печью с температурой Т = 1200'С. 1тасстояние от выходной щюги печи до детектора Е = 1 м. Решению Диамотр пятна 2Э складывается из ширины выходной щели Х и ушнропия пучка за счет его непараллельности. Последняя определяется как ЕЬрь/р, где р . - импульс атома, Ьрт его поперечная составляющая. Согласно соотношению неопределенностей Ьрт й/Х, и таким образом, П вЂ” Х + бар/Х.
Отсюда видно, как размер пятна зависит от ширины щели. Его минимальное значение определяется из ус ювия 411 — = О., с1Х откуда немедленно следует, что ширина щели, при которой пятно минимально, Х,„;„ ° ггйб7р, где р ш;/КЯМ Т импульс атома серебра, ЛХ его масса. В результате Р а=у ттГ= 2~%А/~3~~~,~ 1 ГЛАВА 4 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ 4.1. 'Уравнение Шредингера и его основные свойства Е (с =т с +р +рв+р, (4.1) А поскольку для волн де Бройля Е = йы и р = 61с, то разделив (4.1) на Ьз, получаем з(св = фс'+й,.'+й,'+1:,", ш, =ьчс'ф. (4. 2) В квантовой механике описание состояния частицы осуществляется заданием ее волновой функции ф, причем квадрат модуля этой функции дает распределение плотности вероятности нахождения частицы в пространстве. Задание ф-функции полностью определяет не только положение частицы, но и все ее динамические характеристики.
Все, что мы хотим узнать о се поведении, мы должны научиться получать на основе ее волновой функции. Теперь поставим вопрос о том, как находить волновую функцию. Ведь если волновая функция описывает физическое состояние, то надо найти уравнение, которому опа удовлетворяет.
По сути дела, такоо уравнение должно играть роль уравнения Ньютона в классической механике. И, разумеется., подобно уравнению Ньютона оно не может быть строго выведено. Мы и не будем пытаться эго сделать, а просто проиллюстрируем, как можно получить такое уравнение в частном случае свободно движущейся частицы, описываемой плоской волной »)»»4е»(1сг — »»1) Ае»»»ь х»» ь»в ~ ь»» — ~л) Здесь ») плоская волна, 1г волновой вектор, равный по модулю 2я»»Л, А .
константа. Эта волна может описывать как электромагнитные поля, так и частицы (волны де Бройля). В случае электромагнитного поля, как мы знаем,из уравнений Максвелла следует волновое уравнение д2~ дт ) д2~ дв ) сз Д1т Дхз Дуз Дзз + + Подставив сюда выражение для плоской волны, получаем связь между ш и составляющими вектора 1г „,з~сз = Йт+ Й2+ У.
Р т. о. закон дисперсии (напомним, что в оптике законом дисперсии называется зависимость ш от Й, или скорости распространения сигнала и от длины волны Л). Теперь при помощи закона дисперсии и выражения для плоской волны запишем уравнение для волновой функции свободной частицы массы т. В общем случае связь между энергией и импульсом для таких частиц имеет Вид 4л. уРАВнение шРединГеРА и еГО ОснОВные сВОЙстВА Если же ограничиться нерелятивистским случаем (рс « тс ), то тогда 2 Е = тпс12+ 11(2т) (р2+р, +р2) .
откуда получается закон дисперсии для нерелятивистских частиц: о1 = с о+ й/(2т) (й2 + й2+ й2) . (4.3) В нерелятивистской механике начало отсчета энергии несущественно, т. е. замена Ь' — тс -+ Я (а следовательно, и со — соΠ— 4 ш) ни на что не влияет. Поэтому в (4.3), не теряя общности, можно отбросить несущественную константу шо и переписать закон дисперсии как ш = с»1(21п) (к + А„+ й,) .
(4.4) Пусть»р плоская волна де Бройля, т. е. иь ать»вч-В»» — ~л1 ф=ле' Тогда, замечая, что д»Р,Сд1 = — гсо»Р, с учетом (4.4) легко получить дзффх2 = — М~»)» и т, д., т дс)» 1 6 2 д24 д24 д2Ф (4.5) (4.7) Это и есть уравнение Шредингера для свободной частицы. Его можно переписать в более компактном виде: 6дф й2 5д~ ь2 — — — — ЬсС«или (4 б) г ду 2т г д1 21п Физический смысл волновой функции 2уже подробно обсуждался в предыдущей главе: квадрат ее модуля ~ф(х)~ = »р*(х)»Р(х) представляет собой плотность вероятности найти частипу в точке х, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
