belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Фотон с знергией Ет = 2т,с (т, масса электрона) при рассеянии на покоящемся электроне теряет половину своей энергии. Найти угол разлета о между рассеянным фотоном и электроном отдачи. Решение. В рассматриваемом случае полная энергия фотона и электрона до столкно--. ° ° г,+ .г=и .'," - — Лс*— .и'+г,! =ггс*+Ж' +т,с~, где р импульс фотона отдачи. Величина этого импульса определяется из зако„„„,„,„г„„,р,, — ЗТЕ'Г„„% „„, О „, „„„„— Ь „.Ж поскольку импульсы падающего и рассеянного фотонов равны 2гп,,с и т,с соответственно, то отношение импульсов падающего фотона, электрона отда ш и рассеянного фотона составляет 2: у'3: 1, что соответствует углу разлета, равному 90'.
ГЛАВА 3 ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 3.1. Волны де Бройля В 1923 г. французский физик Луи де Бройль опубликовал работу, посвященную исследованиям квантовой теории, которая начиналась словами: «История оптических теорий показывает, что научные взгляды долгое время колебались между механической и волновой концепцией света, однако эти две точки зрения, вероятно, менее противоречат одна другой, чем думали ранее». Рассуждения де Бройля были очень просты и крайне революционны одновременно.
Весь опыт предшествующих поколений ученых показал, что свет представляет собой электромагнитную волну, но в ряде случаев он ведет себя как поток частиц квантов с определенной энергией и импульсом. Квант света отличается от других частиц, скажем, от электронов, лишь тем, что его масса равна пулю. Вряд ли такое различие можно считать принципиальным. В результате де Бройлем было выдвинуто чрезвычайно смелое утверждение, которое можно сформулировать в нескольких словах: «Известно, что фотон не только волна, но и частица. Почему же электрону, который частица, да и вообще любой частице, не быть также волной?». Таким образом, электрону должна соответствовать некоторая волна, характеризуемая частотой колебаний и длиной волны А.
Поэтому де Бройль связал с движением всякой свободной частицы энергии Е и импульса р плоскую волну ф(к, ~) = Се причем ее частота ш и волновое число й связаны с энергией и импульсом рассматриваемой частицы соотношениями, аналогичными тем, которые имеют место для световой волны, а именно (3.2) Е=йш, р=йк. Соотношения (3.2), выражающие по сути дела связь между волновыми и корпускулярными свойствами свободно движущейся частицы, одинаковы в релятивистской и нерелятивистской теориях. При этом в релятивистской теории под Е понимается полная энергия, а в нерелятивистской — обычно только кинетическая энергия частицы (последнее объясняется тем, что в нерелятивистской механике потенциальная энергия определена с точностью до аддитивной постоянной).
Таким образом, плоская волна для свободной частицы может быть записана в виде Се-ИЮЮ~-Рг) (3.3) и такую волну мы будем называть волной де Бройля. 3.1. ВОЛНЫ ДЕ ВРОВЛЯ Соотношение де Бройля представляет особенный интерес в трех отношениях. Во-первых, оно как бы «узаконивает» корпускулярно-волновой дуализм, так как всякому телу, движущемуся с импульсом р, ставится в соответствие плоская волна длиной (3.4) Л = А~р.
Во-вторых, из этого соотношения видно, в каких явлениях волновые свойства существепн11, а в каких пет. Для большинства макроскопических объектов импульс, как правило, очень велик по сравнению с й/Л, а длина волны де Бройля мала — много меныпе размеров самого тела. Так например, длина волны де Бройля стальной дробинки диаметром 1 мм (змзсса порядка 0,005 г), летящей со скоростью 100 м/с, составляет Л 10 ' мм (!). Естественно, что здесь волновые свойства становятся незаметными.
В-третьих, соотношение (3.4) позволяет дать наглядную интерпретацию условия Бора для нахождения электронных орбит в атоме гр = 116. Это условие эквивалентно требованию, чтобы па длине и-й орбиты уложилось ровно и длин волн де Бройля. Действительно, длина ьий орбиты равна 2яг. Приравнивая ее величине пЛ, находим (3.
5) 2яг = пЛ = 116,1р, то есть условие квантования Бора. Что представляют собой волны де Бройля, каков их физический смысл об этом несколько позже. А пока отметим, что предполагая существование волновых свойств у материальных частиц, де Бройль исходил, в частности, из следующих соображений. Еще в двадцатых годах Х1Х столетия У. Гамильтон обратил внимание па замечательную аналогию между геометрической оптикой и механикой: основные законы этих двух различных областей физики можно представить в математически тождественной форме.
Например, рассмотрение движения материальной частицы в поле сил, описываемых потенциалом Г(х, р, г), можно заменить рассмотрением распространения световых лучей в оптически неоднородной среде с выбранным соответствующим образом показателем преломления п(х, у, з), и наоборот. В то же время хорошо известно, что геометрическая оптика не может объяснить всех свойств света; для объяснения интерференции и дифракции следует пользоваться волновой оптикой, которая только в пределе очень коротких длин волн переходит в геометрическую.
С другой стороны, известно, что и ньютонова механика имеет ограниченную применимость: она, например, не может объяснить существование дискретных уровней электронов в атоме и т. п. Идея де Бройля состояла в том, что необходимо расширить аналогию между между механикой и оптикой, сопоставив при этом волновой оптике волновую механику. До сих пор мы говорили о волнах де Бройля в чисто теоретическом аспекте. Не менее важным оказался тот факт, что гипотеза о наличии волновых свойств у электрона и других частиц, высказанная сперва чисто умозрительно, может быть проверена ца ош1те.
Первыми доказательствами наличия волновых свойств у электрона были эксперименты по рассеянию электронов на кристаллах американцев Л. Джермера и К. Дэвиссопа и, независимо., англичанина Дж.П. Томсона. Обе работы появились в 1927 г, в одном и том же выпуске журнала ь1а(пге. 66 ГЛ. 3. ВОЛНЫ ДЕ ВРОЙ.ЛЯ. СООТНОИ1ЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ На самом деле эти опыты имели интересную предысторию. Интерференционные явления ири прохождении электронов через кристалл никеля наблюдались еще до опубликования работы де Бройля. В 1921 23 гг.
американские физики Дэвиссон и Кунсман исследовали рассеяние электронов в тонких металлических пленках. Стеклянный аппарат, использовавшийся в их эксперименте, однажды лопнул, и находившаяся в нем никелевая пластинка окислилась. Чтобы снять слой окиси никеля, ее прокалили в вакууме. Во время этой операции в пластинке появилось несколько крупных моно- кристаллов никеля. Когда ее снова поставили на пути пучка электронов, то на кривой, показывавшей зависимость интенсивности от угла рассеяния, появились характерные иитерференциониые максимум11 и минимумы.
Понять такую картину было тогда невозможно. И только в 1925 г. М. Борн и Дж. Франк объяснили ее как результат интерференции волн де Бройля. Последующие эксперименты ставились уже не вслепую, а с ясной цел1ю -- подтвердить существование волновых свойств у электрона. Схема и результаты экспериментов Дэвиссона и | Джермера показаны на рис. 3.1. Пучок Р ~0 „ электронов заданной скорости (энергия 1 50эВ) направлялся па одну из грвь1сй кристалла никеля К, атомы которого образуют периодическую структуру, подобиук1 дифракционной решетке. Регистрируемый детектором Д максимум отражения соответствовал условию Брэгга— Вульфа дз1п0 = ПЛ. Рис. 3.1 В опытах Дж.П. Томсона было показано, что пучок электронов, прошедших через тонкую металлическую пленку и попавших потом на фотопластинку, демонстрирует типичную интерференционную картину, состоящую из набора концентрических кругов. Картина поразительно напоминала дифракцию рентгеновских лучей, иропуще1шых через такую же пленку, однако ее можно было разрушить, поместив всю установку в магнитное поле.
Последнее действовало па заряженн11е электроны, отклоняя их в сторону. В случае незаряженных рентгеновских лучей магнитное поле, разумеется, ничего пе меняет. Интерференционные и дифракционные явления были обнаружены позднее не только для электронов, но и для других частиц протонов, нейтронов, о-частиц и т.
д. Стало ясно, что кориускулярно-волновой дуализм является общим свойством всех микроскопических объектов. Развилась новая отрасль электронная оптика, занимающаяся созданием, исследованием и использованием в практических целях электронных Рис. 3.2 пучков. Современная экспериментальная техника позволяет «напрямую увидеть» электронные волны. На рис. 3.2 приведена фотография электронных волн 3.1. ВОЛНЫ ДЕ ВРО14ЛЯ 37 на 1юверхности кристалла меди (длина волны электрона равна 15 А).
На ней имеется два дефекта структуры, и с помощью туннельного микроскопа, который фактически измеряет распределение плотности электронов по поверхности, видна образующаяся иптерферепционная картина стоячис электронные волны, точно такие же, как на поверхности воды. Какова же связь волны де Бройля с механическими законами движения частицы? Вычислим фазовую и групповую скорости волн де Бройля для нерелятивистской частицы массы т: ь7 Е рз йй и !'ф = (3.6) й р 2тр 2т 2' Итак, групповая скорость просто равна механической скорости частицы, в то время как фазовая скорость равна лишь половине механической. Мы видим, что у волны де Бройля есть дисперсия, и тем самым отпадает заманчивая идея считать частицу волновым пакетом, ибо из-за дисперсии он расплывется во времени; и = 1(ь), а это означает, что разным длинам волн соответствует разная скорость.
Такой вывод пе связан с использованием нерелятивистского выражения 7~!я энергии частицы. В самом деле, для релятивистского случая получается аналогичный результат: нф = ь7/Й = Е(р = 7тс ((ут(1с) = е,7п ) е, = ! 1!! = Й~1Ф = !Ф!И 7Р' '+ = „.'1,,-„!!, ~ =,~1~ = .~1 ! ~! =. !!~! Получившееся различие в выражениях для фазовой скорости волн де Бройля в релятивистском и нерелятивистском случаях легко понять, если вспомнить, что в нерелятивистской механике энергия всегда определена с точностью до аддитивной постоянной.
К тому же следует иметь в виду, что величина фазовой скорости волн де Бройля непосредственного физического смысла не имеет. Волновые свойства частицы ярко проявляются тогда, когда их длина волны де Бройля порядка размеров системь1, т. е. име!п1о в таких случаях механическое описание электрона неправомерно. Это и есть критерий квантовости. Для наглядности оценим длину волны де Бройля частиц в некоторых случаях. 1. Электрон в атоме водорода: Е 10эВ, размер атома 10 зсм, Л = ЦЛтЕ = (6. 10 "7) 71 2. 10 37 10.1,6. 10 13 4.
10 '3 см; длина волны электрона оказалась порядка размера системы (атома водорода), а это значит, что рассмотрение поведения электрона в атомах должно вес'!'ись на кван'!'Оном яз! 1ке. 2. Электрон в миниатюрной радиолампе размером а 5 мм (напряжение на лампе порядка Г = 100 В): Л = 6/ъ'2теГ = (6 10 7) / 2. 10 37 100. 1,6. 10 !в = 10 3 см « а, то есть поведение электрона в радиолампе (даже миниатюрной) чисто класси!еское. 38 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
