belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В настоящее время экспериментально установле- но, что волновые свойства обнаруживают (в опре- зль ьизичиский смысл волн дк вгойля. волповля ььпкция а вероятность обнаружения частицы в обьеме И в момент времени 1 равна И'(Р,1) = ф'с1Е (3.9) и Какими свойствами обладает ф-функция? Ясно, что при вероятностной трактовке оиа должна удовлотворять условию нормировки ~ф~ 2 Ц1, (3.10) Интегрирование здесь проводится по всему пространству. Это условие означает, что частица обязательно (с вероятностью 1) паходится и каком-то месте пространства. В частности отсюда следует, что волновая функция должна на бесконечности стремиться к нулю: ф(~ос) -+ О, (3.11) причем так, чтобы интеграл (3.10) сходился.
Например, если волновая функция сферически симметрична, т. е. зависит только от радиуса, то интеграл (3.10) можно переписать в виде 4к Я~ г1г, и значит, в данном случае волновая функция должна убывать с расстоянием быстрее, чем 1)г. Особым случаем является плоская волна де Бройля, для которой вероятность обнаружения частицы одинакова во всех точках пространства, и нормировка типа (3.10) невозможна. Это затруднение (на самом деле кажущееся) является результатом идеализации реальной ситуации, поскольку «настоящей» плоской волны, простирающейся от — оо до +ос, ие существует: такая волна пе отвечает физически реализуемому состоянию частиц. Математически расходимость интеграла (3.10) и случае плоской волны легко устраняется выбором рациональной нормировки волновой функции. Одним из фундаментальных свойств волновой функции является принцип суперпозиции состояний: если какая-либо система способна находиться в соспюяниях как с волновой функцией фы ток, и ф2, то она может находиться и в состпоянии с волновои функцией' ф = сФ1+с242, (3.12) где сп сг любые числа, для которых функция ф удовлетворяет условию нормировки (3.10).
Примером, демонстрирующим этот принцип, может служить волновая функция электрона после отражения от поверхности кристалла: она представляет собой совокупность дифрагированпых плоских воли, по и то же время эта совокушюсть есть единое волновое поле. И~ыми словами, состояние электрона, возникающее в результате дифракции в кристалле, может быть представлено суперпозицией состояний свободного движения.
Подчеркнем, что описывая поведение электропа (или какой-либо другой частицы), мы, вообще говоря, ие можем указать точно положение этой частицы и пространстве. Оиа может находиться в любом месте в пределах ГЛ. 3. ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ. СООТНОЦ1ЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ размеров волны, ее описывающей. Будем в таком случае говорить, что положение частицы «неопределенно» или «неточно», в отличие от случаев, когда некоторая величина принимает «точное» значение, как, например, скорость электрона в эксперименте с дифракцией. Тот факт, что точные значения не всегда могут быть сопоставлены каждой физической величине, представляет фундаментальную особенность квантовой механики.
Как мы видели, это вызвано двоякой природой частиц (волновой и корпускулярной), подтверждаемой многочисленными экспериментами. Необходимость примирения такой «двоякой природы» непосредственно приводит к вероятностному истолкованию ~ф и фундаментальному принципу неопределенностей физических величин. 3.3. Соотношения неопределенностей и принцип дополнительности Мы не всегда можем приписать точное значение данной физической величине; часто можно указать лишь вероятность того, что она принимает те или иные определенные значения.
С другой стороны, существуют, конечно, физические величины, которые в конкретных случаях принимают точные значения. Примером может служить длина волны свободно движущегося электрона. Так как Л = 6/р, то отсюда следует, что р (или п) также имеют точные значения (они могут быть определены по ускоряющей электроны разности потенциалов) . Однако, координата свободно движущегося электрона, которому соответствует плоская волна де Бройля, полностью неопределенна. Это сразу следует из вероятностного смысла волновой функции. Свободной частице соответствует волна де Бройля 1Р(х) = е'"*. Квадрат ее модуля ~ф(т) ~з = ф*(т)1Р(х) представляет собой плотность вероятности найти частицу в точке т, т.
е. ~ф(х) ~ г1я есть вероятность того, что значение координаты частицы заключено между:г и т, + 11я. Поскольку ~е1""~ = 1 и не зависит от координаты, волновая функция соответствует постоянной плотности вероятности. Другими словами., у свободной частицы координата полностью неопределенна, а импульс известен точно. Разобранный нами случай свободной частицы па самом деле является частным случаем общего принципа неопределенностей, связывающего между собой неопределенности в значениях так называемых сопряженных координат (здесь это были пространственная координата и импульс). Как показал В.
Гейзенберг, необходимость описывать поведение частиц волновыми функциями приводит к соотношениям неопределенностей как математическому следствию теории. Анализируя возможности измерения координаты и импульса электрона, Гейзенберг пришел к заключению, что условия, благоприятные для измерения положения, затрудняют нахождение импульса, и наоборот, в этом смысле понятия координаты и импульса дополня1от друг к друга. Для доказательства он пользовался мысленными экспериментами. Вот краткая схема одного из них. Для того, чтобы определить положение электрона, нужно осветить его и посмотреть в «микроскоп».
Такой способ определения координаты дает неопределенность Ьт порядка длины волш1 Л использованного света, т. е. Ьх Л. Действительно, дифракция на краях линзы диаметра Р приводит к угловому расхождению светового пучка Л(Р; в результате в фокусе линзы 3.3. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕ,ПЕННОСТЕЙ И ПРИНЦИП ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ 43 получается световое пятно размера ь( Л))Р (где 1 — фокусное расстояние линзы); а т. к.
обычно 1 Р, то,Ь Л. Для уточнения положения электрона надо брать возможно меньшую длину световой волны. Но это палка о двух концах. При взаимодействии с электроном свет передает ему импульс. Чтобы уменыпить передаваемый импульс, можно ослабить интенсивность света так, чтобы с электроном взаимодействовал только один фотон. То есть минимальный передаваемый импульс будет порядка импульса одного кванта.
Последний связан с длиной волны соотношением рф = 6/Л, поэтому неопределенность импульса электрона вдоль той же оси ас Ьр~ > 6/Л. Умножая обе части неравенства на Л и подставляя 33я вместо Л, получаем (3.13) 33я (хр > 6. Это и есть сооптношение неопределенностей' Гейзенберга.
Следует отметить, что связанными соотношением неопределенностей оказались сопряженные величины координата х и проекция импульса на ту же ось р„. Такие же неравенства справедливы для неопроделенпостей в значении координаты и импульса по двум другим осям у и ю (3.14) ("(у Ьр, > 6, 33 (хр, > 1ь Особо подчеркнем, что здесь рсчь идет о принципиальном ограничении, которое природа накладывает на понятия координаты и импульса частицы.
Этого ограничения не знала классическая физика. Однако оно не вносит сколько-нибудь заметных изменений в классическое описание мэкрообъектов из-за очень малой величины постоянной Планка. Соотношение неопределенностей не мешает проведению физических экспериментов в микромире. Более того, оно правильно отражает ситуацию, возникающую в таких экспериментах вследствие корпускулярно-волнового дуаз(изма. Вьппе мы рассмотрели опыт по определению положения электрона с помощью рассеяния света на нем. Подчеркнем еще раз, что квант свста, сталкиваясь с электроном, испытывает комптоновскос рассеяние, передавая при этом электрону часть своего импульса.
с1ем точнее определяется положение электрона, тем более коротковолновый измеритсльш (й квант мы должны использовать и тем больший импульс ему сообщается. В пределе, когда электромагнитный квант имеет бесконечно малую длину волны и бесконечно большую энергию, электрон сможет получить какой угодно импульс.
Посл(дний становится север(пенно неопределенным. Таким образом, в микромире получение информации о координате частицы неизбежно связано с потерей информации о ее импульсе из-за влияния измерительного прибора, который приводит к неконтролируемому изменению этого импульса. Обсудим с точки зрения соотношения неопределенностей приведенный выше пример с прохождением электронов (ерсз два отверстия. По интерференционной картине на фотопластинке можно найти длину волны электронов, а значит и связанный с пей согласно де Бройлю импульс р = 6/Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
