belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Хотя в дальнейшем мы и будем говорить о волнах бегущих или стоя- чих, о пучностях или узлах, по будем делать это исключительно для нагляд- ности. Никаких реальных волн, распространяющихся в физической среде, волновая функция не описывает. Истинный смысл решения уравнения Шре- дингера — — 4Р1г* — — есть плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства. Перечислим основные свойства волновых функций. По своему смыслу вол- новая функция должна быть ограниченной, непрерывной и однозначной. Из того факта, что плотность потока вероятности выражается через гради- ент 4Р, следует непрерывность первых производных волновой функции. Ве- личина Щ (О' — потенциал) всегда должна быть конечной. Поэтому 4Р = О в тех точках, где б' = оо.
И наконец, как уже указывалось выше, волновая функция должна быть 1юрмировап44ой. Для состояния с определенной энергией Е зависимость волновой функции от времени описывается множителем ехр( — 4Е8/6), т. е. фв(л, д, з, Х) = 4Р(х, 9, з)е ' ' ~ '. (4.22) Как было показано выше, для свободной частицы 4Р(ш, у, з) = Ае4~". ГЛ.
«УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. ТУННЕЛЬНЫй ЭФФЕКТ Подставляя (4.22) в уравнение Шредингера (4.16) и сокращая временной множитель, получаем уравнение для пространственной части волновой фун- кции (4.22) — — ~7 + П ф(х, р, в) = Е1)2(х, р, г). й2 2т (4.23) Состояния с определенной энергией называются в квантовой механике стационарными состояниями., а уравнение (4.23) стационарным уравнением Шредингера, которое может быть записано в виде Й1)2(х, у, г) = ЕЯх, р, г), (4.24) й2 1;72ф — Е,1, (4.25) 2т при любых значениях Е. Такой случай носит название случая сплошного спектра К нему относятся квантовомеханические задачи о рассеянии частиц, т. е, задачи об инфинитвом движении. Задачи же о финитном движении (или, что то же самое, задачи о связанных состояниях) приводят к решениям, существующим лишь при определенных значениях Е, т. е.
к существованию дискретных уровней энергии. Проиллюстрируем этот важный результат (пока получещпяй только в принципе) на одном весьма простом примере. Рассмотрим движение электрона вдоль оси х и между двумя отражающими стопками, которые для электрона являются «идеальными зеркалами». С волвовой точки зрения это случай стоячих волн,подоб- 0 ных колебаниям закрепленной на концах струны скрипки. Поскольку электрон не может пройти через стенки, амплитуда у должна быть нулем вне последних, а, значит, и на самих стенках. '1"аким образом, амплитуда ф обращается в пуль при х = О и, скажем, Е, Это новые дополнительные условия, называемые «граничными условиями». Итак, стоячис волны должны иметь узлы у каждой из стенок.
Отсюда следует, что возможны волны не всех длин, а только те, для которых Л = 2Е или 2Ь/2, 2Ь,13, 2Г.(4 и т. д. Дискретные волновые функции показаны на рис. 4.1 (электрон между двумя стенками). Аналогичное условие имеет, например, место для определенного тона звучания струны скрипки. Длина волны Л = 2Е даст главный тон, а другие длины волн Л = 2Ь/2, 2Л,13, ... дают обертоны.
где оператор Й .. уже знакомый нам гамильтониап. С математической точки зрения решение стационарного уравнения Шредингера представляет собой задачу на отыскание собственных функций оператора Й и их собс гневных значений. как известно из теории диффере1щиальных уравнений, коночные и однозначные во всей рассматриваемой области решения уравнения (4.24), вообще говоря, возможны лишь при определенных значениях энергии Е. Но «вооб1це говоря» не означает «всегда». На самом деле, бывает и так,что стационарное уравнение Шредингера (4.23), или (4.24), имеет решения, соответствующие любым значениям Е. Примером может служить волновая функция свободного движения (плоская волна), удовлетворяющая уравнению 4.1.
УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 2я — Е = ик Л (4. 26) где и ---- целое число. Последнее условие (4.26) непосредственно дает «разрешенные» значения Л Л1 = 2Е, Л2 = 2Е/2, ... Лв = 2Е/и. (4.27) Итак, мы видим, что существует бесчисленное множество возможных волновых функций электрона ки ф„= А„вш — х. Ь (4.28) Амплитуда А„может быть, конечно, различной для разных и.
Чтобы показать дискретность энергетических уровней, введем вместо Л энергию (р)' ( ь )' Заменяя Л ее разрешенными значениями Лв из (4.27), получим тй и 11 (4.29) 2 т24П 8тЕ2 Таким образом, возможны только определенные значения Е, а именно Е .
Наинизшим значением энергии будет ь2 Е (4.30) а ее более высокие значения оказываются в 4, 9, 16 и т. д. раз больше. Промежуточных значений энергии быть пе может. Значения энергии Е„называют собственными значениями, а фв собственными функциями. Если для энергии в стационарных состояниях мы имеем вполне определенные значения, то этого нельзя сказать об импульсе. Определенной является только величина р .
Импульс р» не имеет определенного значения. Волно- 2 вая функция частицы с точным заданным значением импульса всегда по необходимости комплексна, как это имеет место в плоской волне. Таково об1це11 свойство квантовой механики. На только что рассмотренном примере видно, что дискретность энергетических уровней вызвана граничными условиями. Этот пример показывает, как дискретные квантовые состояния могут быть поняты с точки зрения волновой мехвлики. Нечто подобное должно иметь место и в атоме. Однако здесь положение оказывается существенно сложнее, чем в пашем примере, т. к.
в атоме нет определенных границ. С другой стороны, в атоме водорода, (и = 1) Волновая функция формально полностью совпадает с зависимостью амплитуды колебаний струны от координаты 1Р = Ав1п(2кх7Л), однако в этом выражении Л = 6/р = Ь((2и1Е)112 дебройлевская длина волны электрона. Эта волновая функция удовлетворяет граничному условию 4Р = 0 при я = О.
Второе граничное условие равенство 1р нулю па второй границе, т. е. вш А Ь = О., выполняется только для определенных значений Л, а именно: Гл. 4. уРАВнение шРединГеРА. тунне.льный НФФект 58 например, электрон движется в электрическом поле протона (заряд е), потенциал которого определяется формулой 1Т = — е~ ~(4яед г) . На рис. 4.2 показана потенциальная энергия электрона в поле с кулоновским потенциалом.
Поскольку электрон притягивается ядром (и связан с ним), то его энергия должна быть отрицатечьной. Но его кинетическая энергия всегда положительна. Поэтому, если мы рассматриваем движение электрона классически, он может двигаться только в области, на границах которой его кинетическая энергия обращается в нуль, т. е. там, где его полная энергия Е становится равной потенциальной энергии (на рис. 4.2 эти границы задаются условиями г1 = 0 и гз = — Яе~Д4ясвЕ)).
Данное условие подобно граничным условиям, рассмотренным ранее. По существу, оно означает, что электрон не может покинуть атом, если его энергия отрицательна (связанный электрон). В волновой картине это будет означать, что амплитуда волны должна обращаться в нуль на больших расстояниях от атома. Последнее условие приводит к существованию только дискретных уровней энергии электрона в атоме, но, конечно, расстояния между энергетическими уровнями будут совершенно иными, чем в приведенном выше примере. 4.2. Движение частицы в поле «прямоугольной ступеньки» С помощью стационарного уравнения Шредингера мы теперь можем приступить к решению конкретных задач. Начнем с задачи о движении частицы в ступенчатом потенциале высотой 118, т.
е. решим так называемую задачу об отражении от барьера. Будем для простоты рассматривать одномерное движение в потенциале вида 11(х) = ~ О' (4 31) Такая прямоугольная одномерная |ютенциальная ступенька, изображена на рис. 4.3. Пусть полная энергия частицы Е ( 118. Согласно классической механике область х > 0 для нее недоступна. Будем искать решение отдельно в областях 1 и 2. В первой области (х ( 0) уравнение Шредингера принимает вид с1 у5 2ьчЕ (4.32) Введем обозначение 1г~ = 2тнЕ/6~. Общее решение этого уравнения имеет вид ф~ = 1 е'ь'х+ Ае Л'т. (4.33) Таким образом фактически имеется падающая волна (ее амплитуду мы приняли равной единице) и отраженная с амплитудой А. Во второй области (х > 0): — .,(11 — )Ф=о (4.34) 4.2. ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ПОЛЕ «ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СТУПЕНЬКИ« Введем аналогичное обозначение к~2 = 2111(Пв — Я) /62.
Уравнение (4.34) имеет два решения: одно вида е ~2», а другое вида еь'». Второе решение физически неприемлимо, поскольку на бесконечности волновая функция должна обращаться в нуль, как указывалось ранее. Поэтому решение уравнения (4.34) имеет вид У22 = Ве (4.35) где»» — — пока неизвестная постоянная. Итак, мы получили два решения в разных областях, и нам надо согласовать их на границе, или, как говорят масематики, надо сшить два решения. Выше указывалось, что волновая функция и ее первая производная должны быть непрерывны. Поэтому мы можем потребовать выполнения такой непрерывности в точке т = 0: ф1(0) = ф2(0); '«1(0) Ф2(0)' (4.36) Отсюда сразу следуют соотношения для амплитуд А и В: Е 1+А=В; гй1(1 — А) = — й2В. (4. 37) В результате 411(1 — А) = — й2(1+ А), и это значит, что амплитуда отраженной волны А равна 1 — ~2% (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
