belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 16
Текст из файла (страница 16)
39) 1+ гА2/к1 Интересно вычислить модуль отраженной волны, который определяет ее энергию (для простоты введем обозначение й2ф1 = о): (4.38) 1 — 1а ~1 — 11» ~Ч— 1+ 4а 1+ о2 , )1 Π— 2«О! = 1 2 1+,2 1 — «з- ')'««~ =1. э.«о) 1+ О2 Итак, модуль отраженной волны равен единице. В установившемся (стаци- онарном) состоянии вся энергия падающей волны отражается, однако «под ступенькой» существует экспоненциально затухающая волновая функция с амплитудой В=1+А= 2 1 + 1г« (4.41) модуль которой равен ~В~= 2, =,Л+ '= . (4.42) + У11+ Р Полученный результат аналогичен случаю полного внутреннего отражения в оптике. Гл. 4.
уРАВнение шРединГеРА. тунне.льный эФФект ев Рассмотрим теперь случай надбарьерного прохождения частицы массы т, (при этом ес энергия Е должна бьггь больше высоты ступеньки 17в). Решение уравнения Шредингера ~ф" + (2т16з) (Š— 17о)~ = 0 (4.43) аналогично предыдущему, и мы получаем т ( 0: фл + (2гнЕ/6з) ф = О, ф1 = е'ь'~+ Ае пчь; (4.44) т > 0: фл + (2гн/6~) (Š— 17в)ф = О„фз = Ве'~'-", где введены обозначения 2нГЕ Й, = (4.45) Производим сшивку решений: ф~ (0) = ф.(0): 1+ А = В; 4~~(0) = 4~(0): гЙ1 — 1Й1А = 162В. Отсюда легко найти выражение для амплитуды прошедшей волны: А =  — 1, Й1 — Й1(Б — 1) = ЙзВ, В = 2Й1/(Й1 +Йз). (4.47) Таким образом теперь, в отли гие от подбарьерного отражения, частица ча- стично отражается, а частично проходит через барьер.
Для характеристики этого явления вводится коэффициент прохождения О, равный отношению потоков,7в/,У1 прошедшей и падающей волн. Поток, как известно, равен произведению пр (т. е. скорости на плотность). В области Ф ( 0 кинетическая энергия частицы Т1 — — гни~~(2 = Е, а в области я > 0 Тв = гннз72 = Š— 17в. Вспомнив, что согласно введенным обозначе- ниям, Е = Й19((2т), а Š— 17в = Ь~~Р((2гн), получим следующее выражение для отношения скоростей: пз/п1 = Йз/Йн Кроме того, т. к. амплитуда пада- ющей волны нами принята равной единице, то рз/р1 = В~. Таким образом Р = Я~(31 — — нзрз7(н1Р1) = ЙзВ /Йн (4.48) Следовательно, несмотря на то, что энергия частицы больше высоты сту- пеньки, имеется не только прошедшая, но и отраженная волна, то есть ча- стица «неполностью» проходит над ступенькой.
В самом деле, коэффициент прохождения равен 2~а Йв = (Š— 17в) 6з (4.46) 4Й1 Йз (Й, + Й.„) а коэффициент отражения При этом В + Р = 1. Полученный результат существенно отличается от соответствующего результата классической механики, согласно которой в случае Е > 17в всегда Р = 1, а Л = О. В квантовой механике,как мы видим, коэффициент прохождения равен единице только при Й1 = Йв, но последнее означает, что ступеньки просто пег. Необходимо также заметить, что омона направления движения частицы не влияет на ответ в силу симметричности полученного решения.
4.3. пРямОуГОльный БАРьеР. туннельный эя!!вект 4.3. Прямоугольный барьер. Туннельный эффект 12ф область 1 и П1 !1т,2 12~ область П Решения этих уравнений имеют вид „1, 1 Е!у2!охсх1А + ВŠ— !Лтнкх1А '!' ! + за=9, 2тпЕ (4.49) +, (Š— ~'о)Ф =9. (4.50) = Се!,~рт,н.Них~А '!'! ! ! (4.51) — хЬе.- ! ! ~я — 44ГГ!я — е! (4. 52) '! и Здесь В амплитуда отраженной волны, амплитуда падающей волны принята равной 1, С --- амплитуда волны, прошедшей в область П1 («сквозь» барьер), тх и Д амплитуды двух вещестнеппых экспонент, через которые выражается волновая функция в области П (под барьером). Цх) Па,та!ощая н отраженная волны Г!роюед!ная волна х! х, Рнс. 4.4 Рис.
4.5 Коэффициент прозрачности барьера Р представляет собой отношение потоков вероятностей прошедшей и падающей волн: Р=С2. (4.53) Нетрудно показать, что за исключением случая, когда энергия частицы мало отличается от высоты барьера, определяющим в (4.52) является второй член! т. е. а « (3. Иными словами, можно с 1итать, что в области П, под барьером, волновая функция спадает эксцоненциально: а — ' тв:я! ! (4. 54) Тогда коэффициент прозрачности Р прямоугольного барьера высотой Со и ширины а можно получить непосредственно из (4.54): и= ~Фи! !е = -' ' !"-'!'!" (4 55) Полученный результат легко обобщается на случай барьера произвольной формы, который можно разбить на ряд прямоугольных барьеров (рис.
4.5). Теперь мы легко можем рассмотреть зада ту о прохождении частицы под прямоугольным барьером конечной ширины (рис. 4.4). Запишем уравнение Шредингера в различных областях, как это делалось выше: Гл. «уРАВнение шРединГеРА. тунне.льный эФФект Суммируя действие этих элементарных барьеров, получим хр 2 рр = р — р ррр (у — т) р*) . (4. 56) 2 Е = — + Г(х). 2т В нашем случае 5Р(х) ) Е, а значит р2/(2гп) < О, что бесмыссленно, поскольку р — — действительная величина. Именно поэтому такие области и недоступны для классической частицы. Однако согласно квантовой механике частица может быть обнаружена в этой «запретной» зоне, т.
е. квантовая механика как бы разрешает кинетической энергии быть отрицательной, а импульсу мнимой величиной. На самом деле последнее заключение неверно. рассматривать полную энергию как сумму потенциальной и кинетической энергии можно только в классике, ведь это означает, что мы знаем одновременно импульс р и координату х частицы. Деление энергии на кинетическую и потенциальнун> в квантовой механике бесмысслепно, а потому и нет парадокса. Таков формальный ответ.
Конечно, обнаружить частицу внутри барьера при Е < Гэ можно. Однако при этом мы вносим по принципу неопределенности дополнительную дисперсию импульса (2Ар2), и уже нельзя утверждать, что энергия частицы равна .Е. Какова же она? Туннельный эффект (так называют в квантовой механике возможность «просачивания» частицы под барьером) заметен при Т2 1, т. е. на таких расстояниях 1, что — рр 2(р — я)1 1.
2 й (4.57) Тем самым мы Должны фиксиРовать кооРДинатУ частиЦы с точностью 2зх<1р а при этом неизбежно появляется дисперсия импульса 52 й2 2~р2 ~ 4~,~2 4Р Из соотношения (4.57) следует, что 8т(1р' — Е) ' Пределы интегрирования х1 и х2 определяются из условия 1р'(х) = Е, Строго говоря, под знаком корня должна стоять приведенная масса тМ р2 = щ+М' где М масса тела, образующего потенциальный барьер. Прохождение частицы под потенциальным барьером представляется на первый взгляд парадоксальным. Действительно, частица, находящаяся внутри потенциального барьера при полной энергии Е, меньшей высоты барьера Ьш должна иметь отрицательную кинетическую энергию р /(2р), ибо в 2 классической механике 4.3.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ БАРЬЕР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ и, значит Вгй,п((7 2хр2 >, = 2гп(О" — Е) А,р2 или — > (О' — Е), 2гп то есть изменение кинетической энергии частицы, вносимое при нашей попытке обнаружить частицу под барьером, больше той энергии, которой ей недостает до высоты барьера 5Г. Прохождение частицы под потенциальным барьером называют туннельным переходом —. название как бы означает, что «частица роет туннель под горой потенциального барьера». Чтобы наши выводы стали понятнее, поясним, что понимается под термином «вероятность проникновения под барьером», который определяется выражением (4.56). В соответствии с вероятностным толкованием волновой функции это значит, что если к барьеру слева подходит Х частиц с энергией Е (или скоростью п =,/2Е(п~), то в среднем лишь их доля ш (т.
е. шХ частиц) от полного числа пройдет через барьер, а доля (1 — и) (т. е. (1 — ш)Х частиц) отразится от него и начнет двигаться налево. Очевидно, что в силу экспоненциальпой зависимости, туннельный эффект реален только для очень легких частиц на очень маленьких расстояниях. Рассмотрим конкретный пример. Поместим на близком расстоянии друг от друга две металлические, например железные, пластинки. Зависимость потенциальной энергии и атома, и электрона от координаты пример~о соответствует прямоугольному барьеру. Высоту потенциального барьера для атома можно считать приблизительно равной той энергии, которую нужно затратить, чтобы оторвать его от кристалла, т. е.
энергии сцепления атома в кристалле. Для железа это 3.,7 эВ. Пусть расстояние между пластинками втрое болыпе атомного 6( = 1О А = 10 2 см. Вероятность тунпелирования атома железа (его масса М, = 56 1.,6 10 2" 9 10 26 г, а кинетическая энергия .. - порядка тепловои Е йвТ 0,03 эВ, (70 — Е = 3,7 эВ) будет / 2 107 ш =ехр рй — 22 -6000 10-2000 Таким образом, атом перейдет из одной пластинки в другую за время порядка 1,140 = 102000 = 10 лет, т, е, все время существования Вселенной слишком мало, чтобы можно было дождаться туннельного перехода хотя бы одного атома.
Ну а для электрона в той же ситуации'? Его потенциал почти такой же (потенциал ионизации у железа равен 4,2 эВ), но масса --- в 10' раз меньше. Для вероятности туннелирования сразу же получается увеличение в экспоненте в Л06 = 300 раз, т. е. и 10 10. Кажется, что и этого слишком мало. Проведем вычисления: число электронов в 1 смз 10 з, их скорость 26 г = 3 10 см/с, следовательно за 1 секунду на 1 см поверхности налетает 1000 частиц, т. е. число протупнелировавших в 1 с будет шХ = 1020 см Это уже очень много. Если к тому же еще приложить напряжение 1 В, то можно получить токи порядка амперов.
Но стоит щель увеличить вдвое до 20 А как 40 10 20, и ток упадет в 10ш раз. ГЛ. 4. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. ТУННЕ.ЛЬНЫЙ НФФЕКТ Явление туннелирования «частицы» аналогично полному отражению от границы двух сред в оптике. Следует упомянуть., что оптическое туннелирование наблюдал еще 11ьютон. Он брал треугольную призму и прижимал к одной из ее граней сферическую линзу. Оказалось, что свет проходит не только в месте соприкосновения, а в небольшом кольце вокруг него. Задачи 1. Найти плотность потока вероятности для плоской волны т1т = е'"'т ' = е' ' и сфернрлт ь ческой волны Зт = 1)1кт) е' Решение.
По определенвю комплексно сопряженная волновая функция плоской волны 4Г = е *~', для сферической волны тг* = 1/(хг) е 'ь'. Поэтому для плоской волны по определенито потока полу шеггя: 1, = 1р — — О и 1. = ЬЬ)т = р.тт = е„где ь. скорость частицы, описываемой плоской волной ут. В случае сферической расходящейся волны тГ = ь = (1/Йг)е' " вектор плотности потока направлен по радиусу-вектору г.
Так как радиапьная компонента вектора т7 есть д)дтб то по определению потока получаем ьк 1 г е г тп 1кг)т т 1Ь)т т или, что то же самое (так как к )~ г): 1 р и (Ьг)з тп (Ьг)т Тот же результат можно получить и в декартовых координатах 2тп 1, дх дх I тп (Ь)т г 1Ь)' ш (Ь.)т тп 1йт)т Аналогично полУчаютсЯ выРажениЯ длЯ ур и 1„.. 2. Найти коэффициент прозрачности прямоутольного потенциального барьера высоты Пе и ширины а для частицы массы тп и энергии Е < Цт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
