belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 20
Текст из файла (страница 20)
11айти вероятность нахождения частицы с наименьшей энергиой в области а/3 < х < 2а/3 и число эноргетичоских уровней в интервале (Е, Е+ 0)Е) . Ответ: ш = — -~ (2х) з/3 0,61; г) У = — )~ — г) Е. 1 а /гп 3 хб )/ 2Е 3. Показать. что в основном состоянии гарлюиического осциллятора Ьр 21х = й/2, где гхр и Гхх - среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их средних. Волновая функция этого состояния имеет вид 6з = фо/хехр ( — ахз/2), где а = пца/5.
ЗАДА'-1И Решение. Легко убедиться, что для рассматриваемого состояния р и х равны нулю. Поэтому Ьр~ = рз и Ьх~ = кз. Находя рз и тз по правилу вычисления квантовомеханических средних (имея в виду, что р = 10/г) г1/с1я, а х = х), получаем ррй й)~ ) ехр( " ) ехр( ) дт 3 хз = — т ехр( — от ) бт = —, 2а' и таким образом, рз -хй= Ьз/4 или Л/Ьр' З/Ьх' = й/2. 4. В угарном газе СО из-за возбуждения колебаний молекул наблюдается пик поглоще- ния инфракрасного излучения на длине волны Л = 4,61 мкм.
Определить амплитуду Ао нулевых колебаний молекул СО. Оценить температуру, при которой амплитуда тепловых колебаний превзойдет Аа. Рниение, Для оспиллятора Е„„„ = Е „ = Е/2, т. е, в основном состоянии Ео/2 = 1кв/4 = 11/2) ьАо/2, й = ды, ы = 2лс/Л, р= -'"-"' =11,3 10-ззг, Аз= — "=З,З 10-шсм гп1О) -~ т<С) Амплитуда тепловых колебаний превзойдет .4з, когда средняя энергия теплового движе- ния, приходящаяся на одну степень свободы, станет больше энергии нулевых колебаний, т. е, й,Т ) йгэ, илн Т ) 3000 К. б.
Позитроний продставляет собой связанную систему из электрона и позитрона,вра- щающихся вокруг центра масс этой системы. Найти уровни энергии позитрония. Решение. Отличие позитрония от водорода сказывается только в приведенной массе: для водорода рн =гп,.М„/1т, 4-ЛХ„) т„а для позитрония р =т т //т,4-т ) =те/2 1т. к. т, = т„). Отсюда следует, что уровни энергии позитрония по абсолютной величине практически в два раза меньше уровней энергии водорода для одних и тех же значений квантовОго числа и, т. е.
ш,А Е 414яео)зйз пз ГЛАВА 6 ПРОСТРАНСТВЕННОЕ КВАНТОВАНИЕ. СПИН ЭЛЕКТРОНА 6.1. Пространственное квантование Энергия физической сисгемы в зависимости от формы потенциальной кривой может иметь либо непрерывный, либо дискретный спектр. В то же время другая физическая величина момент импульса Ь для любой системы может принимать только определенный, дискретный ряд значений. Момент импульса характеризует врашательное (угловое) движение. При изучении такого движения удобно пользоваться полярной системой координат (рис.
6.1). В этой системе положение точки характеризуется: расстоянием г от начала отсчета: полярным углом д между полярной осью з и радиусом- вектором г; азимутальпым углом д, отсчитываемым в плоскости:гу от оси х. Волновая функция, описывающая состояние с определенным значением проекции Ь, па ось з в значительной мере аналогична плоской волне де Бройля: роль координаты играет азимутальный угол р (угол поворота вокруг оси г), а роль проекции импульса —. проекция момента импульса на эту осгб оператор проекции момента импульса имеет вид Х, = — И (д/ду), и, таким образом, х е'(ь:~М~ (6.1) При этом по смыслу угловой переменной углы у и у + 2я описывают одно и то же положение частицы относительно оси ьч если систему повернуть вокруг оси з на угол 2я, то она перейдет сама в себя.
Поэтому волновые функции должны удовлетворять условию периодичности (р) = ф, (~р+ 2я). (6.2) Как следует из (6.1), это условие выполняется липп в том случае, если Ь,/й принимает целочисленные значения. Следовательно, Ь„в отличие от проекции импульса р„может принимать только дискретные зна гения: Ь, = т~й, где т~ = О, ~1, ~2, ... (6.3) Таким образом, проекция момента количества движения на любую ось кваптуется и равна целому числу постоянных Планка (на рис.
6.2 дано схематическое изображение квантования проекции Ь, момента импульса Ь на ось з). Квантование проекции момента означает, что вектор квантового момента импульса ве может иметь произвольного направления по отношению к любому фиксированному направлению в пространстве. Этот факт получил название пространственного квантования. Оно выглядит крайне необычно: поскольку направление оси з можно выбрать произвольно, то проекции момента на два различных направления (г и з ) квантуются одинаково.
К1, ПРОСТРАНСТВЕННОЕ КВАНТОВАНИЕ Возможные значения проекции момента на оси х и у также определяются формулой (6.3). Может показаться, что квантование проекции Л, приводит к тому, что вектор Ь составляет лишь определенные углы с осью, как это схематично показано на рис. 6.2. Однако полученный результат имеет совсем другой смысл. Формула (6.3) показывает, что при измерении проекции момента импульса мы в результате опыта обязательно получим число, являющееся кратным 6. Однако значение Ь, до этого вовсе не должно быть равно целому числу й.
До и после опыта ф-функции вовсе не обязаны совпадать. Мы вправе лишь утверждать, что ф-функция состояния, имевшегося до опыта, т. е. ф-функция любого физического состояния, может быть представлена в виде суперпозиции собственных решений: ф = ~~~спАт, ~ ст и (6 4) ъ'2я Система, описываемая такой ф-функцией, не обладает определенной проекцией момента Ь. Вектор 1 может бь!т! направлен произвольным образом, по при измерении Л, всегда будет найдено какое-то одно из т, значений, входящих в сумму (6.4).
Вероятность найти значение Ь, = гп!й определяегся, как всегда, величиной ~с„„~~. >юг=О в= — ! Рис. 6.2 Рис. 6.3 Рис. 6.1 Таким образом, вектор момента импульса не имеет определенного направления в пространстве. В этом смысле рис. 6.2 является условным. При фиксированном значении проекции момента на ось з вектор момента импульса как бы прецессирует вокруг этой оси, из-за чего проекции Ь и Ьз не имеют определенных зпа ~ений (рис. 6.3).
В данном случае мы снова сталкиваемся с действием кваптовомеханического при!щипа неопределенностей. Проекция момента не может быть болыпе его абсолютного значения. Поэтому при фиксированной величине модуля момента возможные значения числа и!! ограничены сверху числом Ь Если ! задано, то проекция момента может принимать 21 + 1 значений.
Найдем возможные значения момента импульса. Средние значения проекций Ь, Ьк и Ь„как и любых других величин, могут иметь в данном состоянии определенные значения. Если никаких предварительных операций для фиксации проекции момента на какое-либо направление не производилось ГЛ.
8. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ КВАНТОВАНИЕ. СПИН ЭЛЕКТРОНА 80 (нет выделенной поляризации частиц), то все направления равноправны и средние зпачсния квадратов проекций момента импульса одинаковы: (6.5) Это утверждение вместе с правилом квантования проекции момента (6.3) позволяет определить возможные значения квадрата момента импульса. Среднее значение квадрата момента, как и в классической механике, равно сумме средних значений квадратов проекций.
Учитывая равенство (6.5), получим ( ') = ( 2)+( 2)+( 2) = 3( 2) (6.6) г,з = (1,з) = 3 (7,8) (6.7) Все значения 7, равновероятны, если никакого отбора по возможным состояниям не п1>оизводилось. Поэтому среднее значение (1 ~) равно сумме всех 21+ 1 возможных значений (>.~) от И, до — !>>, деленной на их полное число: (1-2) 52! + (! — 1) + + ( — !) 26 ( 2 22 32 !2) 2!+1 2!+1 (1 +2 +3 +.
+!)= 2!1в !(!+1)(2!+1) Ь~ 2!+1 6 3 Здесь мы использовали известное выражение для суммы квадратов целых чисел от 1 до !. Подставив полученное значение (т" ~) в (6.6), найдем 52 62!(! + 1) (6.8) Равенство (6.8) определяет закон квантования квадрата момента количества движения, т. с. его длину. Число тп от которого зависят значения проекции момента, называется магнитным квантовым числом. Этот термин обусловлен тем, что, как мы увидим в дальнейшем, проекция магнитного момента, создаваемого движенисм заряженной частиц>я, пропорциональна проекции момента импульса этой частицы, определяемого числом ть Максимальное значение магнитного квантового числа т> и, = 1, а минимальное гпб;„= — !.
Число 1, определяющее возможные значения квадрата момента, называется орбитальным квантповым числом. Отметим еще одно отличие квантового момента от классического. Максимальное значение проекции квантового момента й! не равно модулю момента >> „>>!(! + 1), а меньше его. Мы уже подчеркивали, что в силу соотношения неопределенностей у микрочастицы не могут быть одновременно известны проекции момента па две различные оси. Зафиксировав состояние с определенным !.„мы вносим неопределенность в проекции !. и ь,.
В квантовой механике задание ь и одной из проекций момента импульса полностью определяет вращательное состояние тола. При любой ориентации момента его квадрат имеет одну и ту жс величину. Следовательно, а2. сОстОяния Атомных электРОнОВ с РАзными моментАми импульсА 81 6.2. Состояния атомных электронов с разными моментами импульса Зная закон квантования момента импульса, мы можем теперь полностью классифицировать состояние электрона в атоме. Действитольпо, электрон в атоме может обладать и ненулевым моментом количества движения 1, таким, что )1)2 = 6~1(1+ 1), 1 = О, 1, 2, 3, ..., (6.9) а его проекция на заданную ось принимает при этом значения 1, = йггп1, 111,1 = О, ~1, ~2, х3, ..., Ы. (6.10) Как уже упоминалосгь вектор 1 принято называть орбитальным моментом количества движения, 1 .—.
орбитальным квантовым числом, а т1 . Магнитным квантовым числом (оно определяет возможные значения проекции орбитального момента 1 на какую-либо ось). Отметим, что при обозна 1ении га1 индекс «1» часто опускают, мы вводим 1шо, чтобы не путать мап1итное квантовое число с массой электрона. Исторически (это пришло из оптики) состояния с различными 1 имеют соответственно следующие наименования: 1 = 0 называется в-состоянием (от английского слова в11агр), 1 = 1 называется р-состоянием (от ан1лийского слова рггпсгра1), 1 = 2 называется и'-состоянием (от английского слова 11((Гпве), и так далее по алфавиту (Г, 9, Ь., ).
Раньше мы искали стационарное состояние атома водорода, предполагая, что решение является сферически-симметричным, т. е. зависит только от радиуса, но не от угловых переменных. Теперь снимем это ограничение. Представим у2-функцию в виде произведения угловой и радиальной компонент (что, оказывается, возможно): ф(г, О, 1Р) = В(г) У(0, 1Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
