belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. переходов из одного состояния в другое с испусканием или поглощением фотона). Для систем размеров порядка атомных наиболее вероятным является дипольное электромагнитное излучение и поглощение,которое, как показывает расчет, может происходить лишь при определенных соотношениях между квантовыми числами начального и конечного состояний, а именно: реализуются только такие электромагнитные переходы, при которых изменения квантовых чисел принимают следующие значения: ВАДЛЧИ Ь) = О, ж1; Ьгцу — — О, ж1; Ы = ж1; «1гп1 = О, ж1; Ьгп, = О.
(6.55) Правила отбора (6.55) справедливы не то««ько для водорода, но и для 1юдородоподобных атомов. Отметим, что для многоэлектронных атомов (отличных от водородоподобных) также можно получить правила отбора, для которых (6.55) являются частным случаем. Они будут подробнее рассмотрены в дальнейшем. Задачи 1. Найти собственные значения и нормированные собственные функции операторов: а) Х., б) Х,'.
Решение. а) Уравнение Х,15 = б.р, где оператор Х. = — лтл(д/дф, имеет решения вида У~(у) = Аехр(Ж,лл,«й). Из условия периодичности (б.2) следует, что Х, = тй, где т = О, х1, х2,... Из условия нормировки А = (2х) '«'. 'Таким образом, 1Ь,Ой) (2х) '«ехр(гтЗл).
б) Собственные значения ь~ = твайт, где т = О, х1, х2, ... собственные функции те же, что и дчя оператора Х,, т. е. О~м (зл) = (2х) '«' ехр«лтлл). 2. В модели жесткого пространственного ротатора частица массы М движется все время на одном и том же расстоянии го от центра. Найти собственные значения энергии такого ротатора, считая известнылги собственные значения оператора ь"'-, Решеиие. При и = го = сопит энергия вращения ротатора равна ьт«'«2Лйго), где Ь .- момент импульса ротатора, а Мг„- его момонт инерции.
Следовательно, гамильтониан РотатоРа Й = ~'-'((2Л)гзз), и из (5.8) следУет, что Е = Лз«11 + 1)Д2Мго), где 1 = О, 1, 2,... 3. Пучок атомов натрия вылетает из печи, температура хоторой Т = 350 К. Пучок расщепляется в поперечном неоднородном магнитном поле с градиентом ОВ«'с)у = 50 Тл м на пути 1 = 1 см.
Детектор удален от магнита на расстояние Х = б,5 м. Найти расстояние а между пятнами на экране. Реиыние. Отклонение каждого атома складывается из отклонения Ьл при про.тете и поле и отклонения Ьз при пролете от магнита к детектору. Таким образом, расстояние между пятнами а = 25л -'г 25~', Р„ОВ1 Г 1'1з ', р„йВ)Б Ь = — ~Е= т.„йу 2 ~,иг, ( ит илн. с1у и~~ ' где и, магнетон Бора, и„ скорость атомов натрия в пучке, т . лгасса атома натрия.
В результате ГЛАВА 7 ПРИНЦИП ЗАПРЕТА ПАУЛИ. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА ЭЛЕМЕНТОВ МЕНДЕЛЕЕВА 7.1. Принцип Паули Химикам давно было известно, что свойства многих элементов подобны. Например, Не, 11е, Аг, Кг, Хе представляют собой благородные газы и весьма «неохотно» участвуют в химических реакпиях, а ь1, На, К, пЬ., Сз являются щелочным и металлами с одной валептностью. Сходными свойствами обладают галогены Р, С1, Вг, 1. Число подобных примеров можно увеличить.
11емногим более ста лет назад, в 1869 г, Д.И. Менделеев обнаружил, что отмеченное подобие не случайно, а связано с определенной периодичностью в свойствах химических элементов. По мере увеличения атомного веса такие свойства меняются «циклически» . —. через некоторое время они повторяются. К своим результатам Менделеев пришел чисто эмпирически па основе изучения большого экспериментального материала, но вопрос о том, чем обусловлена найденная закономерностгч оставался открытым.
Как уже указывалось, первый шаг в этом направлении был сделан в лаборатории Резерфорда во втором десятилетии ХХ в. Было выяснено, что периодичность элементов связана нс с их атомным весом, как думал Менделеев, а с величиной заряда ядра, равная числу атомных электронов. Менделеев был прав постольку, поскольку атомный вес стабильных изотопов для каждого химического элемента монотонно возрастает с увеличением заряда ядра и числа электронов. Поэтому почти безразлично, как располагать элементы по числу электронов или по атомному весу. Следующим этапом явилась работа Н. Бора, опубликованная в 1923 г. Бор полагал, что электроны в атоме обращаются вокруг центрального ядра по замкнутым орбитам.
Форма каждой орбиты и ее удаление от ядра характеризуются орбитальным квантовым числом 1, определяющим угловой момент электрона и главным квантовым числом и. Химические свойства атома в основном зависят лишь от распределения электронов на орбитах с наибольшим значением главного квантового числа и. Такие электроны более других удалены от ядра и потому связаны с ним менее прочно, они гораздо легче отвечают на внешние возмущения, чем электроны на «внутренних» орбитах. Периодичность, открытая Менделеевым, связана с тем, что определенная совокупность электронных орбит образует «замкнутую оболочку», представляющую собой сфсрически симметричное и весьма устойчивое в химическом плане образование.
Атомы с целиком заполненными оболочками инертные газы очень слабо реагируют на внешние возмущения, поскольку их потенциал ионизации существенно больше, чем у остальных элементов. В других атомах эти заполнопшие оболочки эффективно уменыпают, как говорят, экранируют, положительный заряд центрального ядра. В химических пь пРинцип пя гли реакциях участвуют только электроны, находящиеся на еще незаполненной оболочке. Свойства атомов с одинаковым числом таких электронов оказываются подобными. Так, например, все атомы с одним электроном сверх заполненной оболочки щелочшш металлы — одновалентпы.
Атомы с двумя «лишними» электронами щелочноземельные металлы Ве, М8, Са, Яг, Ва двухвалентны и т. д. Из таблицы Менделеева видно, что в атомах благородных газов Не, Не, Аг, Кг, Хе, Нп имеется соответственно 2, 10, 18, 36., 54, 86 электронов. Каждый такой атом отличается от предыдущего заполнением новой оболочки. Отсюда легко найти количество электронов в замкнутых оболочках: оно равно разностям чисел электронов в соседних инертных газах, т. е. 2, 8, 8, 18, 18, 32.
Ридберг заметил, что этот ряд чисел описывается простой формулой 2Хз, где Х целое число, равное по очереди 1, 2, 3., 4. Такая закономерность, как мы убедимся, является весьма знаменательной. Что же касается повторяющихся в этой последовательности чисел 8 и 18, то это связано, как мы увидим в дальнейшем, с порядком заполнения состояний в атомах. В развитом Бором представлении об оболочечном строении атома было одно нечеткое место. Надо было делать специальное предположение, на низших орбитах атома может находиться лишь ограниченное число электронов. Такое положение существовало до тех пор, пока в январе 1925 г. В.
Паули не сформулировал принцип запрета, носящий его имя. В нашем конкретном случае он означает, что в атоме не может существовать двух или болыпе эквивалентных электронов, т. е, электронов, для которых значения всех квантовых чисел одинаковы. Если в атоме находится электрон в состоянии, характеризуемом некоторым набором значений квантовых чисел, то это состояние «занято». В квантовой механике одинаковые частицы рассматривая>тся полностью тождественными. Что это означает? В классической механике мы можем пометить частицы. Например, при упругом ударе одного биллиардного шара по другому можно указать., какой из шаров после соударения покатился вправо, а какой влево.
В квантовой механике это в принципе невозможно изза отсутствия траекторий у частиц и перекрытия их волновых функций в области, где происходит столкновение. Одинаковые частицы теряют свою индивидуэльпостгч что отражается введением так называемого принципа щоэкдественности частиц, согласно которому все частицы одного сорта абсолютно неразличимы; возможность «пометить» их означала бы сделать их разными, что невозможно.
Принцип тождественности частиц на языке волновых функций, описывающих в квантовой механике их поведение, означает, что волновые функции системы частиц, получающиеся друг из друга перестановкой пар одинаковых частиц, могут отличаться только несущественным множителем е'?, где вещественное число. Добавление этого множителя не меняет ни плотности вероятности ~ф~2 обнаружения частиц, ни средних значений физических величин. Если сделать перестановку частицы еще раз, то получится функция, отличающаяся от исходной множителем еэ'~.
Так как при этом система возвращается в исходное состояние, то ежу = 1 и е'з = х1. Следовательно, перестановка пары частиц местами либо оставляет волновую функцию неизменной, либо меняет ее знак. И поскольку состояние частицы характеризуется как ее положопием в координатном пространстве, так и ориентациой ГЛ.
7. ПРИНЦИП ЗАПРЕТА ПАУЛИ. ТАБЛИЦА МЕНДЕЛЕЕВА ее спина, то в первом случае волновая функция является симметричной функцией координат и проекций спинов частиц, а во втором ант[юимме[причной Как показывает опыт, симметрия или аптисимметрия волновой функции зависит от спина частиц. Частицы с полуцелым спином, в том числе электроны, протоны, нейтроны, описываются только антисимметри п[ыми волновыми функциями, они [юдчиняются статистике Ферми — Дирака и потому называются фермионами. Частицы с целым спином --- фотоны, мезоны и др.
описываются только симметричными волновыми функциями, они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами. Как показал Паули, этот опытный факт может быть обоснован в рамках квантовой теории поля. Антисимметрия волновых функций одинаковых частиц с полуцелым спином — фермионов приводит к особенно простым и наглядным следствиям в приближении невзаимодействующих частиц. Если пренебречь их взаимодействием друг с другом, то каждую частицу системы можно считать находящейся в определенном состоянии и волновук[ функцию всой системы представить в виде произведения волновых функций отдельных частиц, а полную энергию Е системы полагать равной сумме энергий частиц системы.
Рассмотрим для простоты систему из двух частиц. В этом случае энергия системы Е = Е[+ Ез, где Е[ — — энергия первой частицы в состоянии, описываемом волновой функцией ф„(г[, в,[), а Ез энергия второй частицы в состоянии [([й(гз, з,з). Здесь г[, гз --. координаты первой и второй частиц, а в,[ и в,з проекции их спинов на ось ж Решением уравнения Шредингера для такой системы будет произведение ~, =~.(г[, з- И,(г, з,.), (7.1) а если под цифрами 1 и 2 понимать совокупность всех переменных, от которых занисят волновые функции первой и второй частиц, то можно переписать его в виде (7.2) [Р[(1, 2) = [[[„(1)[Р[[(2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
