belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Нам несущественно, как ре- ализован осциллятор: представляет ли он собой груз Рис. 5.4 на пружинке или колебательный контур. Согласно осцилляционной теореме, если частица движется в области размером А, то па этой длине должно укладываться целое число полуволн (т. о. должна образоваться стоячая волна): 1(Ев) = 71(Л/2). (5. 24) Поскольку длина волны де Бройля Л = 1ь|ъl2тЕ, (5.25) а2. кВАнтоны$1 Осциллятог 73 то, если энергию отсчитывать от дна ямы, получаем Е„= й(Ев) (~тй/.,/2тЕ„) п. (5.26) Найдем,как зависит в нашем конкретном гармоническом потенциале характерный размер Е от энергии уровня Е„.
Характерная область находится из условия Г(А„) = Е„, Из выражения для потенциала (5.23) получаем Ев = (1/2) тьРь„"— ~ Л.„ос ь/Е„/ы. С учетом (5.26) находим следующее соотношение ~/Ев/ы х (пЦ ~2гаЕ„) п (5.27) (5.28) (5.29) или (5.30) Еп = Сп~ы, где С константа. Чтобы отыскать ее величину, воспользуемся принципом соответствия Бора, который в навзем случае означает, что при больших квантовых числах расстояние между соседними уровнями должно равняться классической частоте движения, т.
е. ЛЕ„/й~ = 1ип„. (5.31) Отсюда сразу следует, что С = 1. Точное решение задачи о гармоническом осцилляторе приводит к спектру его состояний Е, = (и+ 1/2)Ьы. (5.32) 6/2 17 ~ .2/2 Е 1 .2/2 1 ьв/(8 2) (5 33) и минимизируя полную энергию, находим характерную амплитуду нулевых колебаний осциллятора ~в/В*= 5 — ь'д~,З =о, ьг = феда ). (В.з4) Подставляя (5.34) в выражение для энергии (5.33), получаем Ев = йы/2. (5.35) Отметим, что спектр оказался эквидистантным. Кроме того, легко записать уравнение квантования энергии трехмерного осциллятора как сумму трех одномерных: Е„= Бы(п~ + пв + пз + 3/2) = авиа(п + 3/2), (5.36) где п = п~ + пз + пз называют главным квантовым числом осциллятора.
Мы применили к осциллятору, не интересуясь его устройством, принципы квантовой механики, установлепныо первоначально для некой частицы, Таким образом, при п = 0 энергия равна не нулю, а Ев = Аы/2. Это связано с соотношением неопределенностей, и, как мы уже неоднократно подчерки- вали, используя его, легко получить оценку нулевой энергии. Учитывая, что ГЛ. В. ДИСКРЕТНОСТЬ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ 74 5.3. Заряженная частица в кулоновском поле Перейдем к задаче о движении заряженной частицы в кулоновском потенциале (рис. 5.5).
Для нас это одна из самых интересных задач, поскольку она описывает состояния электрона в атоме. Мы уже не раз обсуждали вопрос о том, как найти основное состояние квантовой системы --. надо минимизировать, с учетом соотношения неопределенностей, полную энергию. Для электрона, находящегося в кулоновском поле ядра с зарядом Уе, полная энергия определяется выражением т2 52 Е— (5.37) 4яго г 2тпг2 Дифференцирование этого выражения по г приводит к следующему условию для минимального значения энергии; У,2 52 — =0 4яго72 тт з (5.38) или гв 2 47тоот12 (5.39) Утттео Мы получили значение боровского радиуса для электрона в поле ядра с зарядом Уе.
Такой атом называется оодородоподобным. Энергито основного состояния можно найти, подставляя (5.39) в (5.37): (5.40) 2(4ттго)252 Аналогичным образом могут быть найдены возбужденные состояния. Волновые функции высших квантовых состояний, согласно осцилляциоппой находящейся в потенциальной яме (электрона). Естественно ожидать, что общие принципы должны быть такими же и для других частиц. Особо следует подчеркнуть одно важное свойство квантового осциллятора. Когда энергия минимальна, классический осциллятор находится в покое в положении равновесия, между тем как квантовый в наинизшем состоянии при и = 0 совершает колебания — «нулевые колебания».
Кинетическая и потенциальная энергии этих колебаний тко. Среднее значение координаты осциллятора равно нулю, а среднее значение квадрата координаты дается приведенной выше формулой. Это замечательное свойство квантовых осцилляторов хорошо проверено на опыте и чрезвычайно важно для современной физики. Если мы рассмотрим звуковые колебания твердого тела как набор квантовых осцилляторов, то получим, что при абсолютном нуле температуры все атомы твердого тела не неподвижны, а совершают нулевые колебания. Это подтвердили опыты по рассеянию света при низких температурах.
Если же рассмотривать электромагнитные волны как набор осцилляторов в пустом пространстве, то мы придом к заключению, что в пустото, даже когда в ней нет частиц или квантов, должны происходить «нулевые колебания» электромагнитного поля, и эти колебания также были обнаружены. ГЬЗ. ЗАРЯЖЕННАЯ НАСТИНА В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ теореме, имеют и узлов. Поэтому характерная длина волны Л такого состояния будет равна 2ггг(п, что приводит к увеличе~икг кинетической энергии этих состояний. Действительно, электрон локализован в пространстве в области размером порядка Л., и поэтому его импульс, согласно соотношению неопределенностей, может быть оценен как р 6/Л = пй~г, (5.41) а кинетическая энергия Т = рг/(2т) и 5Б((2тгг).
(5 42) Если провести минимизацию полной энергии, как это делалось выше, то мы получим для состояния с квантовым числом п и, 4'гев~ 2 (5.43) тХег что соответствует радиусу его боровской орбиты, а для энергии этого состояния: тг е 1 — 2(4д.„)гйг пг' (5.44) Фактически, дискретные значения энергии электрона в атоме следуют из условия, что на длине орбиты, по которой движется электрон, должно укладываться целое число волн. Если радиус орбиты г, то п-у состоянию электрона соответствует условие 2ггг = Лп (а = 1, 2, 3, ...) или тв„, = ЬН1(2ггг). (5.45) Мы предположили, что радиус орбиты г имеет фиксированное значение.
Согласно квантовой механике радиусы орбит «разбросаны» в окрестности классически устойчивой орбиты. В качестве оценки взято значение г, которое соответствует минимуму энергии Е(т). В действительности электрон может находиться с разной вероятностью па любом расстоянии от ядра. Наше упрощение состоит в предположении, что это определенное, равное г расстояние находится из условия минимальн<юти полной энергии. Поэтому нельзя доверять числовому множителю впереди полученной формулы, хотя он случайно и оказался правильным.
Однако всему остальному, а главное, зависимости от квантового числа я, доверять можно. Отметим также, что в формулу (5.44) для уровней энергии атома водорода, строго говоря, входит не масса электрона, а приведенная масса системы протон-электрон. Поэтому спектры энергии, например, обычного водорода и его тяжелого изотопа дейтерия несколько отличаются друг от друга (так называемый пзопютгческий сдвиг). Существование данного эффекта экспериментально наблюдается пе только для водорода, что вполне понятно, поскольку полученное решение справедливо для любой «водородоподобной» системы системы из двух частиц с противоположными зарядами, связанных лишь электростатическими силами. Это — однократно ионизованпый гелий, двукратно иопизовапный литий, Ве~~~ и т. д.
Сюда же относятся позитроний .— система е~е, мюонные и пионные атомы (или, как их еще называют, мезоатомы), т. е. атомы, в которых один из электронов замешен на отрицательный мюон р, или пион х (их массы составляют ГЛ. 5. ДИСКРЕТНОСТЬ ЭНЕРГЕТИт1ЕСКИХ СОСТОЯНИЙ 76 соответственно — 207гае и — 274ж,). В этих и других такого рода водородоподобных системах эффект изотопического сдвига сказывается особенно заметно. Почти водородоподобпые спектры наблюдаготся у щелочных металлов, в которых один слабосвязанный с атомом наружный электрон движется в поле ядра и (ю — 1) электронов, образующих замкнутую оболочку благородных газов.
Различие заключается в том, что если в атоме водорода электростатическое поле является полем точечного заряда, то в щелочных металлах это не так. Формула для энергии и-го уровня имеет вид хг, ~у2 (5.46) (и — 771)2 ' где о1 поправка на неточечность, зависящая от орбитального движения электрона (от типа симметрии сто движения), а юзф . — эффективный заряд ядра, учитывающий экранирующес действие электронов замкнутой оболочки. Одно замечание: нри решении мы считали, что гр-функции это функция только расстояния частицы от кулоновского центра, а не угловых переменных, т. е. искали сферически симметричные решения. Позже мы выясним, чему соответствуют решения, не обладающие сферической симметрией. Сейчас лишь отметим, что регнение полной задачи пе приводит к появлению новых уровней энергии.
Задачи 1. Потенциальную энергию взаимодействия (7(х) атома гелия с плоской поверхностью твердого тела можно аппроксимировать прямоугольной ямой типа (5.12) ширины и = 0,5 изс Полагая, что волновая функция адсорбированного атома в основном состоянии достигает максимума при х = 0,99а, определить среднее значение координаты х для адсорбированных атомов в основном состоянии. Решение. Внутри ямы (О ( з ( а) волновая функция И = Аяп (сх, а вне ее (х > а) И = Вохр( — мх).
Условие сшивания при " = а дает с1К(6а) = — и/й. Т. к. максимум Р достигается при х~ = 0,99а, то )сш = х/2, или и = (з./2а)(1 + 6), гне 6 = 0,01. Тогда уСловие сшивания можно пЕреписать в виде соз(х/2+6х/2) х6 и х6(с /хтз 6 яп(х/2+6х/2) 2 Ь' 2 1 2/ а т Отсюда видно, что и «1/а, поэтому вероятность нахожденпя атома вне ямы ~16~ г(х ж сс ехр( — 2мз)бх заметно убывает на расстояниях » а, и с хорошей точностью можно положить х 1/(2и) 10 нм. 2. Частица массы гп находится в одномерной прямоугольной яме с абсолютно непроницаемыми стенками (О < х < а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
