belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. ~ф(х) ~ с1х есть вероят- 2 ность того, что значение координаты частицы заключено между х и х + с1х (мы рассматриваем для простоты одномерный случай). Для того, чтобы найти среднее значение какой-либо величины, надо просуммировать все ее возможные значения, умноженные на вероятность их появления. Так как координата частицы принимает непрерывный ряд значений, то в нашем случае среднее значение координаты х частицы, состояние которой описывается волновой функцией »Р, определяется интегралом х = х~ф~2 с1х = ~> х»)»с1х,.
2 2 2 3 Аналогичные выражения имеют место как для у и 2, так и для х, у, 2, х и т. д. Отсюда следует, что среднее значение произвольной функции координат 1" (х, у, х), которая всегда может быть представлена в виде ряда по степеням х, у и 2, вычисляется по формуле 1(х., у, х) = ф*~(х,, у, «)»Рс1хс1усЬ. (4.8) Состояние частицы характеризуется не только координатой, но и импульсом, зна сение которого определяет ее кинетическую энергию. Посмотрим Гл.
х. уРАВнение шРединГеРА. туннельный эФФект внимательно на правую часть уравнения Шредингера (4.5), которую в од- номерном случае можно переписать в виде — — ~72~ = — — 15 — — И,— ф = — — 15 — ф = — ф. (4.9) Здесь мы символически обозначили двукратное последовательное применение операции дифференцирования с умножением на — 16 как квадрат этой операции, которая в конце формулы (4.9) кратко обозначена как р и называется оператором.
Поясним более подробно., что означает слово «оператор». Математики различают два основных способа действия на функцию, если «действие» понимать в самом широком смысле слова. В результате одного способа из функции получается также функция от той же самой переменной, но другая. Тогда говорят, что на функцию подействовали оператором. Например, функцию ф(я) умножили на число А, отличное от единицы, и получили новую функцию Аф(я). Это называется оператором умножения на число. От функции з1пйх взяли первую производную применили к ней оператор дифференцирования и получили функцию Й сов Йл.
При другом способе той функции, ва которую действуют, сопоставляется не какая-то функция, а единственное число. Такой способ называется вычислением функционала от функции. Функционалом может быть ее значение функции в определенной точке, например, в начале координат, или площадь под кривой, образуемой участком графика этой функции. Последний есть ни что иное как определенный интеграл от функции. В операторном представлении уравнение Шредингера (4.5) записывается в виде дф 2 16 —, (4.10) д4 2т Такая запись наводит на мьк:ль о том,что воздействие на волновую функцию с помощью операции — И(п7'и:г) имеет какое-то отношение к определению импульса квантовой частицы. Действительно, правая часть уравнения (4.10) полностью аналогична выражению для кинетической энергии перелятивистской частицы, гю вместо импульса чи:тицы в него входит оператор р.
Поэтому величину р~(2ьч естественно назвать оператором кинетической энергии, а р -- оператором импульса. Однако нам необходимо знать величину импульса частицы. Переход от операторов непосредственно к самим значениям физических величин производится в квантовой механикс следующим образом. Обратимся к выражению (4.7) для среднего значения координаты и перепишем его в несколько другом виде х = ф хфс!х = ф'хф<1кл (4.11) Мы здесь сделали с математической точки зрения формальную запись, введя оператор координаты л, .тождественно равный самому значению координаты.
На основе тех же соображений, которые приводились при обсуждении вычисления среднего значения любой функции от координаты 7" (х), можно 4.Е УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА утверждать, что .Ь) -=.йх), (4.12) то есть оператор любой функции от координат ('(х) совпадает с самой функцией. Соотношение (4.11) является, на самом деле, определением оператора. В квантовой механике каждой физической величине д, характеризующей состояние частицы, описываемой волновой функцией В, ставится в соответствие оператор д такой, что среднее значение д вычисляется по формуле д = ф*д фс1г, (4.13) где г1г = с1х 41у 41х, а интегрирование проводится по всему просгранству.
Таким образом, среднее значение импульса должно вычисляться по формуле р = 4'(г, 1)( — где)~(г, 1) <1г, (4.14) где знак ~7 означает векторный дифференциальный оператор, компонентами которого являются производные по трем декартовым координатам, то есть Если же в рассматриваемом состоянии некоторая величина Ь имеет определенное значение ьв, т. е. Х = Лв, то из (4.13) следует, что Хф = Ьвф.
В этом случае 4Р есть собственная функция оператора Х, обладающая собственным значением Ьв. Так например, плоская волна 4 = Аетц' ' описывающая свободное движение частицы с импульсом р вдоль оси х, является собственной функцией оператора р,, = — 4ад/дх с собственным значением р. Покажем, что, величина р является для плоской волны собственным значением оператора импульса, т. е. ре1пепием уравнения р Ф вЂ” рвФ.
Для плоской волны у = ехр[4(г'х — ю1)), и это уравнение принимает вид <1~ — 46 — =рвФ вЂ” > ( — гЮг~Ф =рвФ -э рв =м =р. <1х Обратимся опять к уравнению Шредингера (4.6). Его правая часть представляет собой оператор кинетической энергии Т: — р (2гп, действующий на волновую функцию 4Р. А поскольку полная энергия свободной нерелятивистской частицы тождественна энергии кинетической, то вполне естественно рассматривать оператор, стоящий в левой части уравнения (4.6), как оператор полной энергии частицы: ад — — —— : Е. 4 д1 (4.15) 54 Гл.
4. уРАВнение шРединГеРА. тунне.льный эФФект В самом деле, по крайней мере для плоской волны адф — — — = 64о~~ = Е4Р, г д~ иными словами, 4Р является собственной функцией определенного таким образом оператора энергии с соответствующим собственным значением. От- сюда, между прочим, следует, что для состояния с определенной энерги- ей зависимость волновой функции от времени определяется множителем ехр( — 4Е1(Б). К этому вопросу мы вернемся позднее. Теперь попытаемся разумно обобщить полученное нами уравнение (4.6), которому подчиняется волновая функция свободной частицы, на случай частицы, движущейся в силовом поле.
В классической механике полная энергия такой частицы есть сумма кинетической и потенциальной энергий: Е = Т + Г. Поэтому естественным обобщением уравнения (4.14) является до- бавление в правую его часть члена ГУ1. Если потенциальная энергия явля- ется функцией только координат частицы (а именно такие случаи мы здесь и будем рассматривать), то, как указывалось выше, действие оператора О на волновую функцию 4Р сводится к умножепиию на Г(х, у, з).
Таким обра- зом, уравнение Шредингера для частицы в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией Г(ал у, в), имеет вид 6д4 62 — — — — У 2 У5 + Г4Р. (4.16) г д1 2га В классической механике функция Гамильтона консервативной системы Н(р, о) равна полной ее энергии Е. Уравнение Шредингера представляет собой по сути это же утверждение для операторов, действующих в простран- стве волновых функций: Еф = Йф. Оператор Й, который, как мы видели, для случая одной частицы во внешнем силовом поле равен -а р Н = — + Г(т, у, з), 2т в квантовой механике называют оператором Гамильтона или гамильтони- аном.
Заметим, что в приведенном здесь рассуждении можно было бы восполь- зоваться плоской волной вида е 46л — 1сг) т. е. вместо 4Р оперировать с функцией ф'. В этом случае мы получили бы ад ' аа — д =-2 'У'Ф*+ГФ" (4.17) т. е. уравнение, сопряженное (4.16). Разумеется, безразлично, что искать 4Р или у *, так как найдя одно, мы одновременно находим другое, и, что самое главное, физический смысл имеет лишь произведение учР*. Если теперь выполнить несложное математическое упражнение, а именно: умножить уравнение (4.16) слева на 4Р', а уравнение (4.17) на 15, вычесть из первого второе, то после простых преобразований мы придем к соотношению + 'Г(у1'у у5* — ф*~74Р) = О. (4.18) 4Л. УРЛВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРЛ И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВЛ Фактически (4.18) представляет собой уравнение непрерывности для плот- ности вероятности р = фф' (4.21) — + Жч~ = О, др д1 в котором роль плотности потока вероятности играет вектор 2тп (4.19) Теперь посмотрим, какова, согласно (4.19), будет плотность потока свободно распространяющейся частицы, описываемой, как мы уже знаем, плоской волной.
Пусть частица массы т, обладающая импульсом р = 6к, движется вдоль оси ш. Ее волновая функция имеет вид 4Р = Аехр(йх — иЛ). (4. 20) Подставляя это выражение в (4.19), получаем йй, р 4' = — АА* = — АА* = вакф' = вр, гп гп где г = р/гп скорость частицы. Таким образом, в случае свободно дви- жущейся частицы формула (4.19) находится в полном соответствие с клас- сикой. Сравним теперь уравьюние Шредишюра (ограничившись случаем свобод- ных частиц) с уравнением для электромагнитных волн д2ф ~72~ с2 дР Решением этого уравнения является функция типа 4Р х сов(кг — аи). Но такое решение уравнению Шредингера не удовлетворяет, поскольку послед- нее, в отличие от (4.21), содержит .лишь первую производную по времени, и поэтому его решение принципиально комплексно. Данный факт является весьма существенным для понимания смысла квантовомеханического урав- нения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
