belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 107
Текст из файла (страница 107)
При нуле температуры функция Ферми равна единице при е ( д и равна нулю при е > рь Это означает, что в металлах р, равно энергии Ферми Е . Из общих термодинамических соображений следует, что д это химический' потенциал электронного газа, т. к. он означает, что при добавлении одного электрона в систему в тепловом равновесии энергия системы возрастает на д. Действительно, при Т = 0 в имеющуюся электронную систему мы можем добавить электрон только с энергией Е, так как все остальные состояния заняты.
Вообще говоря, химпотенциал зависит от температуры. В изоляторах и полупроводниках, как мы увидим дальше, нет такой простой физической эквивалентности химпотенциала энергии Ферми. Из выражения для фермиевского распределения сразу следует, что при конечной температуре «размытие» верхней границы электронного спектра происходит, как мы и получили на основе качественных рассуждений, лишь в области порядка 21свТ «Еф.
Полученный нами результат позволяет легко оценить вклад электронов в теплоемкость твердого тола. В классической области (Т > 0) решеточная Гл. а электРОны В кРистАллАх теплоемкость согласно закону Дюлонга и Пти (см. 9 5.4) постоянна и равна 31т. Эксперименты показывают, что примерно такой теплоемкостьк> обладают не только диэлектрики, но и металлы, что на первый взгляд кажется очень странным. Действительно, пусть каждый атом отдает в зону проводимости по одному электрону.
С классических позиций это означает, что, так как па каждую степень свободы должна приходиться энергия И Т(2, то молярная теплоемкость электронов, которые мы считаем свободными, должна составлять ЗЛ/2, что не соответствует действительности. Однако это легко объяснимо на основе полученного нами распределения Ферми для электронов. При нагреве тела реально возбуждаются не все электроны, а лишь их малая часть, равная примерно 21г Т(ЕФ. Поэтому электронная часть теплоемкости должна быть порядка ~2 2 " Е Е (9.21) где и, — . плотность свободных электронов в металле. Если припять, что п = 2У„то это выражение принимает вид Сз = ЗЛ квТ(Е,.
Более аккуратный расчет дает вместо коэффициента 3 величину к2/2, что не сильно отличается от нашей оценки. Существенным моментом в полученной формуле для электронной теплоемкости является то, что при Т ) О она составляет порядка процента от решеточной теплоемкости, по в силу сс линейной зависимости от температуры в области низких температур она может стать доминирующей. Обы шо решеточная и электронная теплоемкости сравниваются при температуре в несколько кельвинов.
9.2. Зонная структура энергетических состояний электронов в кристаллах Модель свободных электронов полезна для рассмотрения многих свойств металлов, особенно щелочных, но она не может объяснить, почему одни химические элементы в кристаллическом состоянии оказываются хорошими проводниками, другие изоляторами или полупроводниками. Все дело в том, что эта модель совсем нс учитывает свойств репштки, фактически в этой модели рассматривается электронный газ в непрерывной среде. Ясно, что для более детального понимания поведения электронов в кристалле необходимо рассмотреть взаимодействие электронов с ионами решетки. Рассмотрим вначале качественно, как изменяются состояния электронов при сближении атомов.
Расположим, скажем, 1У атомов натрия в виде пространственной решетки, свойственной кристаллу натрия (объемно-центрированный куб), но па столь болыпих расстояниях г друг от друга, что взаимодействием между ними можно пренебречь. Каждый такой атом можно рассматривать тогда как свободный и энергетическое состояние электронов в нем считать таким же, как и в отдельно взятом изолированном атоме. На рис. 9.2 внизу показаны энергетические схемы двух изолированных атомов натрия. Электроны находятся в потенциальной яме, образованной кулоновским полем ядра.
На уровнях 19 и 2в располагается по два электрона, на уровне 2р — — шесть электронов, на уровне Зз один электрон. Уровни, лежащие выше уровня Згч являются свободными. 9ЗЬ ЗОННКЯ СТРУКТУРА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОНОВ 395 Атомы отделены друг от друга потенциальными барьерами. Высота барьеров для электронов, находящихся на разных уровнях, различна: она равна расстоянию от этих уровней до нулевого уровня. Потенциальный барьер препятствует свободному переходу электронов от одного атома к другому. В верхней части рис. 9.2 показана качественная картина распределения Рис. 9.2 вероятности обнаружения электронов Зз и 2в на расстоянии г от ядра.
Максимумы этих кривых соответствуют примерно положению боровских орбит Зв и 2в электронов. Подвергнем теперь решетку медленному однородному сжатию, не нарушающему ее симметрии. По мере сближения атомов взаимодействие между ними растот, как видно из рис. 9.3, теперь потенциалы отдельных атомов Рис. 9.3 частично накладываются друг па друга. Сближение атомов вызываот уменьшение не только ширины потенциального барьера, препятствующего переходу электронов из одного атома в другой, но и его высоты, высота потенци- 9.К ЗОННАЯ СТРУКТУРА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ Э,ЛЕКТРОНОВ 397 Примем ширину барьера для валентных электронов равной а = 1 А.
Подставив это значение д в формулу (9.23), получим и-10~9 с, 7-10 Гвс. (9.24) Таким образом, за счет квантового туннелирования электрон в кристалле в среднем в определенном узле находится лишь время т 10 ш с. В соответствии с соотношением неопределенностей это приводит к тому, что неопределенность в значении энергии таких электронов равна ЬЯ Цт = 10 97/10 гв = 10 гв эрг — 1 эВ.
(9.25) Это означает, что энергетический уровень валентных электронов, имеющий в изолированном атоме ширину 10 7 эВ, превращается в кристалле в энергетическу7о зону шириной порядка нескольких электропвольт. В то же время электроны внутренних оболочек остаются столь же сильно локализованными, а энергетические уровни этих электронов в кристалле такие же узкие,как и в отдельно взятом атоме. Лишь по мере перехода к впошним оболочкам атома высота и ширина потенциального барьера уменыпаются, вероятность туннельного перехода электронов увеличивается, вследствие чего растет ширина энергетических зоп. На рис.
9.5 показано изменение энергетических уровней атома натрия по мере их сближения. Справа приведены уровни изолированного атома натрия, слева --- образование зон, обусловленное расв7ирением уровней при уменьшении расстояния 7 между атомами, а, — межатомное расстояние в кристалле натрия. 2а Рис. 9.5 Итак, мы видим, что в твердом теле у электронов имеются не дискретные энергетические уровни, а полосы разрешенных значений, разделенные запрещенными зонами.
Зонная структура твердых тел позволяет легко понять, почему у твердых источников излучения не обнаруживаются линейчатые оптические спектры, характерные для входящих в их состав атомов. При нагревании твердого тела до высоких температур появляется лишь непрерывный спектр «черного тела». Этот факт становится очевидным с точки зрения полученных результатов: излучение обязано электронам, которые могут иметь лишь непрерывный ряд зна 7ений в пределах разреп7енной зоны.
Отметим еще одно важное свойство число электронов, которые могут поместиться в зоне, точно известно: оно равно числу атомов в кристалле, Гзт. 9. ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ умноженному на степень вырождения уровня, из которого образовалась зона. Если зона полностью занята, ее электроны не могут участвовать в электропроводности,ибо при этом энергия электронов под действием поля увеличивается, а все энергетические уровни заняты, можно только «перепрыгнуть» в другую зону. Полностью заполненные зоны называются также валеитными, вонвмтз. Частично заполпешпяс зоны называются зонами проводтзмоспзи. Отсюда сразу становится понятным, в чем отличие проводников от не- проводников это вопрос заполнения зон электронами, и, естественно, структуры зон.
На рис. 9.6 приведена схематическая диаграмма энергетических зоп для изолятора (а)., полупроводника (б) и металла (в). У проводников электроны частично заполняют верхнюю разрешенную зону (зону проводимости), в полупроводниках и изоляторах в зоне проводимости нет электронов. ~ ~Пустая зона ' проводимости '~ ' Заполненная ф ф валентина ф Ю па ости~~ Части шо заполненная зона проводи-', ' налентоая ,' зона ' аалентная й""Ь Гз -----" д зона Рис.
9.6 Если ширина запрещенной зоны между валентной зоной и зоной проводимости много больше характерной тепловой энергии, то такие вещества являются изоляторами. Если она достаточна мала, мы имеем дело с полупроводниками, и так как вероятность появления электронов в зоне проводимости из валентной зоны за счет тепловой энергии протюрциональна больцмановскому фактору ехр( — сз/й Т), где сз —. зпирина запрещенной зоны, которую электрону надо «перепрыгнуть», то проводимость полупроводников, зависящая от числа носителей в зоне проводимости, будет иметь сильную температурную зависимость. Фактически хорошие проводники это все атомы с 1, 2 или 3 валентными электронами сверх оболочки инертного газа.
Довольно наглядное сравнение, помогаюпцее понять зонный механизм проводимости, было предложено Г. Ванье. Представим себе сосуд из широких вместительных цилиндров, расположенных один над другим и соединенных очень узкими осевыми трубками. Каждый такой цилиндр изображает одну зону проводимости (см. рис. 9.7). а2. ЗОннкя стРуктуРА энеРГетических сОстОяниЙ электРОнОН Если жидкость целиком заполняет все нижние цилиндры-зоны, а верхний лишь наполовину, то это модель проводника. Если и верхняя зона пустая, а предыдущая заполнена по горлышко, до трубки, это модель изолятора. Приложение электрического поля в такой модели легкий наклон сосуда. У «проводника» ситуация в верхнем сосуде при этом заметно меняется уровень жидкости перекашивается относительно стенок,и если есть отверстие в стенке где-то выше исходного уровня, жидкость через него потечет.
С «изолятором» же, можно сказать, ничего не произойдет, положение жидкости относительно стенок практически не изменится (капиллярной трубкой мы пренебрегаем, считая, что через нее ничего попастоящему вылиться пе может). «?Кидкостью» в твердых телах являются электроны. Мы их уподобляли, и не без оснований, газу, но электроны в металлах во многом похожи и на жидкость. В нашей «многоэтажной бутылке» моделирующей электронные зоны, не следует совсем забывать о соединительной трубке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
