belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 102
Текст из файла (страница 102)
ФОНОНЫ 8Л. ХАРАКТЕР ТЕПЛ()ВОГО ДВИЖЕНИЯ АТОМОВ КРИСТАЛЛА 378 Откуда следует, что ,г)са + — г)са , 2 у у(ах) гп(ов = у 2 — 2) = 2.у(1 — созйа) = 4.уз)п21 — ) . (8.5) 2 ) 1,2) Так как частота ы .- - положительная величина, то окончательно имеем п)(к) = 2ЬЯтг ~згп(йа(2)~ . (8.6) Мы получили закон дисперсии для гармонических колебаний одномерной решетки, составленной из одинаковых атомов, приведенный на рис. 8.2. Говоря другими словами, мы получили, что в такой решетке могут распространяться только такие плос- ог=-угпхуг(т кис волны, для которых частота и волновой вектор связаны соотношением (8.6). Проанализируем полученный закон дисперсии. 1. Зависимость и)(й) оказалась периодической функцией с периодом 2ггу)а.
Выбрав значение волнового вектора Й в интервале ( — иу)а, г(,уа), мы по- Рвс. 8.2 лучаем все возможные значения частот. Эта область называется первой' зонод Ьриллюена, а й в этом интервале приведенным волновым ьоислом. 2. Частота колобаний оказывается ограниченной, и максимальное ее значение достигается на краях зоны Бриллюена йпгах = ггу)а = 2я/Лт)гг Лтгп — 2а, остах = 2хгУ")7пг.
(8.7) Максимальная частота соответствует колебаниям соседних атомов в противофазе. 3. В области малых волновых векторов (йа « 1) синус можно заменить его аргументом и мы получаем, что закон дисперсии является линейным п)(к) = 2 Ят (ка,(2) = от йа = вк. (8.8) Таким образом, в области длинных волн справедлив обычный закон дисперсии для звуковых волн. распространяющихся со скоростью 8 = а у,упг. Обргигимся вначале к первому следствию. Из соотношения (8.6) следует, что одна и та же частота колебаний может соответствовать разным длинам волн.
Нам надо выяснить, являются ли колебанияг отличающиеся от данного Уг на величину 2тя,(а (т —. целое число), тождественными, либо они имеют одинаковые частоты, по физически это разные колебания. Вычислим для этого отношение амплитуд колебаний атомов в двух узлах п) и п2 -Ы вЂ” ' — Я и г хг'-2хт а ехр г Ыг-2хт а пса' ° .
г ."гп г)' р)п ) — »)) = — г. )г.г) и„((й)Угип2(й) ЕХР(гали)а)УгЕХР(г)СП2а) Итак, мы показали, что физически эти колебания полностьк) тождественны, то есть мы действительно в зоне Бриллюена получаем все физически различные типы колебаний. Почему колебания с разными й оказались тождественными? Дело в том, что в дискретной цепочке, обладающей трансляционной симметрией, все равно какой длине волны приписывать, например, противофазпое движение частиц а = Луг2 или а = (Лу)2)(2пг+1).
И в том, и в другом случае мы получаем одинаковые колебания соседних атомов. На ГЛ. 8. ДИНАМИКА АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ 376 рис. 8.3 показана физическая эквивалентность колебаний, отличающихся по величине волнового вектора на величину 271туа. Как изменится закон дисперсии, если в цепочке имеются два сорта атомову Пусть линейная цепочка состоит из расположонных на расстоянии а, попеременно частиц массой т и М. Пусть тяжелые частицы занимают четные позиции, а легкие нечетные. Уравнения движения теперь примут вид М(д и2п/616 ) = /(и2п — 1 2и2п+ и2па1)~ и (8.10) ЬЧ(11 и2пт1/612 ) =у(иап — 2и2п 11+ и2 Р2).
Рис. 8.3 Будем искать решение, как и раньше, в виде плоских волн и в результате мы получим дисперсионное уравнение в виде ад~ = (1772) а162 1 ~ (8. 11) где ыоа 4 «(д р = 2тпМ)(тп+ М) ет2 = 4тМу(т+ М)' (8 12) Теперь в спектре колебаний появилось две ветви, соответствующие разным знакам в скобке выражения (8.11) . низкочастотная, соответствующая знаку « вЂ” », ее называют акустической, она полностью аналогична колебаниям -я772а О и/2а 17 -п77а -я/2а О п,72а п,Уа е Акустическая мода Оптическая мода Рис.
8.4 линейной цепочки из одинаковых частиц, и высокочастотная - . оптическая. На рис. 8.4 показан вверху показан спектр колебаний линейной цепочки, составленной из частиц с разными массами, в двух представлениях: слева —— в диапазоне волновых чисел й от — 7777(2а) до +я77(2а); справа от — 77,7а до +я/а. На рис. 8.4 внизу изображено движение атомов, соответствующее акустической и оптической модам. При малых значениях й (йа « 1) выражения для акустической и оптической частот колебаний приобретают вид (8.13) Оптическая ветвь соответствует противофазным колебаниям частип и ее характерной особенностью является то, что при малых значениях волнового аь хАРАктеР теплОВОРО дВижения АтОх(ОВ кРистАл,лА 377 вектора частота колебаний оказывается максимальной, а не минимальной, как это имеет место в акустической ветви.
Кроме того, в спектре возбуждений появилась щель, так что максимальная частота акустических колебаний (при й = 777712и)) равна 2ХЯМ, а минимальная частота оптических колебаний (также при lс = 7(7((2а)) равна 2ХЯт. Зона Бриллюена теперь простирается от — 7(7(12а) до 77/(2а), т. е. Период решетки 2а. При переходе к цепочке из одинаковых частиц (М вЂ” ~ т) щель в ь71й) исчезает, период решетки становится равным а. Если мы остаемся в половинной зоне Бриллюена, то оптическая ветвь становится как бы зеркальным отражением акустической относительно й = 777((2а).
Итак, мы показали, что колебания атомов кристаллической решетки могут быть представлены в виде гармони (еских колебаний, частота и волновой вектор которых связаны определенным соотношением 1законом дисперсии). Тем самым мы показали, что энергия взаимодействующих друг с другом атомов (ионов, молекул) оказалась равной сумме энергий невзаимодействующих друг с другом осцилляторов. Осциллятор играет роль структурной единицы движения в кристалле.
С точки зрения колебательной энергии кристалла твердое тело представляет собой «газ» осцилляторов, так как именно в газе энергия сумма энергии отдельных частиц. Этот вывод имеет столь принципиальное значение для физики твердого тела, что имеет смысл обсудить его более подробно.
Возбуждение кристаллической решетки (тепловой нагрев) приводит к очень сложному движению составляющих ее частиц — — атомов, ионов, молекул. При прямолинейном подходе решетка представляет собой набор отдельных атомов, колеблющихся около положения равновесия и передающих избыток энергии при случайных столкновениях. Вообще говоря, этот механизм в принципе правилен, по в рамках такого подхода отыскание законов движения огромного числа атомов является безнадежной задачей. Такую модель индивидуальных частиц удобно заменить коллективной моделью и, действительно, представление возбуждения решетки в виде совокупности бегущих плоских волн позволило нам свести задачу к возбуждению независимых гармонических осцилляторов.
Твердое тело - - система сильно взаимодействующих частиц, и поэтому возможность сведения этой задачи к задаче о системе слабо взаимодействующих или даже идеальных (невзаимодействующих) частиц является принципиальным моментом. Каждая нормальная мода описывает колебания всей совокупности атомов, цо математически это выглядит как колебания простого осциллятора. Обычно вместо того, чтобы говорить о нормальных модах, пользуются эквивалентным корпускулярным подходом.
Конечно, это абсолютно эквивалентные описания. Корпускулярно-волновой дуализм позволяет создать удобный, наглядный и очень плодотворный язык для описания поведения атомов твердого тела, язык, особенно пригодный при низких температурах. Идеология построения подхода к распространяющимся по кристаллу волнам крайне проста. Каждой волне, следуя идеям де Бройля, можно сопоставить частицу, называют ее фононом. Это название квантам звука было дано в 1932 г. Я.И.
Френкелем. Конечно, фоноп это не частица в буквальном понимании этого слова и поэтому элементарное возбуждение кристалла называют квазичастпцей, а совокупность элементарных возбуждений газом квазичастиц. Просто величины, описывающие макроскопические свойства 1Л. 8. ДИНАМИКА АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ 378 твердых тел, выражаются в терминах, характеризующих отдельные квази- частицы: их скорость, длину свободного пробста и т.
п. Правда, если функциональные зависимости энергии от импульса для всех нерелятивистских частиц одинаковы: Е = р~)27гн отличаясь только массами, у квазичастиц они сложны и многообразны. Фактически для фононов понятие массы теряет смысл, ибо соотношение между энергией и импульсом зависит от величины импульса, а потому масса не является постоянной величиной, то есть характерным параметром системы. Причина этого в том, что частицы «живут» в однородном и изотропном пространстве, а квазичастицы «живут» в периодической структуре в кристалле, находя1цемся в основном состоянии. Иначе говоря, введенные нами квазичастицы (фопоны) -- это возбужденные состояния кристалла, а вакуум относительно квазичастиц это кристалл в основном, невозбужденном состоянии.
Впервые распросгранил квантовомеханические соотношения де Бройля на описание волн в кристалле в 1929 г. И.Е. Тамм. 8.2. Изучение фононного спектра кристаллов методом неупругого рассеяния нейтронов В гл. 7 мы рассмотрели вопрос об исследовании кристаллических структур твердых тел методом упругого рассеяния различных частиц " рентгеновских лучей, нейтронов, электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
