belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 105
Текст из файла (страница 105)
4 закон Дюлонга и Пти, гласящий, что теплоемкость любого твердого тела не зависит от температуры и определяется только числом его атомов В единице объема. В дебаевской модели легко подсчитать теплоемкость тела при любой температуре, все сводится лишь к вычислению в конечных пределах интгграла, входящего в формулу (8.30).
Несмотря на свою очевидную грубость, модель Дебая обладает огромным достоинством, заключающимся в ее простоте, и следует отметить, что формула Дебая очень хорошо соответствует опытным данным, так как теплоемкость является свойством. мало чувствительным к деталям частотного распределения нормальных колебаний. Это хорошо видно из рис. 8.9, где показано сравнение расчетов с экспериментальными результатами для ряда веществ. Горизонтальная прямая 1 описывает закон Дюлопга и Пти; кривая П предсказание теории Дебая. С „Дж,7( мол ь ° К) 20 !О 0 0.2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 7УО Рис.
8.9 Если мы хотим характеризонать энергию колебаний твердого тела одним параметром, то в качестве такового, бесспорно, лучше всего подходит температура Дебая. Следующим этапом нашего рассмотрения является теплопроводность твердого тела. Напомним, что мы сейчас рассматриваем только роль решетки в тепловых процессах, и поэтому речь будет идти о решеточной теплопроводности. Механизм переноса тепловой энергии атоьпгыми колебаниями в основе своей очень прост. Атомы в твердом теле тесно связаны друг с другом.
Если при нагревании некоторого участка твердого тела какой-либо 886 1Л. 8. ДИНАМИКА АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ атом начинает колебаться около своего положения равновесия в решетке, то при движении он толкает соседние атомы, которые в свою очередь передают это движение своим соседям, и т. д. Кинетическая энергия колебаний атомов переносится, таким образом, от нагретого участка к более холодному. Однако, как мы показали, возбуждение кристаллической решетки удобно описывать на языке фононов.
Поэтому теплопроводность очень легко понять, если рассматривать кристалл как «ящик с фононами». Пусть на одном конце твердого тела поддерживается температура Т1, а на другом Тз, причем ТЗ > Т1. Это означает, что на левом конце (там, где температура равна Т1 ) плотность фононов меньше, чем на правом конце. Ясно, что фононы с правого ко1пда будут диффундировать в левый конец, пытаясь выравнять плотность фононов по всему телу.
При своем перемещении от теплого конца к холодному фононы переносят тепло, которос отводится от холодного конца, если его поддерживать при постоянной температуре. Пришедшие фононы просто «исчезают», так как их число определяется температурой. На горячем конце фононы «зарождаются», ибо поддерживать постоянную температуру можно, только подводя тепло к телу. Представление о тепловом движении в твердом теле как о газе фононов дает нам возможность вычислить теплопроводность твердого тела точно так же, как это делается в обычных газах.
Согласно молекулярно-кинетической теории газов коэффициент теплопроводности равен т = (1/3) СпЛ, (8.34) где С.- теплоемкость единицы объема газа, Л . средняя длина свободного пробега молекул газа, и их средняя тепловая скорость. У нас газ фопонов, их средней скоростью можно считать скорость звука, теплоемкость нам уже известна.
Таким образом, все определяется длиной свободного пробега фононов, которая ограничивается столкновениями и равна Л = 1/(пп). (8.35) В этом выражении и концентрация частиц, 1г сечение рассеяния. В кинетической теории газов причиной рассеяния частиц газа и искривления их траекторий является факт конечности размеров молекул. В случае твердого тела длина свободного пробега обусловлена нарушениями правильности его кристаллической репи:тки. Причиной нарушения пориодичпости решетки могут быть как различные дефекты кристалла, так и сами фонопы. Когда атом отклоняется от своего равновесного положения при прохождении фонона, то другой фонон, встречая отклоненный атом, испытывает сильное столкновение и резко меняет свой путь точно так же, как если бы на пути фонона встретился примесный атом.
Так сами фононы мешают своему собственному движению. Оценим вначале теплопроводность твердого тела в области высоких температур. Высокие температуры в твердом теле означают, что Т > О. В этой области температур теплоемкость фононного газа постоянна и равна ЗХйв, все фононы движутся согласно дебаевской модели со скоростью звука и надо вычислить длину свободного пробега. При температурах, бблыпих дебаевской, возбуждаются практически лишь фононы максимальной энергии. Как мы уже выяснили, в этой области справедлив классический подход, т.
е. мы можем считать, что на каждую степень свободы приходится энергия К .Т, а это значит, что их среднее число может быть оценено как 8Я. РЕШЕТОЧНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 387 (и) = Йе Т7'(11ь7, ) ос Т. (8.36) Сечение рассеяния определяется размером неоднородности плотности в кристалле, вызванной фононом, но ири высоких температурах они все практически одинаковы (одной частоты), а это значит, что сечение рассеяния практически постоянная величина и поэтому длина свободного пробега Л ос 171Т. (8.37) Следовательно, коэффициент теплопроводности зависит от температуры как Х сх 1/Т (8.38) Теперь посмотрим, что происходит при уменьшении температуры.
Тепло- емкость начинает уменьшаться в соответствие с дебаевским законом как Тз, но наиболее существенным фактором оказывается рост длины свободного пробега из-за уменьшения числа фононов с температурой и поэтому теплопроводность начинает возрастать. Однако по мере уменьшения температуры процесс роста длины свободного пробега Л должен прекратиться либо за счет рассеяния на примесях, либо иа дефектах структуры, либо сга ь равнь1м размера, кри' 1 а. В' э" м 4 случае 3 Л = сонэк, С х Тз, (8.39) а это значит, что при низких температурах теплопроводиость уменыпается как Т' . Резкое 0 40 80 120 100 Т,К 8 уменьшение решеточной теплопроводности кристаллов при низких температурах приводит к появлению максимума коэффициента теилопроводности. Экспериментальные данные, приведенные иа рис. 8.10 для некоторых диэлектриков (кварца, синтетического сапфира и алмаза), качественно полностью подтверждают температурную зависимость теплопроводиости, рассмотренную нами на ОснОВР фОнОННОЙ мОдели.
0 ж7'ем с К) В совершенных кристаллах знспеение Х в максимуме может быть очень болыиим. Так, например, у сапфира, как это видно из рис. 8.10, при 40 К коэффициент теплопроводности Х 60 Вт,)м К, что больше теплопроводности меди при этих температурах. И, наконец, рассмотрим качествеишо теплопроводность аморфных тел. Для аморфных тел характерно о ссутствие дальнего порядка и, грубо говоря, их 0,4 0,04 «кристаллиты» имеют размеры порядка атомных.
!00 200 300 Т,К Поэтому рассеяние на «границах» этих кристаллитов преобладает при всех температурах, а значит длина свободного пробега фононов Л = соизс. Поэтому у аморфных веществ в области низких температур коэффициент теплоироводности ведет себя как Т', а затем выходит на постоянное значение. Для иллюстрации указанной з закономерности на рис. 8.11 приведены результаты температурной зависимости коэффициента теилоироводности для ряда стекол: 1 плавленный кварц, 2 боросиликатный кронглас, 3 — пирекс, 4 тюрингское стекло.
ГЛ. 8. ДИНАМИКА АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКО11 РЕШЕТКИ. 42ОНОНЫ 388 Следует обратить внимание, что экспериментальные данные приведены в логарифмическом маспггабе. Задачи 1. В кристапле поваренной соли максимум поглощения свота приходится на длину вол- ны Л = 61 мкм. Показать, что этот максимум соответствует возбуждению фонона в центре зоны Бриллюена. Дпя ЫаС1 упругая константа (жесткость цепочки) Т = 15 И,Ель. Решение. Так как 51аС! образует цри кристаллизации гранецентрпрованную кубиче- скую решетку, то можно считать, что ее фопонный спектр описывается моделью одномер- ной двухатомной цепочки. Это означает, что в атом кристалле могут возбуждаться как акустические, так и оптические колебания.
В центре зоны Бриллюена, т. е. при 1. = О, частота акустических колебаний равно нулю, а оптических, согласно формуле 18.13). рав- на 1272~/р и эта частота является максимальной частотой колебаний для двухатомной линейной цепочки. Для ХаС1 приведенная масса равна 2вМ 24 37 и= = 14,56. ги ~ 84 61 Длина волны оптических колебаний при 14 = 0 равна 2 те Гр Л = — = 2кс,1 — = 0,06 мм = 60 мкм, '1) 27 что и требовалось показать. 2.
В кристалле поваренной соли ХаС1 прн температуре Т = 10 К теплоемкость единицы объема С = 830 10 4 ДжДмз К). Оцепить скорость звука в кристацпеи его дебаевскую температуру. Постоянная решетки ьаС1 равна а = 0,3 нм. ('2ЯА ' ' ЕвТ з 2 472 йз , 272 Ответ: з= ) в 5,3 10 м,1с; О=16я) 520К. 22 3. Одинаковые массы свинца 2"2РЬ и кремния е81 охлаждают с помощью жидкого гелия 1темьгература кипения гелия равна при нормальном давлении 4,2 К) от температуры Тз = 20 К до Тз = 4,2 К. Оценить отношение масс жидкого гелия, необходимых для охлаждения свинца и кремния, если известно, что дебаевские температуры равны: О1РЬ) = = 95 К и РУ1%) = 645 К. Теплоелькостыо электронов пренебречь. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
