belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Ландау, который в конце 40-х годов разработал специальный математический аппарат для описания явлений, обусловленных взаимодействием ферми-частиц друг с другом. Эта глава теоретической физики получила название теории ферми-жидкости. Она вначале была создана для объяснения свойств легкого изотопа гелия (зНе) в области температур 0,01 — 0,1 К и позволяет свести сложную динамику сильновзаимодействующих частиц к более простой динамике совокупности квазичастиц.
Потом теория ферми-жидкости была приспособлена для описания электронов проводимости в металлах. Поскольку изменение эффективной массы, в соответствии с формулой (9.37), определяется изменением второй производной от кинетической энергии электрона Е по волновому вектору Й, для качественного выяснения характера изменения эффективной массы в зависимости от положения электрона в энергетической зоне мы можем использовать приведенный выше закон дисперсии Е = Е0 — 2А сов йа. График этой функции для первой энергетической зоны кристалла изображен на рис.
9.8 а. Первая производная (рис. 9.8 б) выражает крутизну функции ЕЯ и определяет скорость электрона (см. (9.32)), вторая производная определяет вели- 9.3. ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ чину эффективной массы электрона (формула (9.37), рис. 9.8 в) й2 ь2 А2Е~Ай2 2Аа2 соз(йа) (9.39) При малых значениях йа движение электрона описывается плоской волной, закон дисперсии квадратичный (на рис.
9.8 и он показан топкой линией). Электрон с малым значением волнового вектора ведет себя как свободный электрон: скорость его под действием внешней силы растет пРопоРЦионвльно во,лновомУ вектоРУ, эф- а фективная масса при этом почти неизменна и равна приблизительно массе свободного электрона. С увеличением волнового вектора ско- — к!а 0 л!и рость электрона сначала отстает от роста волнового вектора,а в точке А скорость достигает максимума. Эффективная масса с ростом к н возрастаот, а в точке А становится бесконе п|о большой.
При дальнейшем увеличении волнового вектора электрона под действием внешнего электрического поля того же направления скорость электрона уменьшается, т. е. он получает отрицательное ускорение — ускорение направлено в сторону, противоположную направлению действующей на него внешней силы. Такое движение электрона с точки зрения классической механики равносильно движению частицы с отрицательной массой. Но электрон имеет отрицательный электрический заряд, и поэтому его движение в состояниях, соо светствующих верхней части энергетической зоны, можно рассматривать как движение положительно заряженной частицы с положительной массой.
Такую квазичастицу частицу с положительной эффективной массой и положительным зарядом, равным по абсолютной величине заряду электрона называют дыркой и говорят, что кристалл при этом обладает дырочной проводимостью. Особенно удобно введение такой квазичастицы для описания свойств полупроводников, чему посвящен 2 9.5. Отметим, что возбуждение газа фермионов всегда характеризуется появлением свободных состояний -- «дырок».-- с импульсом р(р, и частиц с р>р .
Фермиевские возбуждения всегда рождаются парами частица и дырка. Следует более подробно разобраться, почему при движении электрона в кристалле масса электрона оказывается переменной. Обратимся для этого к качествен|юму представлению ионного потенциального рельефа как последовательности прямоугольных барьеров. Когда длина волны де Бройля электрона большая (много болыпе постоянной решетки)., то отраженные от различных барьеров волны имеют разные фазы и гасят друг друга, электрон не чувствует наличия периодической структуры, другими словами, передаваемый решетке импульс очень мал.
По мере увеличения энергии электрона (уменьшения его длины волны до Бройля, а значит увеличения величины 404 ГЛ. 9. ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ волнового вектора й), отраженная компонента становится все большей по величине. Что означает появление отраженной волны? Отраженная волна - это передача импульса от кристаллической решетки к электрону, а значит результирующее приращение импульса под действием внешнего поля становится меньше, чем это бы было в свободном пространстве.
Это может быть сказано иначе эффективная масса электрона увеличивается, электрон становится «тяжелее», его труднее ускорить. Когда от решетки электрону передается больший импульс, чем его приращение за счет внешней силы, эффективная масса становится отрицательной. Сам кристалл при этом испытывает обычную классическую отдачу. При дальнейшем увеличении й, как мы выше видели, скорость электрона пе только не увеличивается, а наоборот, уменьшается, хотя направление внешней силы остается неизменным.
В точке В скорость обращается в нуль: электрон останавливается, несмотря на то, что его импульс р = 6Й достигает максимального значения, равного ЬД2а). С точки зрения величины отраженной волны, ее амплитуда становится равной по величине амплитуде падающей волны и имеет место брэгговское отражение электрона от периодической атомной решетки, его волновой вектор меняется от х/а до — х/а и он появляется в точке В~. 9.4. Электронная тепло- и электропроводность Теперь мы можем перейти к рассмотрению вопроса о кинетике электронов проводимости, что прямо связано с рассеянием в электрон-фопопной системе. Зная характеристики квазичастиц, можно получить термодинамическое Описание системы многих частиц с сильным взаимодействием при Т г= 0 К, исходя из картины идеального газа квазичастиц.
Квазиимпульс электрона не изменяется при движении в поле идеальной решетки, его изменение может произойти только под влиянием непериодической части потенциального поля. Это означает, что рассеяние электронов происходит на любых нарушениях идеальной структуры решетки, возникающих из-за тепловых колебаний (газа фононов), дефектов решетки (дислокации, вакансии, примесные атомы), отклонения от периодичности самосогласованного потенциала электронов. Рассматривая электроны как газ свободных квазичастиц, мы легко можем, аналогично тому, как это делалось в случае решеточной (фононной) теплопроводпости, найти качественно температурпук) зависимость электронной теплопроводности. Из газокинетической теории следует, что коэффициент теплопроводности равен (9.40) Х = (1/3) С01, где С теплоемкость носителей, 0 их скорость, 1=1/(пп,ф) их длина свободного пробега (п,ф, п соответственно эффективное сечение расс<.
яния и концентрация рассеивающих центров). У электронов, участвующих в кинетических явлениях, скорость мало отличается от фермиевской (примерно на к Т), теплоемкость линейно зависит от температуры, и нужно лишь вычислить температурную зависимость длины свободного пробега электронов. Рассмотрим вначале область высоких температур (Т» 0). Так как в этой области температур фононы преимущественно дебаевские, то число фонопов ЭЯ. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕПЛО- И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ пропорционально температуре (ЙвТ/йюц). В то же время сечение рассеяния электронов на фононе не зависит от температуры по тем же причинам («размер» фононов одинаков).
Поэтому длина свободного пробега 1 = 1((по ф) сс 1(Т. (9.41) Так как электронная теплоемксть линейно зависит от температуры (9.21), то согласно (9.40) коэффициент электронной теплопроводности является постоянной величиной. По мере уменьшения температуры число фононов уменьшается как Тз (энергия фононного газа пропорциональна Т, а число фононов на одной моде сеть 1с Т(Гы). Для оценки можно считать, что сечопие рассеяния слабо зависит от температуры, и мы получаем, что теплопроводность должна расти при понижении температуры как 1/Т . у, 0 Дж/(м.с.К) При более низких температурах наступает момент, когда длина свободного пробега ограничивается примесями, т. е. становится постоянной, и коэффициент теплопроводности выходит на линейный закон т ос Т. Эти закономерности отчетливо видны, например, на хороших (с малым числом дефектов) кристаллах меди — см.
Рис. 9.9. Возникает естественный вопрос: что является переносчиком большей части теплового потока в металлах электроны или фоно- ныу Экспериментально известно, что ноРма- В 20 40 льные чистые металлы при комнатных температурах имеют теплопроводность на одинлва порядка величины большую, чем твердые диэлектрики. Действительно, простая оценка показывает, что тецлоперенос в металлах преимущественно осуществляется электронами. Отношение электронной теплопроводности к решеточной равно 1~,/Х~ = (С,/Сф) (ць /а) (1в,11Ф). (9.42) Для чистых металлов по порядку величины Сь/С 10 ~, и /в 10з, 1,~1 10 и поэтому для них у,/1~ 10 100. В неупорялоченных сплавах длины свободного пробега как фононов, так и электронов определяются главным образом структурными неоднородностями кристаллической решетки и в них электронная теплопроводность может быть по порядку величины равна решеточной.
Теперь обратимся к вопросу об электропроводности. Вначале опишем ее на феноменологическом языке. Под действием приложенного электрического поля напряженностью б электрон с эффективной массой т' на длине свободного пробега (за время между соударениями т) приобретает средний импульс р и среднюю дрейфовую скорость: Р = гп*гл = ест.
(9.43) Если ввести подвижность электрона и в поле, т. е. ту среднюю скорость направленного движения, которую электрон приобретает в поле единичной напряженности, то мы имеем н„= иб, и = е (т1гп"'). (9.44) 406 ГЛ. 9. ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ Если проводимость металла равна 4г, то закон Ома записывается в виде 4 = оЕ и мы имеем для металла с концентрацией электронов п пенд пе т пеЧ и — —— (9,15) Е Е п4* р,, Мы видим, что для расчета проводимости металла пам надо знать длину свободного пробега электронов. В феноменологической теории длина свободного пробега задается как параметр, а мы постараемся оцепить ее на основе развитых выше представлений о поведении электронов в кристаллах.
Из эксперимента известно, что в области не слишком низких температур сопротивление металла с примесями ведет себя в ссютветствии с так называемым правилом Матиссепа, согласно которому сопротивление р может быть представлено в виде суммы двух частей: зависящего от температуры сопротивления идеального беспримесного металла Р„(Т), которое при Т « О описываетсЯ законом Блоха ГРюнайзепа Р„л о4 Т' и стРемитсЯ к нУлю пРи Т 4 О, и не зависящего от температуры остаточного сопротивления рв, которос полностью определяется концентрацией примесей Р = Ро + Рнл(Т). (9.46) Начнем, как и в случае теплопроводпости, с области высоких температур (Т » О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
