belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Она ведь может иметь и разную длину, и разное сечение., а от них зависит, например, следующий процесс. Представим себе., что бутылку слегка рясут. В результате такой тряски какое-то количество жидкости, пусть по каплям, будет попадать в абсолютно пустое отделение, расположенное выше заполненного. Роль тряски в твердых телах играет нагрев.
Рис. 9.7 Нагревом можно забрасывать в зону проводимости носители тока (электроны) если трубка сравнительно неплохо их пропускает. А пропускает их опа тем легче, чем сама короче, т. е. чем меньше разность энергий между пустой верхней зоной и полностью заполненной электронами нижней зоной. Чем сильнее тряска, тем болыпе электронов будет в верхней свободной зоне и тем лучше должна быть проводимость. Этот процесс приводит к следствиям, полностью противоположным тому, что мы знаем для проводников электричества.
В металлах, как это хорошо известно, электрическое сопротивление растет при нагревании, а тут мы видим, что в при1п~ипе можно представить себе материалы с такой зонной структурой (малый энергетический промежуток между целиком заполненной и пустой или почти пустой зонами), что они, во-первых, при отличной от нуля температуре будут иметь ненулевую проводимость, а во-вторых, эта проводимость будет расти с увеличением температуры. Такие вещества как раз и называются полупроводниками. Забегая вперед, подчеркнем еьце одну немаловажную деталь. Капля жидкости в результате тряски проскочила наверх. Нто осталось вместо нее в нижнем, теперь уже пе совсем полном сосуде? Пузырек, пустое место, дырка. На квантовом языке дырка — это состояние, освобожденное перешедшим на более высокий уровень электроном. Поведение такого образования во многом очень похоже на поведение настоящей частицы с собственным электри пюким зарядом, противоположным электрону, и даже с собственной массой.
Итак, мы показали, что на спектр энергетических состояний электронов в кристалле существенным образом влияет взаимодействие электронов сосед- ГЛ. 9. ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ 400 Ф = ~~) а„(1)4Р„. (9.26) Если считать, что электрон достаточно сильно локализован, то существенен лишь его перескок в соседние потенциальные ямы, и фактически в сумме (9.26) останутся лишь три члена, что значительно облегчает решение поставленной задачи. Обсуждаемая нами модель называется моделью сильной связи. В результате математических выкладок мы получаем, что при этих предположениях электрон может иметь следующие значения энергии: Е = Š— А«4~' — Ае '~' = Š— 2А сов й~, (9.27) где А константа, характеризующая вероятность перескока электрона на соседний атом и тем самым ширину зоны, а Е0 — энергия электрона в свободном атоме, «неискаженная» наличием соседей в кристалле.
Мы получили, что при любом выборе й имеется реп4ение с определеш2ой энергией, но, в отличие от дискретных уровней атома, в кристалле возможна целая полоса (зона) разрешенных значений, и ширина этой зоны зависит от степени перекрытия волновых функций валентных электронов соседних атомов (степени делокализации электрона). Полученный результат легко обобщается на случай трехмерной решетки и, скажем, при учете перескока электронов только к ближайшим соседним ионам закон дисперсии будет иметь вид Е = Е0 — 2А сов й,а„— 2А соз И а, — 2А соз й,а,. (9.28) В области малых значений йа (область длинных волн, электронов малой энергии) закон дисперсии остается квадратичным, как это следует из модели свободных электронов.
Такие электроны «не чувству4от» кристаллическую решетку. Действительно, если предположить, что к,а„, = А,„а9 — — й,а, = йа, то при Йа « 1 мы имеем 2 2 совйа 1 —, Š— Е0 — 6А+ 314 а . ,2 2 2 (9.29) них атомов, образующих периодическую структуру. Для количественного описания влияния решетки рассмотрим для простоты уже разобранную нами выше одномерную бесконечную цепочку, составленную из одинаковых атомов с одинаковым расстоянием а между ними, при н,м реальную периодическую «цепочку» потенциальных ям ионов заменим «цепочкой» прямоугольных потенциальных ям, расположенных друг от друга па таком же расстоянии а, как и ионы в кристалле.
Когда атомы далеко друг от друга, волновые функции их валентных электронов точно такие же, как у изолированных атомов. Обозначим эти волновые функции через ф„(например, для натрия это электрон в Зв-состоянии). По мере сближения атомов для электрона, как мы показали выше, появляется возможность перескочить с одного атома на другой. Такое описание предполагает, что мы можем с хорошей точностью волновую функцию электрона записать в виде линейной комбинации состояний ф„Х атомов цепочки, т.
е. 0.3. ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОНОВ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ 401 Б одномерном случае закон дисперсии для электронов в зоне проводимости приобретает вид Ео — Е = 2А — йзп2. (9.30) Конечно, в рассмотренной модели сильной связи влияние решетки предельно упрощено, но она качественно правильно передает основные черты поведения коллективизированных электронов (электронов проводимости) в кристалле. 9.3.
Динамика электронов в кристаллической решетке Как видно из проведенного нами анализа возможных энергетических состояний электронов, по мере увеличения волнового вектора закон дисперсии изменяется и это приводит к существенному изменению динамики электронов в решетке. Изменение динамики движения электрона проявляется в том, как он реагирует на внешнее воздействие, в частности па электрическое поле. Как следует из гипотезы де Бройля и электрон можно считать волной, причем его скорость равна групповой скорости волны де Бройля П40 Ю = —. пк (9.31) Поскольку энергия Е, соответствующая описываемому данной волновой функцией состоянию, связана с частотой соотношением Е = 640, то ДЕ Ю = — —.
(9.32) Ь 449 Под действием внешнего электрического поля электрон проводимости приобретает среднее ускорение а., которое, с учетом формулы (9.32), равно = — = — — = — — (9.33) Но производная с1Е/сИ = Ег определяет среднюю мощность, развиваемую внешней силой Е, и потому можно написать а=г" — —. 1 ф0 й сй (9.34) С другой стороны, продифференцировав формулу (9.32), получаем йп 1 412Е ,1~02 (9.35) и поэтому для среднего ускорения электрона в кристалле получим окончательно 1 сРЕ а=à —, (9.36) Из полученного равенства (9.36) следует, что среднее ускорение электрона в кристалле пропорционально действующей на него силе внешнего электрического поля, по коэффициентом пропорционалыюсти при этом является величина 62Е 62 г1/,2 ' 402 ГЛ. 9.
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ Если сравнить полученный результат со вторым законом Ньютона для классической частицы а = г'/т, то можно отметить, что величина о2Е га' = 6 2 (9.37) играет роль массы для электрона при его движении в кристалле. Величина т* называется эффект:ивно41 массой' электрона. Эффективная масса электрона в кристалле это масса такого свободного электрона, которую он должен был бы иметь для того, чтобы под действием внешней силы приобрести такое же ускорение, как и электрон в кристалле под действием той же силы. Введение эффективной массы дает возможность, учитывая сложный характер взаимодействия электрона с кристаллической решеткой при его движении под действием внешнего электрического поля, пользоваться привычными формулами для ускорения, энергии и импульса, определяющими состояние электрона и характеризующими его движение: Г 82~2 а= —, Е= —, р=п2*0=йк.
(9.38) П1'' 2т' Рассматривая раньше возбуждения атомов в кристалле, мы выяснили, что простейшей формой движения атомов является волна смещений с определенными длиной и частотой. Этой волне мы поставили в соответствие квазичастицу — . фонон. Теперь мы видим, что электроны в кристалле тоже являются квазичастицами. Поведение электрона удается описать как поведение обычной частицы, но с другой массой.
Наиболее характерной особенностью эффективной массы электрона в кристалле является то, что ее величина зависит от направления движения электрона и от его состояния (положения в энергетической зоне). Зависимость эффективной массы от направления движения электрона объясняется анизотропией кристалла: при движении электрона силы взаимодействия его с кристаллической решеткой различны в различных кристаллографических направлениях. Формирование концепции квазичастиц связано с именем Л.Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
