belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 110
Текст из файла (страница 110)
В этой области число фононов растет линейно с температурой в силу того, что практически все фононы одной частоты (дебаевской), сечение электрон-фононного рассеяния одинаково (не зависит от температуры) и поэтому сопротивление линейно растет с температурой в полном соответствии с хорошо известным законом Р = Рв(1 + ОТ) (9.47) При обычных температурах (комнатных и более высоких) отношение Х((пТ), как следует из экспериментов, оказывается постоянной величиной, не зависящей ни от температуры, пи от сорта металла, и эта закономерность получила название закона Видемана Франца. Действительно, воспользовавшись полученными ранее выражениями (9.21), (9.40) и (9.45) для теплопроводности и электропроводности металлов, мы получаем: 2й~~ пе21 1 Зкт — — Х = — яр 1 С; С = пТ. (9.48) „Т вЂ”,,2~ — „' 3" ' Я Аккуратный расчет показывает, что числовой множитель в этой формуле равен к /3. Закон Видемана.
Франца . прекрасное доказательство правильности наших воззрений на «устройство» металла. Однако, исследования электропроводности и теплопроводности при низких температурах показали, что закон Видемана — Франца не универсален. Все дело в том, что в области низких температур далеко не каждое электронфононноо столкновение приводит к «выбиванию» электрона из процесса переноса заряда. Причина столь неэффективного электрон-фононного взаимодействия состоит в следующем. При столкновении с фопоном электрон не может изменить свой импульс р, = р = 6/а = й О/в на величину, большую импУльса фонопа Р, = йд, = йоши,/.9 КвТ(з. В НРивеДенных оЦенках мы воспользовались тем, что в области низких температур (Т «О) возбуждаются преимущественно длинноволновые фопоны с энергией — й Т и законом дис- КЬ.
ЭЛЕКТРОНЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ 407 персии ш = в9~, а также оценкой (9.6) для фермиевского импульса и (8.29) для температуры Дебая. Хотя при низких температурах импульс фопона мал по сравнению с фермиевским импульсом электрона (р,,7р, Т,70), этой передачи импульса достаточно, чтобы «горячий» электрон сделать уже при одном столкновении с фоновом «холодным», и поэтому длина свободного пробега определяется лишь числом фононов. В злектропроводности под длиной свободного пробега понимается длина, на которой электрон полностью теряет свою скорость направленного движения, обусловлсппую приложенным электрическим полем, т. е. его импульс (фермиевский) должен измениться на величину порядка самого импульса.
Поэтому один акт электрон-фононного рассеяния оказывается малоэффективным, надо большое число таких столкновений, чтобы остановить электрон, вернее повернуть его импульс на угол порядка я/2. Количественное рассмотрение этого процесса О Ю ВО ЗО «О ВО ВО 7О 7, К показывает, что сопротивление в области низких температур растет, как указывалось выше, про- Рис.
9.10 порционэльно пятой степени температуры. Когда длина свободного пробега электрона начинает ограничиваться примесями и дефектами, она становится температурно независящей и сопротивление, которое и называется остаточным, становится практически постоянной величиной. В неупорядоченных сплавах даже при комнатной температуре сопротивление может обусловливаться главным образом неоднородностями. В качестве иллюстрации рассмотренных выше закономерностей температурного хода сопротивления металлов па рис. 9.10 приведены результаты измерения температурной зависимости сопротивления медной (1) и платиновой (2) проволоки диаметром 0,04 мм и длиной 2000 см.
9.5. Электроны в полупроводниках Полупроводниками принято называть вещества с полностью заполненной валентной зоной, отсутствием электронов в зоне проводимости при Т = 0 К и величиной щели Ь (запрещенной зоны) меньше или порядка 3 эВ. При абсолютном нуле температур полупроводники являются изоляторами, а при комнатной температуре проводят, хотя и слабо (число электронов в зоне проводимости составляет при этом всего около 10 ш от общего числа атомов).
Переход электрона из валентной зоны в зону проводимости сопровождается появлением «свободного места» в электронном спектре. Электрон, оказавшийся па одном из разрешенных уровней зоны проводимости., может свободно перемещаться под действием электрического поля, т. е. создавать ток. В то же время, па вакантный уровень в валентной зоне может перс местится другой электрон этой зоны. В результате вакансия переместиться в направлении, противоположном перемещению этого электрона, и движение такого «пустого места» будет эквивалентно движению положительного заряда. Так положительно заряженное атомное состояние передвигается по кристаллу, именно состояние, а не сам положительно заряженный иоп. Поло- 408 ГЛ. 9. ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ жительно заряженное состояние, как уже упоминалось в 9 9.3, называется дыркой.
Дырка всщет себя подобно положительно заряженному электрону, это для нас новая квазичастица в кристалле, она характеризуется своей эффсктиВпой массс7й. ЯснО, что ВВедение д11рок и соотВетстВепно дыро'1- ной проводимости не означает их реального существования. Такое представление удобный способ описания электронной системы, которая при определенных условиях под влиянием поля кристзллической решетки столь кардинально меняет свое поведение, что оно становитсяя аналогичным по характеру своего движения поведению системы положительно заряженных частиц — дырок.
Уровень Ферми в полупроводниках. Р;ксмотрим вопрос о положении уровня Ферми в полупроводниках. Как мы увидим дальше, уровень Ферми в полупроводниках не имеет такого простого физического смысла, как в металлах, он зввисит от температуры, и поэтому фвктически не является параметром вещества. Поэтому более правильно говорить о значении химпотенциала.
Прежде всего мы покажем, что в чистом (беспримесном) полупроводнике уровень Ферми расположен посредине запрещенной зоны. Следует отметить, что ширина запрещенной зоны Ь в полупроводниках значительно больше характерной тепловой энергии й Т при обычных температурах, что приводит к следующим закономерностям. Формула (9.20), описывающая распределение Ферми, показывает, сколько электронов в среднем находится в в каждом состоянии,и в соответствии с принципом Паули эта величина всегда меньше единицы. В рассматриваемом нами случае величина Ь77ЙВТ» 1 и квантовое распределение Ферми превращается в классическое больцмановское, ибо мы можем пренебречь единицей по сравнению с экспонентой.
Итак, пусть уровень Ферми расположен произ- вольно в запрещещсой зоне па расстоянии С от дна Рис. 9.11 зоны проводимости и на расстоянии 77 от дна запрещенной зоны, так что ~ + 9 = Ь (см. рис. 9.11). Найдем вначале 1юлное число электронов 1У77 в зоне проводимости. Для этого нам надо с учетом плотности состояний проинтегрировать функцию распределения электронов по всем возможным энергетическим состояниям электрона в зоне проводимости Е: 11' = 2 е 1~ТЕ"ГВВТ =, 44грве 1~+~")7~в~с1 (9.49) Г с1Г, - 21' Г l (2 й)з' ( й) / ""' где с1Г . - элемент фазового пространства. Еще раз подчеркнем, что в этой формуле распределение Ферми заменено больцмановским распределением электронов по энергиям.
ЭК17поненциальпый множитель в выражении под интегралом определяет вероятность возбуждения электрона с энергией Е„, отсчитываемой от уровня Ферми. Если эффективная масса электрона равна т,,*„то р,„= 2т„'Е„, р„с1р„= т„'с1Есп и мы получаем для концентрации 9 409 9Л. ЭЛЕКТРОНЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ электронов следующее выражение: 0 е Е!~ьт' у'Ее — е1~вт 41Е. (9.50) 253 о Интегрирование мы распространили до бесконечности в силу быстрого убывания экспопе|ггы. Путем простой замены у = Е/й Т это выражение сво- дится к (9.51) / Яе "сЬ е о Интеграл здесь равен у/к/2, и мы окончательно имеем 4У2(га„"И.Т))~ ~~г т 2 ('тп'140Т 2кгйз йз (, Величина 4пп~вТ (9.53) определяет эффективное число уровней в зоне проводимости и носит название статистического фактора зоны.
Аналогичные вычисления можно провести и для концентрации дырок: 2 Г га,* й 7' ~ ' ~ -0(вгт гЗ вЂ” Г Ьвт (9.54) йз ~, 2к В полупроводнике без примесей носители электричества (электроны и дырки) всегда рождаются парами, т. е. иа = игл и мы получаем г1 — С = К„.Т1г4ЯР(Я„) = (3/2)кв7'1п(т*/гп,*,). (9.55) Как правило эффективные массы электронов и дырок не сильно различаются, так что 1п(п4*/гп„*) пе больше единицы. Поэтому при обычных температурах и величине Ь порядка нескольких электрон-вольт й — 1 = йвТ « Ь, (9.56) а значит й с и уровень Ферми в собственных полупроводниках расположен практически посредине запрещенной зоны. Из формул (9.52) и (9.55) следует, что произведение концентраций электронов и дырок равно (9.57) где сумма (С + й) заменена на Ь - ширину запрещенной зоны. Проводимость, обусловленную процессом теплового возбуждения исходной (без примесей) кристаллической решетки, называют собстаеннои поскольку она определяется свойствами самого кристалла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
