belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 114
Текст из файла (страница 114)
В поперечном к каналу направлении электроны двигаться практически не могут, они находятся в потенциальной яме и их энергия может принимать только дискретные значения. При достаточно низкой температуре все они находятся на нижнем энергетическом уровне, что и приводит к строго двумерному электронному газу. В плоскости капала энергия электронов не кваптуется, однако при приложении перпендикулярно слою достато гно сильного внешнего магнитного ОЛ.
КПАНТОПЫйг ЭФФЕКТ ХОЛЛА поля электроны в плоскости начинают двигаться по круговым орбитам с циклотропной частотой (9.76) ш,=еВ/т . Циклический характер движения электрона в магнитном поле является причиной того, что его энергия, связанная с движением в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, становится дискретной величиной, или., как говорят, квантуется. Иггервые это было показано Л.Д. Ландау в 1930 г. и поэтому называется квантованием, Ландау. Круговое движение электронов подобно гармоническому осциллятору и поэтому энергия электронов может принимать лишь дискретные значения, определяемые, как известно, выражением Яв — — (и + 1г'2)6гос (9.77) Мы не учли собственный магнитный момент электрона, связанный со свином, но для качественного рассмотрения эффекта это не существенно.
Если температура. образца достаточно низкая, т. е. расстояние между уровнями Ландау ЬЬ'„= 6ьг,>> к Т, то все электроны находятся в основном состоянии, соответствующем п = О, и такое магнитное поле называется квантующим. В квантующем поле все электроны оказываются в одном квантовом состоянии, и поэтому, по принципу Паули, должны быть разнесены в пространстве, т. е. их орбиты не должны пересекаться. Это означает, что на каждом уровне Ландау может поместиться строго определенное число электронов.
Рассмотрим для простоты электроны на нулевом уровне Ландау. Радиусы орбит электронов можно определить, если учесть, что при круговом движении скорость электрона о = ы,.г и что его кинетическая энергия, как у любого гармонического осциллятора, равна половине полной энергии, т. е.
пш" /2 = Ьы,/4. Из этих соотношений следует, что средний радиус кривизны траектории электрона в магнитном поле В равен г = 6,г(2«В), (9.78) а соответствующая площадь орбиты я= "=,лопвг (9.79) На самом деле у микроскопических объектов нет «точных» траекторий, волновая функция электрона «размазана» по пространству, и, как показывает точный расчет, эффективная плонгадь, соответствуюгцая одному электрону, оказывается в 4 раза больше, т. е. электрон «заперт» гга участке площадью ЯзФ= 6,1(еВ).
Это означает, что ца 1 смэ поверхности можно разместить всего Лго = 1/ЯзФ = еВ/6 (9.80) электронов в состоянии с п = О, и, следовательно, при полностью заполненном нулевом уровне Ландау холловское сопротивление, согласно формуле (9.74), равно г = И /У = В((Мое) = 6(е~ (9.81) в полном соответствии с экспериментальными данными. Из формулы (9.80) следует, что магнитный поток Ф, пронизывающий электронную орбиту, равен кванту магнитного потока Фо. Ф = ВЯ = 6/е = Фо. (9.82) 422 ГЛ.
9. ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ Другими словами, с каждым электроном связан точно один квант магнитного потока. Существепной количественной характеристикой двумерной системы в магнитном поле является фактор заполнения и, равный числу электронов в образце, деленному на число квантов магнитного потока, пронизывающих образец.
Если м равно целому числу 4, то это означает, что 4 уравней Ландау полностью заполнены электронами, что и соответствует наличию плато в холловском сопротивлении. Каждое заполненное состояние вносит вклад в проводимость, равный е /6, 2 и поэтому полная проводимость на 4тм уровне оказывается равной 4е /6 в полном согласии с экспериментом. Для того чтобы понять, почему продольное сопротивление исчезает, вспомним, откуда оно вообще возникает. Причиной электрического сопротивления является рассеяние электронов на препятствиях примесях, дефектах решетки. При рассеянии изменяется направление скорости электрона, т. е. изменяется его вклад в ток.
Если на уровне Ландау есть свободные места, то такое рассеяние возможно. Другое дело, если уровень Ландау заполнен полностью. В этом случае все места на нем заняты и электрон не может изменить своего положения относительно других элоктропов. Единственная возможность изменить импульс в этом случае это перейти на незаполненный следующий уровень Ландау, но это связано с существенным изменением энергии.
Если ток идет 1ю каналу, то ничто его не может затормозить, электроны перемещаются все вместе как единое целое, ни один электрон не может изменить свое состояние независимо от других, ему мешает это делать принцип Паули. Остается понять, как формируются холловские плато, т. е. почему эти соотношения справедливы пе только в выделенных точках, но и в некоей области зна щний В или Х. Пока мы показали лишь то, что при строго определенных соотношениях между концентрацией электронов о и величиной магнитного поля В становится равным нулю продольное сопротивление и имеет строго определенное значение холловское сопротивление. Однако, как видно из рис. 9.22, экспериментально наблюдаются ступеньки (плато) в зависимости г (В), т.
е. эти соотношения выполняются в конечном интервале значений В. Ьри гиней появления плато является, как это ни кажется на первый взгляд парадоксальным, дефекты в МДП-структуре. Дефекты приводят к изменению потенциального рельефа двумерного слоя, который становится похожим на пересеченную местность с впадинами, холмами и долинами. По долинам., соединяющим исток и сток, .подобно реке, протекает ток, но многие эквипотенциали охватывают горы или ямы, и в них электроны застревают (становятся локализованными).
При изменении магнитного поля, число электронов в дорожках увеличивается, но, как в реке, при этом расширяется поверхность токового канала, а концентрация электронов (их число на единицу поверхности) остается примерно неизменной. Этому постоянству плотности электронов способствует и локализация электронов в потенциальных ловушках. Дефекты создают для электронов резервуары, которые поддерживают постоянной плотность делокализованных электронов.
Пока остается хотя бы одна дорожка, на которой концентрация точно равна 4а , весь ток будет течь по ней, т.к. ее сопротивление зкдлчи 423 Задачи 1. Для электронов с квадратичным законом дисперсии найти связь между средней энергией и формиовской энергией при температуре Т = О К. Решение.
При квадратичном законе дисперсии Е = р /(2оп) плотность состояний (число состояний в единичном интервале энергии) в единице объема равно (см. (5.17)) зкпзз, 3 /2 Средняя энергия (Е) по определению есть г Ез/з 1Е о ЗЕ кэ 5 ~' Ео/х лЕ о 7 Ед(Е) г1Е (Е)— / д(Е) о1Е о При интегрировании мы учли, что при Т = О К распределение электронов по энергии простирается от О до Е„. 2.
Вычислить среднюю кинетическую энергию свободного электрона в алюминии при Т = О К, если известно, что его максимальная энергия равна 11,7 эВ. Ответ: (Е) = 7 эВ. 3. Давление ачектронного газа является одним из основных факторов, определяющих сжимаемость мЕталлов. Найти сжимасмость и давление электроннОго газа для меди при температуре Т = О К, если концентрация электронов проводимости и = 8,5 10оз м Эффективную массу считать равной массе свободного электрона. Решение.
Модулем объемного (изотермического) пли всестороннего сжатия везцества К называется величина — К(др/д1г), обратная ей величина --. сжимаемостью. Так как концентрация электронов и по определению равна /г/ г' (Х вЂ” полное число частиц), то сп' г)Р о1н= — — Х= — и— Ко и соответственно сжимаемость 1 1д1' 1дп К Г др и др В случае изотропного распределения частиц газа по скоростям и квадратичного закона дисперсии Е(р) = рт/(2пз) давление электронного газа., как и обычного идеального газа, составляет 2/3 от плотности энгергии и соокгасно (ОА) и результату задачи (9.1) мы имеем р — — н(Е) — — пŠ— — „(Зк ) п 2 2 5 о з/з о/з 3 5 э огл равно нулю и, следовательно, холловское напряжение меняться не будет.
Но когда концентрация изменится и на ней, начнет заполняться следующий уровень Ландау и формироваться следующее холловское плато. Квантованное холловское сопротивление й/е сейчас измеряется с очень высокой точностью (до 10 в), и равно 25812,.806377 Ома. Эта точность оказалась выше, чем у эталонных сопротивлений. Поэтому с 1990 г. введена новая единица сопротивления 1 клитцинг, определяемая как холловское сопротивление на четвертой ступеньке Ь/(4е2) = 6453,20159 Ом. ГЛ.
9. ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ Таким образом, — = — (Зя) и '= — Е, дР Ь з ~!з згз 2 дп Зт 3 йг з — 1 — — — (Зя )Ю 7 = — (Зк ) 1 Ш =19 10 Па (19 10 атм ) К п '13т 7™ бз Квк видно из сравнения формул для р и 1/Ь давление электронного газа р = — К 3,08 10 Па (3,14 10 атм). 5 Интересно сравнить полученные значения с экспериментально измеренными величинами. Твк, для алюминия сжнмаемость равна 12,7 10 "Па ', у золота она равна 6 10 зз Па ', у железа 5,8 10 зз Па . Как видно, эти величины близки к полученной оценке электронной сжилзаемости мотадпа.
4. Опенить отношение электронной теплоемкости чисто~ о германия к его решеточной гоплоемкосги при температуре 1000 К. Считать, что концентрация электронон проводимости и, = 1,5 10'з см ', ширина запрещенной зоны Ь = 0,75 эБ, дебаевская температура О = 540 К, плотность атомов Аг = 5 10зз см Решение.
Энергия Е образования и,, пар электронон и дырок в 1 см в результате термического возбуждения через запрещонную зону Е п, Ь. С учетом энергии поступательного движения электронов н дырок полная энергия электронов складывается из Е н энергии теплового возбуждения имеющихся в зоне проводимости электронов н дырок в ввлентной зоне, число которых равно п„а энергия каждого электрона н дырки равна (3(2) й Т. Поэтому получаем для электронной теплоемкости С,=, = (2~.3й,т)П,=Зй,п, ~Ь| '). с((7 <1 Мы пренобрегли членом (ЗйвТ72) г)п,)йТ, т. к. Зй Т/2 = 6,2 10 з~ Дж<< Ь = 1,2 .
10 'з Дж. Концентрация электронов в зоне проводимости пг = А ехр( — Ь(2(гяТ), и потому выражение для теплоемкости принимает вид С,=Зй.п,+( ) Так как температура образца больше дебаевской, то для решеточной теплоезщостн можно пользоваться классической формулой С,, =ЗХ1 и тем самым для отношения теплоемкостей имеем — — )) — 6 — !( ) — 1 0 б. (р — и)-пероход изготовпон из материала, характеризующегося щзи температуре Т = зз — 3 = 300 К концентрацией собственных носителей и, = 2 10 см . Концентрапии доноров и ахцепторов по обе стороны перехода одинаковы и равны и = 6 10' см з. Определить величину потенциального барьера на переходе. Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
