belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Так как начальная температура лзного меныпе температур Дебая обоих веществ, то справедливо низкотемпературное нриближецие. Теплота, отбираемвя при охлаждении у тел, в соответствии с формулой 18.30) равна 2 4 2,4 5а= у,',,(Т вЂ” Т.)= й',Т,. Шйз .з — Шйз .з Используя формулы 18.27) и 18.29), это вырюкепие можно записать в видо 5 (О) Так как масса кристалла ХХ = А2А, где А -.
атомная лщсса, то 1 АОз Так как масса испарившегося гелия пропорциональна вепичине отбираемой у. тела теплоты, те окОнчательно имеем: шел (Аь ) ( ОЩ ) 28 (645) 4 ВЛДЛЧИ 4. Свободное покоящееся ядро иридия-131 переходит из возбужденного состояния с энергией Е = 129 кэВ в основное, испуская у-квант. Найти энергию излучаемого у-кванта Ет и энергию отдачи Л ядра. Решение. Поскольку энергия возбуждения атомных ядер всегда много меньше энергии покоя атомного ядра, задачу можно решать в нерелятивистском пряближении. Из законов сохранения энергии и импульса следует: Ет Р Е Е с Энергия излучаелюго кванта отличается от энергии перехода на зту же величину.
б. При комнатной температуре примерно )'= 20 эА у-распадов ~зад в соединении ВаБпОз происходит без отдачи (эффект Мессбауэра). Оценить, какой должна быть толщина источника, чтобы в нем не происходило заметного воплощения мессбауэровских ч-квантов. Плотность ВаБпОз р= 3 г/ем~, содержание изотопа "вЯп в естественной смеси е = 8%, энергия 2-квантов Е = 24 кэВ.
Решение. При прохождении через вещество интенсивность излучения 1 уменьшается с расстоянием Г по экспоненциальному закону 1 = 1а ехр( — паь). Условие отсутствия заметного поглогцения определяется неравенством паЬ « 1> т. е. Ь « (пп) ', где и число ядер Бп, «принимающих участие» в процессе поглощения. Эта величина равна п = ~ерл~„/А, где Л'„.-. число Авогадро, А -- молекулярный вес ВаЯпОз, который равен 304.
Самопоглощение мессбауэровских 1-квантов — — резонансный процесс, сечение которого описывается формулой Врейта.-Вигнера 4 (Г/2) з кз (Š— Ео)з -Ь Гз '4 В резонансе, т. е, при Е = Еэ 4я 4яйзсе кз Ез При этом мы учли, что для т-квантов соотношение гнежду импульсом и волновым вектором линейно р = Йк., а энергия у-кванта Ет = рс, т. е.
к = Ет(йс. Таким образом, получаем, что толщина источника должна удовлетворять неравенству АЕ.'„ ГЛАВА 9 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ С точки зрения электрических свойств все твердые тела разделяются на металлы (хорошие проводники электричества), полупроводники и изоляторы (плохие проводники электричества). Одним из принципиальных вопросов теории твердого тела является вопрос об основном и возбужденных состояниях электронной подсистемы, т. е.
фактически вопрос о том, почему одни химические элементы в кристаллическом согэгоянии оказываются хорошими проводниками, другие .— изоляторами или полупроводниками, электрические свойства которых резко зависят от температуры. Интуитивно ясно, что энергетические уровни изолированных атомов искажаются, когда болгипое число атомов приводится в твердом теле в тесный контакт.
Полная энергия электронной подсистемы состоит из кинетической энергии электронов, обладающих массой т, и импульсом р,. потенциальной энергии электронов в электростатическом поле, создаваемом ионами, и энергии кулоновского взаимодействия электронов друг с другом. Вопрос заключается в том, в каких случаях можно пренебречь взаимодействием электронов с решеткой, а когда это взаимодействие существенно. 9.1. Электроны в металле Простейшее приближение состоит в пренебрежении в выражении для полной энергии всеми членами, кроме кинетической энергии. Это так называемая модель свободных электронов, которая удачно объясняет электрические и магнитные свойства твердых тел, в первую очередь металлов.
Она исходит из представления, что металл содержит свободные электроны, способные перемещаться по всему объему. Принятая аппроксимация позволяет рассматривать систему как газ свободных электронов. Далее надо учесть, что электроны описываются статистикой Ферми Дирака, т. е. подчиняются принципу Паули. Из принципа Паули следует, что в случае свободных электронов основным состоянием должно быть такое, в котором низшие одноэлектронные уровни полностью заполнены вплоть до некоторой энергии, называемой уровнем Ферми Е . В случае газа свободных электронов энергия состояния с волновым вектором й имеет вид г ьэив Еь = — = —, (9.
1) 2т йп| В к-пространстве получается, что электроны занимают сферу, о поверхности которой говорят как о поверхности Ферми. Радиус Ферми к максимальное значение волнового вектора электронов — определяется из условия, что состояния внутри этой сферы заполнены А| электронами, по паре 9.1. ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ 391 электронов с противоположными спинами на каждом уровне. Обьем сферы радиусом р, = Ьй„равен (4/3)ггр~ = (4/3)2гггз19'~, и т.
к. в фазовом пространстве каждому состоянию соответствует обьем (2яй)1, то всего в координационном объеме 1г число частиц равно Ж = 2 — — Ы~ — 1 й = (31г~п)~гз, Зя 3 Ф (9.2) где и = Х/1' -- плотность электронов. Соответственно фермиевский импульс (максимальный импульс электронов) равен — Цг — (Згг2взп)172 (9.3) а величина и = р /т называется фермиевской скоростью.
Тем самым уровень Ферми или энергия Ферми Е --- максимальная энергия электронов, отсчитанная от нулевой кинетической энергии следующим образом определяется через их концентрацию: Е = — '(Зхз )2" = — ' ' Р79, (9А) 2т 2т где мы учли, что я 3.
Температура Тд, соответствующая энергии Ферми, называется температурой вырождения (температура Ферми): 252 йв10 — Еф — 1 ТΠ— и (9.5) 2пйв При температурах, много меньших темггерагуры вырождения, электронная подсистема кристалла должна рассматриваться в рамках квантовой механики, т. к. тепловая энергия не может существенно исказить характер заполнения энергетических уровней электронами.
В другом предельном случае она является чисто классическим объектом. Оценку величины фермиевского импульса (а значит и величины температуры вырождения) легко сделать, исходя из соотношения неопределенностей: т. к. расстояние между частицами при их плотности гг порядка г = и гь, то тем самым для каждой частицы размер области локализации того же порядка, а значит минимально возможный их импульс (фермиевский) порядка рФ (9.6) что с точностью до х совпадает с полученным выше результатом (9.3). Оценим количественно температурзу вырождения для электронов с характерной для металлов плотностью 10 м з; я2 в2 рй рй — вз р029 (9.7) Из этой оценки сразу следует, что при всех температурах, пока тело остается твердым, его электронный спектр носит квантовый характер.
Другими словами, электроны в металле всегда являются вырожденной системой. В силу принципа Паули при Т = 0 К заняты все состояния с энергией меньшей Ь", а все состояния с большей энергией свободны. Если обозначить ГЛ. 9. ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛАХ 392 й„ Рис. 9.1 г(2 2/~11 = ш2г~(е)д(е + Е~М2, г1Я1/Ж = щ9п(е + Е)р(е)ХЫ (9.8) (9 9) В условиях равновесия Юг/й = 022/с11, число возбужденных атомов опи- сывается больцмановским распределением, т. е. Д'2 = 2У~е ~~ьв~., а по прин- ципу детального равновесия ш1 = ш2 и поэтому п(е)р(а+ Е)1У2 = п(а+ Е)р(е)ам (9.10) Учитывая, что число электронов с энергией е равно произведению функции распределения /(е) на плотность состояний д(е), мы имеем /(е)д(ЕИ1 — /(а+Е))д(е+Е)е 'ч~ь л = /(е+Е)д(е+Е)(1 — /(е))д(е), (9.11) через /(е) вероятность заполнения состояния с энергией е, то в координатах /(е), е это будет выглядеть так, как это показано на рис.
9.1. Ясно, что при конечной температуре это распределение будет как-то размываться на высокоэпергети шом крае (пунктир Т ф О на рис. 9.1). Это обусловлено тем, что только в этой области у электронов есть возможность увеличить поддействием теплового возбуждения свою энергию, перейдя на более высоко расположенное по энергии свободное состояние. Де) «Внутренние» электроны, облацающие энергией е«ЕФ вЂ” К Т, не могут изменить свою энергию на величину й Т, ибо состояния с энергией порядка в к+ИвТ расположены значительно ниже Е, и поэтому они заняты.
Наша задача — найти конкретный вид функции распределения электронов по энергиям при ненулевых температурах. Воспользуемся уже известным пам приемом для нахождения равновесной функции распределения. Поместим в нашу электронную систему атом, имеющий два возможных состояния - 1 и 2 соответственно с энергиями Е1 = О и Е2 = Е и взаимодействующий с нашей электронной подсистемой., у которой вероятность заполнения состояния с энергией е равна /(е) (функция распределения электронов по энергиям, конкретный вид которой мы ищем). Переход из одного состояния атома в другое происходит за счет обмена энергией с электронами проводимости.
Обозначим через ш1 вероятность перехода атома из состояния 2 в состояние 1 при взаимодействии с электроном с энергией е, при этом энергия электрона становится равной е + Е. Взаимодействие электрона с энергией е + Е с атомом в состоянии 1 приводит к изменению энергии атома на Е, а электрона до е и вероятность этого перехода пусть равна ш2. Если в пашей электронной подсистеме, находящейся при температуре Т, имеется 1У1 атомов в первом состоянии, а 2У2 атомов во втором состоянии, то число возможных обменов энергией между электронами и атомами в единицу времени ЙЯ2/Ж, скажем в случае передачи энергии Е от атомов, находящихся в возбужденном состоянии, электронам с энергией е, будет равно произведению вероятности таких переходов ш2 на число электронов с данной энергией п(е), на число свободных состояний р(е + Е) для электрона с энергией е + Е и на число атомов 2У2.
Аналогичным образом находится и число прямых переходов. Таким образом 9Д. ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛЕ 393 или ('(е)[1 — 1(с+Е)]е 91 в = 7"(е+ Е)[1 — 1(е)]. Разделим обе части равенства на ~(е) 1" (е + Е): 1 — Пе+ Е) е!ь т1 — У(е) 1(е + Е) 1(е) Мы получили для функции (9.12) (9.13) (9.14) функциональное уравнение 6 + Е) =ее""с(е) которое справедливо только для экспоненциальной функции вида с(е) = Аес1"вг. (9.15) (9.16) Итак, при равновесии = Аес1 "в Пе) откуда получаем выражение для функции распределения 1 1(с) = Аес1»вт + 1 Обычно константу А выбирают в виде 4 = е в1свг (9.17) (9.18) (9.19) и мы окончательно имеем У(е) = 1.— Рь Г 1 (9.20) Полученное распределение называется распределением Ферми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
