belonuchkin-zaikin-tsipenyuk-kvantovaya-fizika (1) (810753), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Чтобы акустический допплер-эффект стал заметным, был необходим 1Л. 8. ДИНАМИКА АТОМОВ КРИОТАЛЛИЧЕГКОЙ РЕШЕТКИ. ФОНОНЫ 382 быстрый поезд; чтобы измерить оптический (электромагнитный) допплер- эффект, необходимы еще гораздо более быстрые движения в астрономическом или атомном масштабах. При детальном изучении свойств ядерного резонанса источник двигается относительно поглотителя с различными строго контролируемыми скоростями и измеряется интенсивность излучения, переданного поглотителю. Если источник и поглотитель изготовлены только из одного элемента, то мы должны наблюдать один минимум при нулевой относ сительной скорости. Однако, если использу" о 2 О и 2 ! (3 ! ются соединения этого элемента, то вид с, си(с спектра усложнен из-за наличия внутренних полей. На рис. 8.7 приведены в качестве примера мессбауэровские спектры двух минералов железа. слева ильменит ЕеМ!03, справа ма! Н(ггич Ее30!. Такой вид кривой показывает, что резонанс в действительности расщепляется на несколько тесно расположенных линий.
Свое объяснение это так называемое «сверхтонкое» расщепление нашло в магнитных свойствах ядер. Под действием магнитного поля электронных оболочек линия расщепилась точно так же, как это имеет место в эффекте Зеемана во внешнем поле, на подуровни, соответствующие различным ориентациям магнитного момента ядра. Таким образом, можно без всяких химических процедур и даже вообще на расстоянии .-- по рассеянию излучаемых источником 7-квантов от исследуемой поверхности различить эти два минерала. Это лишь один из многочисленных примеров применения эффекта Мессбауэра, который стал одним из наиболее распространенных методов как в научных, так и прикладных исследованиях.
8.4. Решеточная теплоемкость и теплопроводность (ронон — — элементарная порция звуковой энергии с частотой ы, фотон квант электромагнитной энергии. Принципиальным моментом в этой аналогии является то, что обе эти частицы яв,ляются бозопами. Откуда следует, что фонов "- это бозе-частица? В твердом теле звуковые волны могут быть продольными и поперечными, причем имеются две независимые поперечные поляризации.
Таким образом, у фонона возможны при заданном импульсе, а значит при одной и той ж('. энергии, три различных состояния. Мы говорим в таком случае, что состояние трехкратно вырождено, но степень вырождения равна 2,1 + 1, где 7 - — спин частицы. Таким образом, формально спин фонона равен единице, а это означает, что он описывается бозе-статистикой. Итак, по своим свойствам фонон почти полностью аналогичен фотону, и мы можем использовать для описания свойств фопопного газа уже полученные нами соотношения для фотонов. Обратимся вначале к вопросу о теплоемкости решетки. Вычисление тсплоемкости мы начнем с расчета внутренней тепловой энергии тела, т. к. теплоемкость есть ни что иное, как изменеаие тепловой энергии при изменении его температуры на один градус.
Так как колебательная энергия кристалла «заключена» в газе осцилляторов, то, естественно, надо вычислить среднюю энергию этого газа, но мы это уже делали для фотонов, и чтобы воспользоваться уже полученными формулами, надо выяснить, в чем различие между фотонами и фопопами. 888 8Л. РЕШЕТОЧНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ы * Р 2, Г о (8.25) Мы воспользовались уже полученным рвлее для фотонов выражением (6.18) для энергии, но при эхом заменили скорость света на скорость звука, учли разную степень вырождения у этих частиц (коэффициент 3/2) и интегрирование производили не до со, а до ьь„, . В принципе мы должны были учесть, что поперечные и продольные звуковые волны имеют разную скорость, поэтому фактически скорость звука в выражении (8.25) является средней скоростью звуковых волн в кристалле, но принципиального значения это не имеет.
Теперь нам надо выяснить, до какой максимальной частоты мы должны интегрировать. В единице объема кристалла имеется конечное число частиц и пусть оно равно Х, а это, согласно общим принципам механики, означает, что всего может быть ЗХ степеней свободы, то есть ЗХ различных колебательных мод или ЗХ фононов. Но, с другой стороны, мы знаем, какова плотность состояний трехмерной системы; как следует из формулы (6.17), для фотонов число уровней в единичном интервале энергий у(ы) х1ь2 = (ь2 /х с ) х1ы. Как мы выше показали, при переходе к фононам нам надо вместо скорости света подставить скорость звука и умножить на 3/2.
х1тобы найти полное число состояний в единице обьема, надо проинтегрировать это выражение от О до ы„ж,. В дебаевском приближении эта максимальная частота называется дебаевской частотой ь2д и мы имеем д Зы Вш ь'д ЗХ = 2яг 88 2я2,8 ' О Таким образом, дебаевская частота равна 8 Я~2 ~' л Для простой кубической решетки Х = 1/аз и соответственно частота равна (8.26) (8.27) дебаевская =, 'ЯРУ = (, ~п) Я. (8.28) Звуковые фононы практически полностью аналогичны фотонам, ибо и те и другие описываются одним и тем же законом дисперсии; для фотонов ы = ей, а для звуковых фононов ы = зй.
П. Дебаем было сделано следующее предположение: давайте будем считать, что линейный закон дисперсии справедлив во всем диапазоне ы и к. В таком случае отличие фононов от фотонов заключается лишь в следующем. 1. В законе дисперсии у фотонов стоит скорость света, а у фононов скорость звука. 2. Степень вырождения у фотонов равна 2, а у фононов 3. 3. Фотоны могут быть любой частоты — от О до оо, а фононы сверху ограничены максимальной значением. Это означает, что энергия единицы объема кристалла при заданной температуре Т равна 384 ГЛ. 8. ДИНАМИКА АТОМОВ КРИСТАЛЛИЧЕСКО81 РЕШЕТКИ.
ФОНОНЫ Мы видим, что дебаевская частота пропорциональна %118 и фактически она очень близка к ее значению на границе зоны Бриллюена и поэтому мы можем при всех оценках считать ее равной 84г/а. Дебаевской частоте мы можем поставить в соответствие некую характеристическую температуру температуру Дебая О: 7ыд — — 14вО -+ О = Б 41(йв (8.29) Таким образом, дебаевской частоте соответствуют колебания с длиной волны порядка межатомного расстояния. Следует отдавать себе отчет, что температура Дебая является параметром модели, а не физической характеристикой вещества.
Температура Дебая, как правило, лежит в области 200-500 К, хотя есть ве1цества и с очень высокой и очень низкой температурой Дебая. Например, у бериллия она равна 1440 К, а у цезия 30 К, у бария 74 К. Рассмотрим область низких температур (Т « 0). В этой области температур возбуждаются лишь длинноволновые фононы, оптические волны (даже осли таковые могут быть) не возбуждаются при низкой температуре: на их возбуждение при Т « О не хватает тепловой энергии. Поэтому интегрирование в формуле (8.25) можно продлить до бесконечности, а в таком случае мы имеем й4Т4 г 841,,„>Ц4 (8.30) 2 Тизкззз ек — 1 106888 0 и соответственно теплоемкость кристалла при низких температурах должна быть пропорциональна кубу температуры: (1Ь 2 хзй4 (8.31) ,Д „ 5888 Мы получили так называемый закон Дебая для низкотемпературной теплоемкости твердого тела.
Легко качественно показать, почему получается такая зависимость от температуры. Рассмотрим импульсное пространство в изотропном случае (см. рис. 8.8). Все возможные моды колебаний ограничены значением волнового вектора Йд — — х/а, т. е. лежат внутри сферы этого радиуса, а возбуждаются при температуре Т преимущественно только колебания, для которых йы < И Т., т. е. с волновым вектором Й < й.
(Й. волновой вектор, соответствующий частоте ш = й Т! Ц. Это значит, что доля возРис. 8.8 буждаемых колебаний составляет (Т(0)8. Если считать, как это имеет место в классике, что энергия каждого колебания порядка ИвТ (йвТ(2 приходится на кинетическую энергию осциллятора и столько же на потенциальную), то это зна 1ит, что внутренняя энергия порядка 14йвТ(Т(0)8, и соответственно теплоемкость будет подчиняться кубическому закону. Теперь рассмотрим другой предельный случай - высокие температуры (Т» 0). Это классическая область, возбуждаются практически только дебаевские фононы, так как это фонопы максимально возможной частоты, а тепловая энергия много больше Бь4д согласно нашему предположению.
Тот К4. РЕШЕТОЧНАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ факт, что возбуждаются преимущественно фононы максимальной частоты, связано с зависимостью плотности состояний от волнового вектора она пропорциональна 7г (см. формулу (6.16)). Энергия кристалла равна средней энергии фонона, умноженной на их число и на число мод в единице обьема: Е ЗА75ыд . 7ьч) = ЗА7Ьлл (Й„Т/йы ) = 37У'к Т, (8.32) и соответственно теплоемкость равна С=ЗЯ/с . 18.33) В расчете на один моль вещества С = 378', где 7ь' . газовая постоянная. Мы получили хорошо известный и уже упоминавшийся в 5 части гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
