1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Поэтому шоыр Решая это квадратное уравнение и учитывая, что — ) О, находим Р "мим (6.54) Гамм Шэз р Так как 1 — — — — =1+ — — — +— то формулу (6 53) можно записать в таком виде; "мин = агссоз то~ р — агссо5 ( Г ШО агссо5 Г рз 25 гз ! — — —— ~пР„г + Гамм уио В соответствии с соотношением (6.54) ягза,.з уз = агссоз 1 — агссоз У'%Г или — уз = агссоз )7 (тоз з)в+рз Так как соз ( — уо) = соз ум то соз рз = ')/ (тпз Г)я+Зз Следовательно, связь между прицельным расстоянием р и углом уз имеет вид !)3 рз 4 (йети тзот Линия ОР является осью симметрии орбиты частицы (рнс. 6,9). Поэтому угол между второй асимптотой ВС орбиты н осью 00 также равен уз: .с РВС ~ АВ — уз Таким образом, в результате движения частицы в рассматриваемом силовом поле происходит изменение направления ее скорости, т.
е. отклонение частицы на угол 2 =я — 2уо. (6.56) Из формул (6.55) и (6,56) следует, что ре рз = — с(йз —. шзоз 2 (6.57) ((М т) е л 4. Во многих задачах Физики приходится встречаться с отклонением в сфернческк симметричном центральном силовом поле не одной частицы, а целого пучна одинаковых частиц, обладающих одинаковыми скоростями о и практически ие взаимодействующих друг с другом. Это явление называют рассеянием частиц на неподвижном силовом центре, который называют рассеивающим центром. Углы 7 рассеяния (отклонения) частиц пучка зависят от прицельных расстояний р (см.
уравнение 6.57), которые для разных частиц пучка, вообще говоря, неодинаковы. Пучок частиц вдали от рассеивающего пентра называется однородным, если число частил л, проходящих за единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка (плотность пучка), одинаково по всему сечению. Для количественной характеристики процесса рассеяния однородного пучка частиц пользуются днфйереицнальным вффеитивным сечением рассеянию где оМ вЂ” число частиц, рассеиваемых за единнпу времени иа углы от Х до Х+ дХ, Этому условию удовлетворяют те частицы пучка, прицельные расстоя- ния которых заключены в пределах от р до р + др, т.
е. Величина — < О, так как для увеличения угла рассеяния нужно умеиь- "Х шать прицельное расстояние. Величины аМ и г(з по самому их физическому смыслу не могут быть отрицательными. Поэтому Х г(з 2и р~ ~г(Х = "Х. Д Х пгзо1 Х ып— 2 (6.58) 5. Часто дифференциальное эффеитивное сечение рассеяния г(з удобнее относить не к элементарному диапазону г(Х плоского угла рассеяния, а к соответствующему телесному углу. Телесный угол ю, ограниченный конической поверхностью, равен отношению площади 8 поверхности шарового сегмента, вырезаемого конической поверхностью на сфере произвольного радиуса Й с пентром в вершине конической поверхности, к квадрату радиуса: Рассеянию под углом Х соответствует коническая поверхность с углом при вершине, равным 2Х. Площадь поверхности соответствующего шарового сегмента 3 = 4 и)(з з(пз Х 2 а телесный угол и = 4 из(пз — ° Х 2 Следовательно, рассеянию в пределах значений плоских углов от Х до Х+ йХ соответствует телесный угол 8 и = 4 и з1п — соз лХ 2 2 Поэтому выражение (6.58) можно представить в виде (2 с) (6.59) — 128— о)у =л2прор.
Из (6.57) следует, что йз Х г( Х рз 2рар =- — (й тзоз 2,пз Х шзо~ 2 Это соотношение называют фориулой Резерфорда. Х 2 "Х з1пз Х 2 Вопросы для повторения 1. Как вычислить силу всемирного тяготения между двумя телами, имеющими произвольные размеры и форму? 2. Что такое сила ткжести тела и от чего она зависит? 3. Что такое поле тяготения? Какие величины вводятся для характеристики этого поля и как они связаны между собой? 4.
Как доказать консервативность снл тяготения? 5. Какие силы называют центральными? Приведите примеры центральных сил. 6. Вмведнте законы Кеплера. 7. Что назывшот первой и второй космическими скоростями? Найдите их значения. 8, Почему для запуска искусственных спутников Земли и космических ко.
раблей применяют многоступенчатые ракеты? 9. Что называют прицельным расстоянием и углом рассеяния? Какую форму имеют траектории частиц, рассеиваемых неподвижным центром? Примеры решения задач Задача 6.1. Пользуясь понятием потенциала поля тяготения найдите численные значения второй космической скорости для Земли (М! 5,98 ° 1Оз! кг! )?! 6,37 ° 1Оз м), Луны (М!! 7,36 ° 1Озз кг! )? ! =1,74Х х10з м) и Марса (М!ы 6,50 ° !О'з кг! )?!!! 3,39 ° 10з м) вблизи их по. верхности.
Дано М, 5,98 1Оз4 кг, М 7,36 ° 1Озз кг, !! Мн 6 50 . 10зз кг, )?! 6,37 1Оз и. )?!! 1 74. 1Оз и, )? ! 3 39, 10з м. Решение В первом приближении можно считать, что Земля, Луна и Марс представляют собой тела шарообразной формы, плотности которых зависят только от расстояний до нх центров. Поэтому потенциал воля тиготеция, создавае. мого этими телами, дли точек, лежащих на кх поверхностн, можно найти по формуле (6.25) 7М у т тМ )рв = ту. в — г —— При удалении материальной точки в бесконечность ее потенциальная энергия возрастает до величины, равной нулю.
Следовательно, дли осуществления этого процесса необходимо совершить работу А против сил тяготения, причем .! тМ 4= — (Рз =— )? Работа А производится материальной точкой за счет уменьшения ее кинеткческой энергии. Точка может преодолеть притяжение тела, если ее на !альная скорость оэ у поверхности тела такова, что т "'"о 7 глМ 2 )( 5-818 — 129— где М вЂ” масса тела, )( — его радиус.
Потенциальная энергия в поле тяготения для материальной точки с массой т, находящейся на поверхности тела, равна Наименьшее значение оз скорости оз, удовлетворяющее атому условию, н есть искомая вторая космическая скорость у поверхности тела: 2 )7 откуда о . 27М Вычисления производим в Международной системе единиц (СИ)~ а) проверка размерности результаты (7)/т (М]СФ Ь/1 М С, 7' т, МС ° (сз! —, —, — Ьт-т, (7!'с Ьч б) вычйсления Для Земли "з ~С = ~Сг ' ' М/С 11,2 1Оз М/С; 2 Т с)т! — 2 ° 6,67 ° 1О-тт ° 5,98 ° !Озт )7 у/ 6,37 ° 10з для Луни м/с = 2,38 ° 10э м/с' для Марса 27 отис с' 2 ° 6,67 10 тт 6,50 ° 10зз 5 05 1Оз от— Кн, У 3,39 1О' Задача 6.2.
Ракету запускают с поверхности Земли вертикально вверх. Отношение стартовой массы топлива и окислителя к общей массе ракеты равно 0,75. Относительная скорость истечения газов из сопла ракетного двигателя ч000 м/с. Через сколько' времени после старта ракета начнет падать на Землю) Неоднородностью поля тяготения Земли и сопротивлением воздуха пренебречь Дано Решение шт В процессе работы двигателя иа ракету действуют две противоположные по направлению силы: реактивная сила тяги двигателя с/ш гр — н —, ? б1 направленная вертикально вверх, и сила тяготения к Земле Р, шб, где О— напряженность поля тяготения Земли.
С сопз1, так как по уелбвию задачи неоднородностью поля можно пренебречь Полагая, что сила Г равна силе тяжести ракеты Р тй, получаем б й сопз1, где — ускорение свободного падения. оэтому в промежутке времени от 0 до * (т — продолжительность работы двигателя) уравнение движения ракеты имеет вид: бт си — = н — + шя.
с// с// или, в проекции на направление скорости т, ио г(т т — — и — — тя, Ф иг откуда г!т по= — и — — и. 4(. т Интегрируя зто уравнение, находим о= — и !от — йт + С, где С вЂ” постоянная интегрирования. Ее значение ыожно определить из начальных условий. В момент старта ракеты ! О, о 0 и т тз — стартовая масса ракеты. Следовательно, С и!п тз те в=и!и — — л(, т Скорость ракеты в момент окончания работы двигателя (! т н т тз — льг, где т — масса топлива н окислителя): тч вгт ~ ог = и !и — я т= — и !п ~1 — — !- и т. п1,— т, то Дальше ракета движется равнозамедленно под действием ее силы тяжести Р, — Р„т. е. с ускорением, чнсленно разным л, до тех пор, пока ее скорость не становится равной нулю и ракета не начинает падать обратно на Землю.
Продолжительность (д равнозамедленного движения ракеты равна ог и 7 згг5 1, = — = — — !и ~! — — 7! — т. а а ( 7' Таким образо)г, искомую продолжительность ! подъема ракеты вверх мож-. но определить следующим образоьс I тт т=т+тг = — — !и ~1 — — ). то Вычисления производим в 5(еждународной системе единиц (СИ): а) проверка размерности результата: (и) !(! = — = — =т, 1а) 57-г В б) вычисления: 4000 4000 ! = — — !и (1 — О, 75) с = — !п 4 с = 565 с. 9.81 9,81 Глава чгВ ДВИЖЕНИЕ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТ- СЧЕТА $7.т. Кинематика относительного двюкения 2.
Рассмотрим движение мвтерявлькой точкк М относительно двух прямоугольных декартовмх систем координат Х, У, х к Х', У', Х' (ркс. 7.1). Пусть первая система координат является инеряиальной, в вторая движется относительно нее пронввольяым образом. Систему Х, У, 3 будем условно считать и ел о д в н ж н о й, в движение точки М относительно этой сястемы отсчета будем называть абсолютвмм движением. Двяженяе точки М относительно подвижкой системы отсчета Х', У', 3' будем называть относительным двяжеккем.
Едяпнчпые векторы (орты), определяюжне положительные направления осей пеподвкжяой н подвижкой систем координат, абоэпвчкм, соответственно через 1, Ь й в У, У, й'. Положение точки М относительно неподвижной системы координат определяется радиусом-вектором т х( + д) + хн, в относительно подвижной — радиусом-вектором г' х'У + рЧ'+ х'К', где х, у, х и х', р', х' — коордянвты точки М в этим системах. Ив ркс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
