1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 22
Текст из файла (страница 22)
6.5). Если начало координат совместить с точкой О, а положение точек по- ля С (х, у, г) определять с помощью радиуса-вектора г, проведенного из О, то для центрального поля тяготения б= — ' г, пг (6.12) Г где О, = О, (х, у, г) — проекция вектора б на направление радиуса-вектора г, а г =1г~ = 3~х'+ у'+ г'. Точку О называют центром сил. Центральное поле называют сферически симметричным, если численное значение вектора напряженности зависит только от расстояния г до центра сил О: б= а(г)иа,=а,(г). П р и м е р. Поле тяготения, создаваемое неподвижной материальной точкой с массой М.
По закону всемирного тяготения (6.2) сила Р, действующая на материальную точку с массой т со стороны поля тяготения точки с массой М, равна тМ р = — т — г. ы — 107— Напряженность поля М б = — т — г. рь (6.13) Поле янляется центральным и сферически симметричным, так как б! Т М (6. 14) 3. Рассмотрим поле тяготения, создаваемое системой неподвижных материальных точек с массами т„тз, ..., т„. Сила Г„которая действует со стороны !-й точки системы на материальную точку с массой т, помещенную в произвольную точку С поля, равна Г= — Т вЂ” г=тб, IЛ(П! ,з ! (6. 15) где г,— радиус-вектор, проведенный из (-й точки системы в точку С, б,— напряженность в точке С полн тяготения, создаваемого одной материальной точкой с массой гп!.
Результирующая сила Г, действующая на точку т со стороны всех точек системы, равна векторной сумме сил Г,: л ь Г=ХГ!=т2'„б!. !за ! ! С другой стороны, где б — искомая напряженность поля системы материальных точек. Из двух последних формул следует, что ь б=Х бь ! (6. 16) Таким образом, при наложении нескольких полей пщгопмнил напряженность результирующего поля ранна векторной сумме напряженностей всех етих полей.
Это утверждение называют принципом суперпозиции (наложения) полей. На основе принципа суперпозиции можно доказать, что для напряженности поля тяготения вне шарообразного тела, плотность которого всюду одинакова или изменяется только в радиальных направлениях (р =р(г)), справедлива формула (6.13): б= — Т вЂ” г (при г) Я), м /3 где М вЂ” масса всего тела, Я вЂ” радиус его поверхности, а г — ра- диус-вектор, проведенный из центра тела. Иными словами, поле такого тела подобно полю материальной точки, расположенной в центре тела и обладающей массой, равной массе тела.
Если поле тяготения создается шаровым слоем, плотность которого р = р(г), тонапряженностьэтого поля внутри полости, ограниченной слоем, равна нулю. 4. В соответствии со вторым законом Ньютона и выражением (6.11) для силы тяготения Р ускорение а, приобретаемое в поле тяго. тения телом, которое свободно от других воздействий, равно напра.
жениости б поля тяготения в месте нахождения тела в рассматриваемый момент времени: Г а = — = С. Ш Если тело несвободно (например, находится на поверхности Земли, лежит на полу нли подвешено к потолку кабины лифта н т. и.). то под влиянием поля тяготения тело действует с некоторой силой Я на опору нли поднес, удерживающие его от свободного движения в поле тяготения. Эту силу называют весом тела. В свою очередь опора или поднес действуют на тело с силой реакции, равной — Я.
В отличие от силы тяготения, вес тела зависит от величины ускорения ам с которым движутся опора или подвес и неподвижное относительно них тело. В самом деле, по второму закону Ньютона таО ~ Й1 откуда вес тела Я= à — та,=т(б — а,), где т — масса тела. Например, для тела, неподвижно лежащего на поверхности Земли, а, — центростремительное ускорение, обусловленное суточным вращением Земли. Поэтому вес тела, покоящегося относительно Земли, равен его силе тяжести. Вес тела, подвешенного в лифте, больше силы тяжести этого тела, если ускорение лифта направлено вверх, т. е.
в сторону, противоположную направлению вектора б напряженности поля тяготения Земли (лифт опускается замедленно илн поднимается ускоренно). Если ускорение лифта совпадает по направлению с вектором С, т. е. лифт опускается ускоренно нли поднимается замедленно, то вес тела меньше его силы тяжести. В частности, при свободном падениилифта вес тела равен нулю. Такое состояние называют состоянием невесомости. Оно реализуется в любой системе, движущейся только под действием поля тяготения, которое в пределах системы можно считать однородным. Состояние невесомости характерно для тел, находящихся в космическом корабле, так как основную часть своей траектории в поле тяготения корабль проходит с выключенным двигателем.
5. Докажем, что силы тяготения — консервативные силы. Элементарная работа бА, совершаемая силами поля тяготения прн перемещении в нем материальной точки с массой т, равна бА = (Г, дг) = т(б, йг), (6,17) где б — напряженность поля, Нг — вектор элементарного перемещения. В простейшем случае поля, создаваемого материальной точкой с массой М (рис.
6.6), М гз 4г т Ь Ряс. з.т. Ряс. а.з. Так как (г, Нг) = — Н(г, г) = — Н(г') = г!(г, ! ! т ' а ~1г ьА = — тщм— м (6.18) При конечном перемещении точки т из точки 1 в точку 2 (рис. 6.7) работа сил поля равна А,, = — ) "рпМ вЂ” = — АМ ) — = теМ ~ — — — ~ . (6.19) Ф '1 а~ г! и 9 1 Из выражения (6.19) следует, что работа А, з не зависит от того, вдоль какой траектории точка и перемещалась из положения 1 в положение 2. Она одинакова при перемещении точки вдоль произвольных кривых 1а2 и 1Ь2. Работа А, т пропорпиональна произведению масс гп и М материальных точек и зависит только от начального и конечного расстояний между ними. Таким образом, силы поля тяготения, созда. ваемого одной материальной точкой М, действительно являются консервативными.
Работа этих сил при перемещении точки ги вдоль произвольного замкнутого контура 1. (например, контура 1а261) тождественно равна нулю: (6.20) Если, как эта обычно принято, условиться считать, что потенциальная энергия точки гп стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от источника поля — точки М: то тл1М и, 1 или, в силу произвольности выбора точки (, ттм (р п г (6.22) Формула (6.22) в равной мере справедлива для потенциальной энергии материальной точки с массой М в поле тяготения, создаваемом материальной точкой с массой и.
Поэтому 1Р; часто называют взаимной потенциальной' энергией обеих точек. Все величины, входяшие в правую часть уравнения (6.22), положительны. Следовательно, потенциальная энергия 1Р', ( О Можно показать, что потенциальная энергия материальной точки с массой л! в поле тяготения, создаваемом произвольной системой материальных точек с массами ть !и„..., пг„, равна л )р ч~ ! т~~г Г (6.23) и Л1 г! 1=1 (б. 24) Иными словами, !р, служит энергетической характеристикой самого поля тяготения.
Ее называют потенциалом поля тяготения. Размерность <р, совпадает с размерностью квадрата скорости. Из формулы (6.22) следует, что потенциал поля тяготения, создаваемого одной материальной точкой с массой М, равен тм !р = Г (6.26) где г — расстояние от этой точки до рассматриваемой точки поля. — !!2— где г,— расстояние от точки с массой т до (-й точки системы. Если поле создается телом шарообразной формы, плотность которого зависит только от расстояний до его центра, то формула (6.23) оказывается эквивалентной формуле (6.22), где М вЂ” масса всего тела, а г > Я (Я вЂ” радиус поверхности тела).
7. Величина Ч1„равная отношению потенциальной энергии материальной точки в поле тяготения к массе и этой точки, как видно из (6.23), не зависит от пн Эта же формула справедлива для поля тяготения тел шарообразной формы, удовлетворяющих указанным выше условиям. Из сопоставления формул (6.24) н (6.25) следует, что (6,26) т. е.
потенциал в некоторой точке поля, являющегося результатом на- ложения ряда полей, равен сумме потенциалов в этой точке, соответ- ствующих каждому из полей в отдельности. 8. Между двумя характеристиками поля тяготения, его напряжен. постыл и потенциалом, существует взаимосвязь. Элементарная рабо. та с(А, совершаемая силами поля прн малом перемещении матерналь. ной точки с массой т, как видно из уравнений (6.21) и (6.24), равна = — т Аут. С другой стороны, в соответствии с (6.17)' йА = т(С, йг) = тСсоз а й1 = т С,й(, где с1 — угол между векторамн С и йг, сУ = 1с(г! и С, = Осози— проекция вектора С на направление элементарного перемещения с(г. Таким образом, тй ° с(( = — т.йр~, нли (6.27) Величина — характеризует изменение потенциала на единицу дт, ш длины в направлении перемещения йг в поле тяготения.
Если вектор аг совпадает по направлению с вектором С, то С, = 0 и ~ т' ~ как втт В1 видно из (6.27), имеет максимальное значение, причем в силу положительности С величина сл1 †' ( О. Таким обРазом, в каждой точке полл тяготения вектор напряженности С направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала. Можно показать, что С = — игам„ где ягай ~р, = — 1+ — ) + — )с — вектор, называемый .градидтт дтт дтт дл де дг ентом потенциала, а 1, ) и й — орты прямоугольной декартовой системы координат. 9. Рассмотренная нами теория поля тяготения так же, как и лежащий в ее основе закон всемирного тяготения Ньютона, является при- ' Си сноску нв стр 111 — 113— ближенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
