1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 17
Текст из файла (страница 17)
2. Если на тело, вращающееся вокруг неподвижной точки О, внешние силы действуют, но результирующий момент М этих сил относительно точки О тождественно равен нулю, то, как видно из (4.9), момент импульса тела 1. относительно точки О остается постоянным. В справедливости этого закона можно убедиться на опыте с уравновешенным гироскопом, имеющим три степени свободы. Гироскопом называют быстро вращающееся твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Гироскоп имеет три степени свободы, если он закреплен таким образом, что может совершать любой поворот вокруг некоторой неподвижной точки, называемой центром подвеса. Если центр подвеса гироскопа совпадает с его центром тяжести, то результируюший момент сил тяжести всех частей гиро.
скопа относительно центра подвеса равен нулю. Такой гироскоп назы- — 82— вают уравновешенным. На рис. 4.3 показан простейший уравновешенный гироскоп, имеющий три степени свободы. Гироскоп О быстро вращается во внутренней кольцевой обойме А вокруг оси А,А„которая совпадает с осью симметрии гироскопа и проходит через его центр тяжести С. Обойма А в свою очередь может свободно вращаться во внешней обойме В вокруг оси В,В, перпендикулярной к А,А,.
Наконец, обойма В может свободно вращаться в стойке 1) вокруг оси Е1,О„ перпендикулярной к осям А,А, и В,В,. Все три оси пересекаются в центре подвеса, совпадающем с центром тяжести гироскопа С. На опыте с таким гироскопом легко убедиться в том, что при любых поворотах стойки ь) ось вращения гироскопа А,А, сохраняет неизменное направление по отношению к лабораторной системе отсчета. Объяснение этого явления состоит в следующем Момент относительно точки подвеса С всех внешних сил, прикладываемых к гироскопу через стойку 0 при ее поворотах, равен только моменту сил трения (момент силы тяжести равен нулю, так как гироскоп уравновешен).
Обычно момент сил трения очень мал, так что за малый промежуток времени, в течение которого производится поворот стойки Е), момент импульса гироскопа Е относительно центра подвеса С практически ие изменяется. Так как гироскоп симметричен и вращается вокруг своей оси симметрии, то его момент импульса 1. направлен вдоль оси вращения А,А,. Поэтому при всевозможных поворотах стойки О ориентация оси вращения гироскопа должна сохраняться неизменной. 3. Из основчого закона динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Ог (уравненне 4 10), следует закон сохранения момента импульса тела относительно этой оси: если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно ровен нулю, то момент импульса тела относительно втой оси не изменяется в процессе движения, т. е.
если йй,= =О, тз (4.22) — '— = О н 1. = сопз1, й д или, на основании соотношения (4.13), е,м = сопз1, (4 22') где м — угловая скорость тела, У,— его момент инерции относительно оси вращения. Этот закон может быть обобщен на любую н е з а м к н у т у ю систему тел: если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси тождеспвенно равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменяется с течением времени.
В частности, этот закон справедлив для э а м к и у т о й системы тел. 4. Справедливость закона сохранения момента импульса относительно неподвижной оси вращения можно продемонстрировать на ряде . 4.9 изображена квадратная рамка АВСО, изготовлентержней. На стержни АО и СО надеты одинаковые цирузы К, имеющие возможность свободно скользить по Грузы К удерживаются в верхнем положении приим ниткой У, перекинутой через крючки В в рамке. Рамка подвешена на неупругой нити ВО. Если рамку привести во вращение вокруг вертикальной оси ВО, а затем нитку У пережечь, то грузы К опускаются по стержням АО и СО вниз, приближаясь к оси вращения, а угловая скорость вращения рамки заметно возрастает.
Это связано с тем, что момент внешних сил — сил тяжести, приложенных к рамке и грузам, относительно неподвижной оси ВО равен нулю. Поэтому произведение момента инерции рамки с грузами (относительно оси ВО) на ее угловую скорость до (У,со,) и после пережигания нитки М (1осо,) должно остаться неизменным: Х,оо,= Усово. Так как Уо~ У„то со )со,. Аналогичное явление наблюдается в опыте со скамьей Жуковского, изображенном на рис. 4.!О. Скамьей Жуковского называют горизонтальную площадку, свободно вращающуюся без трения вокруг неподвижной вертикальной оси 00„. Человек, стоящий на скамейке, держит в вытянутых руках гимнастические гантели и вращается вместе со скамейкой вокруг оси 00,.
Приближая гантели к себе, человек уменьшает момент инерции системы и угловая скорость ее вращения возрастает. По закону сохранения момента импульса относительно оси ООо опытов. На рис ная из тонких с линдрические г этим стержням крепленной к н Р Ряс. 4.9 (/о+ 2л1г,)в,= (Уо-!- 2п1го)соо, (4,23) Ь)о'„= Ф',, — )р„,— (зо+ 2тго~) но (/о + Ьлс~) где 1о — момент инерции человека и скамьи; 2ли~ и 2т4 — момент инерции гантелей в первом и во втором положениях; со, и соо — соотРзс.
4ЛО. ветствующие этим положениям гантелей угло- вые скорости системы; и — масса одной ганте- ли; г, и г,— расстояния от гантелей до оси 00,. В рассмотренном опыте изменение момента инерции системы связано'с изменением ее кинетической энергии, равным Воспользовавшись выражением для угловой скорости юю полученным из формулы (4.23): а'а + 2тг~~ ОЬ2 = Ю1, га + 2тгя найдем после несложных преобразований lа + 2тг21 ю,(ю, — юг)ныл 2 Это изменение кинетической энергии системы рав шаемой человеком при перемещении гантелей.
Закон сохранения момента импульса используют балерины, мастера фигурного катания и другие для выполнения различных фигур, связанных с изменением угловой скорости их вращения вокруг вертикальной оси. Рассмотрим еще один опыт со скамьей Жуковского. Человек стоит на неподвижной скамье Жуковского н держит в руках ось массивного колеса так, что она является продолжением оси вращения скамейки (рис. 4.11). Вначале колесо не вращается, затем человек раскручивает его до угловой скорости ю,.
При этом он сам вместе со скамьей приходит во вращение в обратном направлении с угловой скоростью юю которая, как показывает опыт, находится в пснгном согласии с законом сохранения момента импульса системы: (4.24) но работе, совер- ~1 Гзз ЕЗ1 ,/2 Рис. 4.11. где ?1 — момент инерции колеса и 12 — момент инерции человека и скамейки. Человек, стоящий на идеально гладком полу, не может повернуться вокруг вертикальной оси, пользуясь для этого обычными приемами, т. е. отталкиваясь ногами от пола. Однако если он поднимет вверх руку и будет вращать ее вокруг вертикальной осн, то он сам начнет вращаться в противоположном направлении.
Вопросы дня пеиторенна 1. Что называют моментом силы и моментом импульса тела относительно неподвижной точки и относительно неводвижиой оси? 2. Какая физическая величина служит основной динамической характеристикой вращающегося тела? 3.
От чего зависит момент инерции тела? Какую роль он играет во вращательном движении? 4. Сформулируйте закон сохранения момента пмпрльса н проиллюстрируйте его примерами. йрммеры решения задач Задача 4.1г. Рамка может вращаться вокруг проходящей через ее центр тяжести вертикальной оси Ог. В рамке симметрично относительно осн Ог на расстояниях 1 0,15 м от иее укреплены вертикальные оси двух одинако- вых дисков, имеющих вес Р 96,2 Н Е каждый (рис.
4.12). Момент инерции рамки относительно оси Ог равен .(г =4,9 1О з кг ° мэ; момент инерции каждого диска относительно собственной оси равен /з 9,81 1О з кг мз. Вначале система находится в покое, а затем диски начинают вращаться в одну сторону с одинаковыми угловыми скоростями, делая по пз 10 об(с относительно рамки. Зто осуществляется имеющимся в системе, но не показанным иа рисунке часовым механизмом, отпускающим в некоторый момент первоначально напряженную пружину. Определить угловую скорость рамкк. Рис. 4.12. Дано решение Р=96,2 Н, Момент относительно оси Оа параллельных ей 1= 0,15 м, снл тяжести частей системы равен нулю. Следе.
,(г= 4,9. 1О з кг м', вательно, к системе можно применить закон ,(з= 9,61 1О ' кг мз, сохранения момента импульса: момент импульса лз = 10 об)с данной системы относительно оси Оз остаегся неизменным и равным нулю как до, так и после приведения в движение обоих дисков. Таким образом, задача состоит в том, чтобы выразить момент импульса системы относительно оси Оз. Он складывается иэ: а) момента кмпульса рамки Лым где ы, — угловая скорость рамки, б) момента импульса двух дисков, связанного с ях вращением вокруг оси Оз вместе с рамкой и равного 2(Хз+ Р(э7фюм в) момента импульса двух дисков, связанного с извращением с угловой скоростью юз вокруг собственных осей н равного 2/зюэ. Итак, имеем угюг -(- 2 (уэ + Р(э(й)юд + 2lэыэ = 0 или юг (Л + 2/з + 2РЯд) — 27зюэ.
Скобка. стоящая в левой части этого уравнения, и 1з — величины положительные. Поэтому знак мпнус в правой части уравнения указывает лишь на то, что рамка и диски вращаются в противоположные стороны, и в дальнейшяя расчетах он может быть опущен. Заменив ом = 2япз, получим 4г7эпэ lг + 2 (/э + Р(э(й) Вычисления производим в Международной системе единиц (СИ): ' Содержание задачи 4.1 заимствовано из кн. Л. Г. Л о й ц я н с к о г о н А И Л у р ь е.
Курс теоретической механики, т. 11, ГТТИ, 1954, стр. 175. — 86— 1) проверка размерности результата: (з )( ) (М = =(пз) =7 ((т) 2! вычисление результата: 4 3,14 9,8! ° !О"з ° 10 кч г О 2 рад/с =17,9 рад/с. 4,9 ° 10"э+ 2 ° ~9,81 ° 1О з+ — О Абз) 9,81 Задача 4.2. По наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтам, скатывается без скольжения сплошной однородный диск. Найти ускорение центра диска.
Решить задачу в общем виде, полагая, что вначале диск был неподвижен, а трением качения можно пренебречь. Решение Пусть к некоторому моменту времени Г центр тяжести диска прошел расстояние ВС = х от вершины наклонной плоскости (рис, 4.!3). При атом потенциальная энергия диска изменилась на величину Л(рв = — тях мп а. Сила трения покоя, действующая на диск со стороны наклонной плоскости, работы не совершает, так как мгновенная скорость тачки А приложения этой силы равна нулю. Следовательно, для диска справедлив закон сохранения механической энергии. Кинетическая энергия диска в момент времени ( йуе — й Ф'е тйх з(пч(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
