1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 15
Текст из файла (страница 15)
л$! + /из Подставим это зиаченве о в выражение для 5йг." (та+ глз) ш! от шзот ьйг— 2(т, + Ягз)з 2(тг + шз) Работа Ад расплющивания железа равна: штат! лг[ оз! Аз — — (Ä— Ьйг = 2 2(тг+ тз) или ш '~ шзшзот! 2 ~ тд+тз/ 2(шг+шз) Вычисления производим в Международной системе единиц (СИ); 1) проверка размерности результатов: !т[з [о[з [Ь)Г) = = [ш[ [о)* = МЕзу-з, [ш) (Ад[ = [гл) [ье) = МЕЧ'~ з! вычисления: (1,2 !О')* ° 25 цйг = Дж = 5,87 1Оз Дж; 2 ° (1,2 10ч + 2.5 10') 12 !О' 25 . !О' 25 Дж ! 43 Задача 3.2 Определить работу поднятия груза по наклонной плоскости, среднюю и максимальную мощности подъемного устройства, если масса грува 100 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол ее наклона к горизонту 30', коэффициент трения О,! и ускорение при подъеме 1 м[сз.
У основания наклонной плоскости груз находился в поное. Дано '4 ) Д'ср (ривке По второму закону т= 100кг, з=2 м. а = 30'. [= О,!', а= 1 м/сз Решение На груз действуют три силы: сила тяжести Р, сила тяги Г и реакция наклонной плоскости, равная геометрической сумме двух ее составляющих, изображенных на рис.
ЗЛ, — нормальной реакции [1 и силы трения Г,з. Салу тяжести тоже можно разложить на две составляющие— нормальную Р„и касательную Р, Ньютона ящ = Г + Р„+ Р, + Г, + ((. — 7!— Так как силы Р,, Гтр и Г и ускорение грУва а направлены вдоль наклонной плоскости. то нормальные к плоскости силы Рк и [Е взаимно уравновешиваются, т. е. Р„+ К О. Силы Р, н Г,р противоположны по направлению сале Г и ускорению а, поэтому Рт с где Р, тйз!па, а Ртр ЕРк Етй сока, так что Р т(а + Ес з1па + + Ей сока). Сила тяги Г постоянна по велячине и направлена вдоль перемещения груза.
Поэтому совершаемая ею работа А Рз тз(а + й з!и а + Ей сока). Мощность з(, развиваемая подъемным устройством, по формуле (ЗА) равна: !и Ро ти(а+ дз!па+ Едсоз а), где о — скорость груза. Рис. ЗАЧ Груз движется равноускоренно с иачаль. ной скоростью, равной нулю, так что о ад Понтону мощность 5( в процессе подъема груза возрастает. Средняя н максимальная мощности, развиваемые подъемным устройством„равны: А З'ср = м РЕмккс = Р"макс = Рагс Ес где Е, — время подъема груза По формуле (1.18) Следовательно, Еа Ела к!ср м— к А ~Š— т — (а+ уз!и к + Ей созе), (кмзкс = т У2за (а + л з1п а -(- Ед соз к) = 2а!ср, Вычисления производим в Международной системе единиц (СИ)! 1) проверка размерности результатов: [А ! [т1[з1[а1 МЕЛ.Т"к МЕРТ"', [Еу~р! [т1[з! *[и! * МЕ.
' (Е-7 ) * МЕ,кТ ', к! вычисления; А = 100 ° 2 ° (1 + 9,81 0,5+ О,! 9,81 )ЕЗ/2) Дж = 1350 Дж, Ф~р = 100 ° (1 + 9,81 + 0,5 + 0,1 ° 9,81 Г 352) Вт 675 Вт, )Умвк 2мср 1350 Вт, 72— Глава !У ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВЮКЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА $ а. Ь Основной авион дннвммин враизвтального движения 1. Мы уже говорили о том, что любое тело или систему тел можно мысленно представить в виде системы материальных точек— достаточно малых частей этих тел. Рассмотрим произвольную механическую систему, состоящую нз п материальных точек.
Пусть т~— масса )-й точки системы, а г,— радиус-вектор, проведенный в эту тачку из начала координат О неподвижной инерцйальной системы отсчета. Обозначим через Р, силу, действующую на 1-ю точку со стороны й-й материальной точки системы, а через Р;"' — равнодействующую всех внешних сил, приложенных К Ьй точке. По второму закону Ньютона уравнение движения этой материальной точки имеет вид а ше ввеш — (тете) в~ Рм+г й Ф! где т,= е)г,/е)1 — скорость 1-й точки, а индекс суммирования й пробегает все значения от 1 до и, причем Ры О, так как 1-я точка сама на себя не действует. Умножим обе части этого равенства векторно на гр 14. 1) ! 1 а ее — 1гь т» т,) = ~ —, тете~ + ~гвь — 1теч )' — ~гь — 1т,т,)1, потому что бе, — тре1 1то теЧе) = О, еп как векторное произведение двух одинаково направленных векторов. Следовательно„уравнение (4.1) можно переписать в виде: в ~ 1вь т,ч,) = У1гь Рм)+1г„Р;"' 1.
еп 9.1'1 — 73— Легко видеть, что знак производной по времени в левой части этого уравнения можно вынести за знак векторного произведения. В самом деле, 2. Векторное произведение радиуса-вектора г, материальной точки на ее импульс тет, называют моментом импульса 1. ~ этой материальисй точки относительно точки О: 1.; = (го 7пет,]. (4. 2) Вектор 1., иногда называют также моментом каэнчества движения материальной точки.
Он направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы г, и глр, и образует с ними правую тройку векторов (прн наблюдении иэ конца Е; видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от г, к т,те происходит против часовой стрелки, рнс, 4.1) Ряс. 4.ь Рве, 4лк Векторное произведение радиуса-вектора г;, проведенного в точку приложения силы Рь на зту силу называют моментом М, силы Р, относительно точки О: (4.3) Ме — — (г„Ре). (4.3') М,= Рггез(п ае= Ре(о где ае — угол мещду векторами ге н Р„а 1;= грйп а; — длина перпендикуляра, опущенного иэ точки О на линию действия силы Р,. Величина 1, называется плечом силы Ро Если линия действия силы прохо дит через точку О, то 1е 0 и момент силы относительно точки О равен нулю.
3. Из (4.1'), (4.2) и (4.3) следует, что скорость изменения момента импульса 1-й материальной точки равна е й1 т~ вйем — ~ Мв+М, еп й=~ (4,4) — 74— Векторы г,, Р, и Ме образуют правую тройку (рис. 4.2). Численное значение момента силы Ре равно Сложим почленно все эти уравнения, записанные для каждой из и материальных точек системы: (4.б) Векторную сумму моментов л4;"' всех внешних снл, приложенных ко всем материальным точкам системы, называют результирующим, нли главным, моментом л4 внешних сил относительно точки О: М = ХМ"" = 2; [г Г'"") (4,6) Векторную сумму моментов импульса (., всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения) [.
системы относительно точки О: в а [ = ~~)'3., = у~ [г,. т,ч,[. (4.7) и(. ае, (4.7') Наконец, векторная сумма моментов относительно точки О всех внутренних снл Г;» взаимодействия между материальными точками системы равна нулю: л л У; ')'М,,=а. ~=!»»ч (4.8! Это связано с тем, что по третьему закону Ньютона силы г;» и Р», численно равны, имеют общую линию действия, но направлены во взаимно противоположные стороны.
Поэтому нх моменты М»„— — [г;, Г,») и М»,= [г», Г»,) относительно точки О численйо равны и противоположны по направлению (на рнс. 4.3 точки и „ ш» и О лежат в горизонтальной плоскости, а векторы М,.» и М„. перпендикулярны к этой йлоскостн). Действительно, г„= г;+ +г о где г,— вектор, проведенйый из точки л1, в точку т». Ч~й Поэтому Рас. 4.З. — 75— Так как производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых, то ве — = М.
Ж (4.9) Таким образом, скорость изменения момента импульса системы относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той зсе точки всех внешних сил, действующих на систему. Соотношение (4.9) справедливо, в частности, для твердого тела, закрепленного в точке О. В этом случае оно выражает основной закон динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной тонни. Из него следует, что момент импульса 1. является основной динамической характеристикой тела, вращающегося вокруг неподвижной точки. 4. Пусть теперь твердое тело закреплено в двух неподвижных точках О и О, так, что оно может вращаться вокруг неподвижной оси Ог, проходящей через эти точки. В этом случае составляющие момента М относительно точки О, направленные вдоль осей Ох и Оу, компенсируются соответствующими моментами сил реакции закрепления в точке О,. Поэтому вращение тела вокруг оси Ог происходит под действием составляющей М, момента внешних сил относительно точки О.
Иа (4.9) следует, что уравнение движения тела имеет вид (4. 10) где $...р М,— составляющие векторов момента импульса тела и результирующего момента внешних сил относительно точки О, направленные вдоль неподвижной оси Ог вращения тела и называемые, соответственно, моментом импульса тела относительно оси Ог и реаультирующим моментом внешних сил относительно той же осн. Уравнение (4.10) выражает основной закон динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относипмльно неподвизсной оси вращения равна резулыпирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело. Из этого-закона следует, что основной динамнлеской характеристикой тела, вращающегося вокруг неподвижной ося, является момент имп льса тела относительно этой оси.
Г . Найдем выражение для момента импульса $., тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Ог с угловой скоростью ю. Так как л Л Е = Х$; 701.,=Х~„. с ь — 76 Мы =(гАз]+(ги Рт) = (гг Рс») = Мм так как векторное произведение векторов г», и Г»,, направленных вдоль одной прямой, равно нулю. На основании соотношений (4.6), (4.7') н (4.8) уравнение (4.5) можно записать в следующей форме: Из рнс. 4А видно, что радиус-вектор г-й материальной точки г; =- Ь, +. р„ где Ьг — вектор, проведенный из точки О в точку О„лежащую на оси вращения Оз и являющуюся центром окружности, по которой движется рассматриваемая г-я точка тела. Поэтому [.г = [гь т, чг) = [Ь„тгчг) + [рь тгчг). Вектор [Ь„тгчг) перпендикулярен к вектору Ьг, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
