1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 14
Текст из файла (страница 14)
сноску на стр. 62): ~~~~~ (Р,дг,) = иА = — ИВ'„. ! Вторая сумма в правой части уравнения (3.13) представляет собой суммарную работу 6А„„, совершаемую всеми неконсервативными силами. Таким образом, уравнение (3.13) можно переписать в форме й(Р„+ д(Р„= йА„„. с()Р = йА„„, (3. 14) где В' = В'„+ В', — полная механическая энергия рассматриваемой системы.
Консервативной системой называют систему тел (материальных точек), внутренние силы взаимодействия между которыми консервативны, а все внешние силы — стационарны и консервативны. для такой системы 6А„, эж 0 и из (3.14) следует, что (Р = (Р + Я7„= сопз1, консервативной системы не т. е. полнив мехиническая энергия изменяется с течением времени. Этот закон называют законом сохранения механической энергии. Он справедлив, в частности, для замкнутой консервати.ной системы т. е.
системы, на которую внешние силы вообще не действуют, а все внутренние силы — консервативны. 3. Рассмотрим применение закона сохранения механической энергии к расчету абсолютно упругого прямого центрального удара двух тел. Абсолютно упругим называют такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии. Ряг. з.в. е,л~ т,из 2 $2 2 2 %~О~ /л~з2 2 + (3.16) По закону сохранения импульса ~?~Р~ + шгчз шФь + Й~зпа. (3.16) При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара направлены вдоль одной прямой — линии удара. Поэтому нз (3.!6) следует, что я~о~+ т,о,= т,и,+ е из, (3.17) где о„им и, и из — проекции векторов то параллельную линии удара. Совместное решение уравнений (3.17) о~ (зч — е~) + 2тни Ят = мз = ам+ 1н~ тм п~ и пз на ось координат, и (3.16) дает ов(м~ — зь) ч- 2т~э~ ~э! + ~~2 Пусть два абсолютно упругих шара с массами и, н и, до удара (рис.
3.6, а) движутся поступательно со скоростями ч, и м„направленными в одну и ту же сторону вдоль линии их центров, причем ч~ ) мм Нужно найти скорости шаров ц, и пз после соударения (рис. 3.6, 6). В процессе удара систему соударяющихся тел можно считать замкнутой. При абсолютно упругом ударе она, кроме того, консервативна.
Следовательно, для решения этан задачи можно воспользоваться законами сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после его завершения соударяющиеся тела не деформированы, т. е. потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона сохранения механической энергии имеем Следует помнить, что в формулах (3.18) скорости о, н о, могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки в зависимости от направлений векторов ч, и ч,.
Рассмотрим некоторые частные случаи: 1) Массы шаров одинаковы (ги,= влв- т). Тогда и,=о,; и,=о,; т. е. при ударе шары обмениваются скоростями, б) Масса второго шара во много раз больше массы первого шара (тв )) лвв), Тогда и, = 2ов — об ив ж ов. Если при этом второй шар до удара был неподвижен (ив= О), то и,= — вб и,= 0; тввв + твтв н= т,+т, Так как ив (н и) в ов яви ив чв ! 1 в то (твтв + твтв)в 2 2(тв+ тв) 2 или, после преобразований, ЬЖ'= — ' * (чв — чв)в(0, 2(тв+ тв) (3.19) т. е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и движется в обратную сторону со скоростью и,= — чв. 4.
Систему тел называют диссипативной, если ее механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс называют процессом днссипации (рассеяния) энергии. В качестве примера рассмотрим диссипацию энергии при абсолютно неупругом прямом центральном ударе двух поступательно движущихся тел, При абсолютно неупругом ударе потенциальная энергия соударяющихся тел ие изменяется, так как тела полностью неупруги.
Поэтому изменение Л))7 полной механической энергии системы соударяюшихся тел равно изменению их кинетической энергии 2 ь 2 2 Общая скорость тел после удара выражается формулой (2.19): где ч,— ч,— скорость первого тела по отношению ко второму перед ударом. Уменьшение механической энергии рассматриваемой системы обусловлено неконсервативностью сил взаимодействия соударяющихся тел. При ударе неупругне тела приобретают деформацию, которая сохраняется и после завершения удара.
Для осуществления такой деформации тел, называемой остаточной, необходимо совершать работу деформации А„, т. е. затрачивать энергию. Опыт показывает, что работа деформацми неупруго соударяющихся тел в точности равна убыли их полной механической энергии: А, = — Ь(г" = ' ' (ч1 — чдз. (3.20) 2 [ш~ + та) Если второе тело до удара было неподвижно (и,= О), то А= "' и,'= ' Ю„,.
(3.21) 2(е, + т~) ' зь'+ тр Неупругий удар применяют для целей двоякого рода. Во-первых, для изменения формы тел (ковка и штамповка металла, раздробление тел и т. п.). В этом случае нужно, чтобы возможно большая часть кинетической энергии первого тела затрачивалась на совершение работы деформации (уравнение 3.21), т. е.
чтобы масса неподвижного тела тэ (например, наковальни вместе с куском металла) была во много раз больше массы ударяющего тела т, (например, молота). Вторая цель состоит в перемещении тел после удара и преодолении при этом сопротивлений (забивка свай в землю, вбивание клиньев, гвоздей и т. д.). В этом случае выгодно, чтобы работа деформации была как можно меньше н чтобы общая кинетическая энергия обоих тел / зч+т,)и~ ~ после удара ~ я ) была наибольшей.
Для этого необходимо, чтобы масса ударяющего тела т, (копровой бабы, молотка) была во много раз больше массы второго .тела т, (сваи, гвоздя), 5. На основе закона сохранения механической энергии замкнутой консервативной системы можно рассмотреть вопрос о равновесии такой системы. Говорят, что система тел находится в равновесии, если она может быть выведена из этого состояния только в результате внешпего воздействия. Например, система Земля — тело находится в равновесии, если тело неподвижно лежит на дне ямы или на горизонтальной вершине горы.
Состояние равновесия называют устойчивым, если малое внешнее воздействие на систему вызывает малое изменение еа состояния. При этом в системе возникают внутренние силы, стремящиеся воз в р а т н т ь систему в прежнее состояние. Например, тело, лежащее на дне ямы, находится в состоянии устойчивого равновесия. Состояние равновесия называют неустойчивым. если даже при сколь угодно малом внешнем воздействии система выводится из этого состояния. Например, тело, лежащее у края пропасти, падает вниз, если его слегка толкнуть, и не возвращается в первоначальное состояние неустойчивого равновесия. Вопросы джз повторения !. В чем состоит различие между понятиями энергии и работы? 2, Какие существуют виды механической.энергии? Лайте их определения. 3 Для каких систем тел справедлив закон сохранения механической энергии н как он формулируется? 4.
Капой смысл вкладывают в термин «рассеяние энергии»? 5. Приведите примеры консервативной системы тел, диссипативной системы. 5. Каковы условия устойчивого равновесия заминутой консервативной системы? Примеры решении задач Задача 3.1. Паровой молот массой 12 т падает со скоростью 5 м)с иа наковальню, масса которой вместе с отковываемым куском железа 250 т. Определить производимую молотом работу расплющивания железа и энергию, потерянную на сотрясение фундамента, считая удар абсолютно неупругим. Решение В момент удара молот обладает кинетической энергией %'„ = ттт~~/2, которая расходуется частично иа работу Ад расплющивания железа, частично на сотрясейие фундамента (а )Р). По закону сохранения и превращения энергии )Р„= Ад+ Ы'.
Дано тт = 1,2 10' кг, е, = 5 м(с, тз = 2,5 1О' кг Таи как удар неупругий, то скорости молота и наковальни после удара одинаковы н равны т. Энергия оп', потерянная на сотрясение фундамента, равна кинетической энергии молота н наковальни после удара: ьйт = (т, + т„)сд 2 Ввиду массивности наковальни и кратковременности удара влиянием реакини фундамента в пропессе удара можно пренебречь, т. е. считать систему молот — наковальня замкнутой. Поэтому для нахождения скорости т можно воспользоваться ваконом сохранения импульса ($2.5).
По формуле (2 15) тпо + тзтз = (тт + тз) т. — ?О— Рассмотрим замкнутую систему Земля и шар, находящийся на скло. не горы, профиль которой изображен на рис. З.б. Легко видеть, что положение С шара соответствует неустойчивому равновесию системы, а положение  — состоянию устойчивого равновесия. Для того чтобы выкатить шар из ямы В, необходима работа А внешних сил, равная разности потенциальных энергий шараа положениях С и В:А = = )(уп — (зтпз . Чем глубже яма В, тем большую работу А против силы пС тяжести нужно произвести для поднятия шара из этой «п о т е ни я а л ь н о й я м ыж Из этого примера ясно, что в состоянии у стоо й ч и в о г о р а в н о в е с и я замкнутой системы ее потенциальная энергия имеет минимум; в состоянии неустойчивого равновесия— м а к с и м у м.
Наиболее устойчивому состоянию системы соответствует абсолютный минимум ее потенциальной энергии, т. е. наименьшее из всех возможных значение ее потенциальной энергии. До удара наковальня была неподвижна, так что тз О. Скорости тг н т направлены одинаково. Поэтому шгоз (ш! + глз) о, откуда штоз а= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
