1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 16
Текст из файла (страница 16)
его составляющая вдоль оси Оз равна нулю. Векторы р, и чг= [га, рг) (см Фор мулу (1.22)) взаимно перпендикулярны иле. жат в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела.,Поэтому вектор [рг, тгчг)численно Равен Ргтгог = тгРзм н напРавлен вдоль оси Оз вращения тела в ту же сторону, что и вектор м. Таким образом, 1., = тгрсге М гг гг 2 [., = м ")~~ тгр, . (4.! 1) Сумму произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси называют моментом инерции тела относительно этой осиг Момент инерции относительно оси Оз равен Рис. 4.4. Х, = ~ тгрг.
г г (4. 12) Следовательно ,г', = ~р'дт, (4. 12') где р — расстояние от эЛемента йп до оси Оз. — 77— 1 с '[см (4,13) Момент импульса тела относительно осн равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения вокруг этой осн. При вычислении момента инерции тела его мысленно разбивагот на бесконечно большое число бесконечно малых элементов с массамн йп. Поэтому в формуле (4.12) сумму Х гп,рг заменяют интегралом: г б.
Неподвижная ось вращения может проходить как через центр инерции тела (иапример, ось вращения маховика, турбины, ротора электродвигателя и т. д.), так и вие его (иапример, ось вращения рычага). а' Можно доказать следующую теорему о переносе осей ииерции; момент инерции 7 тела относительно произвольной оси 00, равен сумме момента инерции дс тела относшнельно оси 0'0'„проведенной через центр инерции С тела параллельно ООо и лроиэведе ия массы т тела на квадрат расстояния й между этими осями (рис 4.5): /=.(с + тйг. (4.14) В самом деле, Рис. 4.6.
л г г г л — ~~тгр, и,/с — ~тгр, где р, и р,г — расстояния от бй материальной точки массой т, до осей 001 и 0'О,'. Проведем ось координат Ох так, чтобы.оиа пересекала оси 00, и 0'О,' и была перпепдикуляриа к ним (см. рис, 4.б, иа котором оси ОО, и 0'О,' расположеиы перпендикулярно к плоскости чертежа). Тогда по теореме косинусов р; = р,'+ йг+ 2йр соз а*., Рис. 4.8.
причем р,соза~= х~ — хс где х, и хо — абсциссы г'-й точки тела и его центра инерции С. Таким образом, момент инерции тела относительно оси 00, можно представить в виде и г п Г и л х= ~,ь' + с' л, ~-гш '(Д,,— *, х,]. ! ! г ! ~=! Из определения поиятля центра инерции (см. формулы (2.10) и (2.! О')) следует, что выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю. Поэтому для момента инерции тела У, действительно, справедливо соотношение (4.14): — 78— В таблице 1 приведены формулы для вычисления моментов инерции однородных тел простейшей формы. Из выражений (4.12') и (4.14), а также из данных таблицы 1 видно, что момент инерции тела зависит не только от его массы, но и от ее распределения относительно оси вращения. Например, момент инерции прямого тонкого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню н проходящей через его конец, в 4 раза больше, чем момент инерции этого же стержня относительно его оси симметрии.
Таблица 1 тело Положенне оен аг Момент ннерянн Ось симметрии 1 тйе Ось симметрии = — т)(н г 2 ! 1 = — тп г 12 1 — тр 3 Шар радиуса Й, имеющий массу т Тат же шар 2 1 нн — тйн 5 /2 т ~-де+ дн) (5 7. Из формулы (4.13) следует, что основное уравнение (4.10) динамики для тела, вращающегося вокруг н е п одзи ж но й оси Ог, можно представить в такой форме — (7 еа) = М . г г (4.16) Если тело абсолютно твердое, то его момент инерции 1, не зависит от времени. Поэтому ,1 — =М или 3а=М, вм г г г (4.16) где а — угловое ускорение тела. Из уравнения (4.16) видно, что угловое ускорение твердого тела, врашрюи(евсея вокруг неподвижной оси Ог, прямо пропорционально ° результируюгцему моменту относительно гпюй оси всех внешних сил, действуюиди на тлело, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно пюй же аси.
Таким образом, момент инерции тела является мерой его инертности во вращательном движении вокруг неподвижной осн. Полый тонкостенный цилиндр радиуса й, имеющий массу т Сплошной цилиндр (или диск) радиуса й, имеющий массу т Прямой тонкий стер. жень, имеющий длину 1 и массу т Тат жс стержень Ось перпендикулярна к стержню и проходит через ега середину Ось перпендикулярна к стержню и проходит через ега канек Ось прахаднт через центр шара Ось проходит на расстаянии В ат центра шара ф 4.2. Кинетическая энергия аращаятщегося тела 1.
Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех л материаль. ных точек, на которые зто тело можно мысленно разбить: 1 (4.17) Если тело вращается вокруг н е п о д в и ж н о й оси Ог с угловой скоростью а, то линейная скорость (-й точки равна: где р; — расстояние от втой точки до оси вращения.
Следовательно, 0Р т"е 3 ХрР М7 = — ~то = —, к. вр. — ~Р ь 2 '~ 2 (4.18) см где 7,— момент инерции тела относительно оси вращения. 8. Зависимость углового ускорения твердого тела от его момента инерции можно продемонстрировать на опыте с помощью прибора Обербека (рис. 4.7). Крестовина, состоящая из четырех взаимно пер пенднкулярных одинаковых стержней с надетыми и закрепленными на них четырьмя одинаковыми цилиндрическими грузами В, может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной осн О. Грузы В расположены на равных расстояниях от оси О. Крестовина жестко скреплена со шкивом А, иа котором намотана нить О.
Один конец нити закреплен на шкиве, а к дру- В гому привязан груз С. Если груз С отпу- стить, то ои будет падать вниз, натягивая М нить н приводя крестовину во вращатель- 4 ное движение. В В Изменяя расстояние г от центров грузов В до оси вращения О, можно убедиться в том, что угловое ускорение крестовины тем меньше, чем больше г, т. е. чем больше ее момент инерции относительно В оси О. С Обычно шкив А имеет две цилиндриче- ские поверхности с разными радиусами Я, т и Я,. Если нить 0 сначала намотать на часть шкива с радиусом Я„ а затем — с раРвс.
4.7. диусом )с',-> ЯР та оказывается, что в пер- вом случае угловое ускорение крестовины меньше, чем во втором. Это свидетельствует о том, чю угловое ускорение прямо пропорционально моменту относительно осн О, создаваемому силой натяжения нити. Сопоставление формулы (4.18) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно со скоростью и пспс ® к. пост. 2 служит подтверждением уже высказанного выше утверждения о том, что мерой инертности тела во вращательном движении является момент инерции тела. 2. Если момент М, внешних сил относительно неподвижной оси вращения твердого тела отличен от нуля, то угловая скорость и кине. тическая энергия тела изменяются. Из формулы (3.13) следует, что изменение кинетической энергии тела за малый промежуток времени и'г; где 6 А — элементарная работа, совершаемая за время Ж одними только внешними силами, приложенными к телу, так как тело не деформируется и внутренние силы работы не совершают.
Выражение (4.18) для кинетической энергии вращающегося тела перепишем в форме ~'к = — *(м м) Тогда йА = с(К„= 1, (м, Нм) = (м, У,бса), нли, учитывая соотношение (4.16), 6А =(са, М,й) = М,ай =М,Н(р, (4.19) где М,— проекция результирующего момента внешних сил на направление вектора сз угловой скорости тела, а ду = вЖ вЂ” угол поворота тела за рассматриваемый малый промежуток времени Ф. 3. Вращение тела вокруг неподвижной точки в каждый момент времени можно рассматривать как его вращение вокруг некоторой мгновенной оси, проходящей через эту точку. Поэтому кинетическая энергия тела в этом случае Чт ,/ксос к 2 (4.
20) — З1— где у„— моментинерции тела относительно мгновенной оси, гз — соответствующая угловая скорость. В общем случае положение мгновенной оси вращения по отношению к системе координат, связанной с телом, в процессе вращения изменяется. Следовательно, момент инерции У„ зависит от времени. 4. В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений — поступательного со скоростью, равной скорости чс центра инерции тела, и вращения с угловой скоростью м вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции.
При этом выражение (4.17) для кинетической энергии тела преобразуется к виду вгог оси' (4.20') где Ус — момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции. й 4.3. Занан сохранения момента импульса 1. Для замкнутой системы тел момент М внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на замкнутую систему. Поэтому из уравнения (4.9) следует, что для такой системы — ш0 и Е = сопз1 сИ. (4,21) и мг Этот результат называют законом сохранения момента нмпульсю момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки д не изменяется с течением времени.
уг Е,,", йм Закон сохранения момента им- йе пульса, подобно законам сохранения Э импульса и энергии, является одним из фундаментальных законов приро. Аг ды. В теоретической физике доказано, что этот закон — следствие изотроп. ности пространства. Изотропность пространства означает, что прн пово- 1~2 роте в нем замкнутой системы как целого (иначе говоря, при изменении ориентации осей координат) физические свойства замкнутой системы и законы ее движения ие изменяются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
