1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 13
Текст из файла (страница 13)
является величиной о т н оснтельной. 3. Если на систему материальных точек или тел действуют к о нс е р в а т и в н ы е силы, то можно ввести понятие потенциальной — 6! Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости~ Ф' =А= —. ты к (3 6) энергии этой системы. В самом деле, работа А, ш совершаемая консервативными силами при изменении конфигурации системы, т.
е. расположения всех ее частей по отношению к системе отсчета, не зависит от того, как было осуществлено это изменение при переводе системы из начальной конфигурации (1) в конечную(2]. Работа А1 т полностью определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Иначе говоря, ее можно выразить в форме (3.8) Аь и = Уг'„— (и' где йу„— некоторая функция состояния системы, зависящая только от координат всех материальных точек системы'.
Эту функцию называют потенциальной энергией системы. Из соотношения (3.8) следует, что работа консервативных сил, действующих на механическую систему, равна убыли потенциальной' энергии этой системы. Работа консервативных сил при бесконечно малом (элементарном) изменении конфигурации системы является полным дифференциалом функции — В';.
(3.8') г(А — Ы((7„ Формулы (3.8) и (3.8') позволяют найти зависимость потенциальной энергии системы от ее конфигурации только с точностью до произвольного постоянного слагаемого С, не влияющего на величину разности %'ш — К„. Поэтому в каждой конкретной задаче для получения однозначной зависимости потенциальной энергии от конфигурации системы выбирают так называемую нулевую конфигурацию, для которой потенциальную энергию системы условно считают равной нулю. Из (3.8) следует, что потенциальная энергия системы в произвольном состоянии равна работе, совершаемой консервативными силами при переводе системы из этого состояния в состояние, соответствующее нулевой конфикурации. 4.
В качестве первого примера рассмотрим потенциальную энергию тела, обусловленную действием на него силы тяжести Р. Если высота Н подъема тела над поверхностью Земли во много раз меньше радиуса Земли, то можно считать, что сила тяжести не зависит от Н: Р = лпт = сопз(, где гп — масса тела. Работа, совершаемая силой тяжести при падении тела по вертикали с высоты Н до поверхности Земли, А = РН = тдН. Если это же тело падает по наклонной плоскости длиной ( и с уг- ' Здесь и исюду в дальнейшем мы предполагаем, что в случае незамкнутой системы внешние консервативные силы стапи оперны, т.
е. могут изменяться с течением времени тольио вследствие изменения полоыення системы относительно системы отсчета. Для этого необходима, чтобы внешние тела, действуюшие с указанными силами на незамкнутую систему, были неподвижны относительно системы отсчета. лом наклона а к вертикали (( сов а = Н), то работа силы тяжести равна прежней величине: А = Р( сов а = пуН, где Н вЂ” высота наклонной плоскости. Если, наконец, тело движется по произвольной криволинейной траектории (рис. 3.5), то мы можем представить себе эту кривую состоящей из и малых прямолинейных участков Ы!.
Работа силы тяжести на каждом из таких участков равна АА!= Р Л(!свв а!= Р ЬН!, 1 С где ЬН! — проекция участка Ы! на вер- 1 тикальную прямую. На всем криволи- д !1 нейном пути работа силы тяжести, очевидно, равна л л А — ~~~бА, =~~~~ Р . ЬН! Р ° Н = =! ~=! = тяН. з Итак, работа силы тяжести зависит Рзс. в.в. только от разности высот начальной и конечной точек пути. Сила тяжести тела приложена к его центру тяжести (см. 5 2А). Поэтому работа силы тяжести при любом движении тела равна произведению этой силы на разность высот начального и конечного положений его центра тяжести.
Отсюда следует, что работа силы тяжести вдоль замкнутой траектории центра тяжести тела равна нулю, т. е. что сила тяжести, действительно, является консервативной. Потенциальная энергия тела, поднятого на высоту Н над поверхностью Земли, как видно из формулы (3.8), равна (~'и= ~%'Н + ®'с, ~ (3.9) где Ф'„,— потенциальная энергия тела, лежащего яа поверхности Земли. Обычно принимают Ф',,= О, так что Ч7„= тйН. (3.9') б.
Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела. Сила упругости Р „р, как известно из опыта, пропорциональна величине деформации х, т. е. Ру„р = — йх, где Ф вЂ” коэффициент упругости, характеризующий упругие свойства тела (см. $ 5.2), а знак минус показывает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную направлению деформации: упруго деформированное тело стремится восстановить свои первоначальные форму и размеры. Элементарная работа, совершаемая силой г „при бесконечно малом изменении деформации тела на величину Йх, равна 3А=-(рэ„р, йх) = — йхпх.
Работа этой силы при конечном изменении деформации тела, например, при переводе его из недеформнрованного состояния (х = О) в состояние, соответствующее деформации х, равна А = — ~ ЙхНх = — — ° 2 о Работа А не зависит от хода процесса деформации тела и полностью определяется значениями деформации тела в начальном и конечном состояниях. Следовательно, силы упругости являются консервативными, а потенциальная энергия упруго деформированного тела где У„, — потенциальная энергия недеформированного тела. Полагая ее равной нулю, получим В'„= — . эх~ (3.10) 2 6. Если рассматриваемая система замкнута, то ее потенциальная энергия обусловлена только внутренними консервативными силами взаимодействия частей системы. На незамкнутую систему могут действовать также внешние консервативные силы.
В соответствии с формулой (3.8') изменение потенциальной энергии системы ЛЧЕЬ, = — дА = — дА'г з — дА'"', где АА'"~'г и пА'"' — работы, совершаемые при малом изменении конфигурации сивтемы, соответственно, всеми внутренними и всеми внешними консервативными силами.
Поэтому потенциальную энергию М7„системы можно представить в виде суммы ее внутренней и внешней потенциальных энергий: 1(у йгвнутр + йгвнеш причем Л7~о г = — г(А ""~ и ~(Я7'"' = — (А" (3 1Г) Примером внешней потенциальной энергии может служить рассмотренная выше потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли, так как она обусловлена действием на тело постоянной внешней консервативной силы — силы тяжести.
Примером внутренней потенциальной энергии является потенциальная энергия упруго деформированного тела. T. Полной механической энергией системы назыпают величину )р, равную сумме кинетической и потенциальной энергий втой системы: (" к+ (3. 12) Из предыдущего видно, что полная механическая энергия системы — функция ее состояния, так как зависит только от координат, скоростей и масс всех малых частей (материальных точек) системы (см. сноску на стр. 62). й 3.3. Закон сохранения к превращения апергкн а механике !. Путь к правильному пониманию переходов движения из одной формы в другую был намечен М. В.
Ломонссовым (1748 г.). Он сформулировал закон сохранения обшей массы вещества при химических превращениях и закон сохранения материи и движения. Через сто лет после Ломоносова Р. Майер и Г. Гельмгольц дали количественную формулировку закона сохранения и превращения энергии. Зтот закон состоит в следующем: в замкнутой системс энергия может переходить из одних видав в другие и передаваться ст одного тела другому„но гг общее количество остается неизменным. Закон сохранения и превращения энергии является одним из фундаментальных законов природы, справедливых как для систем макроскопических тел, так и для систем элементарных частиц.
В теоретической физике доказывается, что этот закон вытекает из однородности времени, т. е. независимости законов физических явлений от выбора начала отсчета времени. Закон сохранения и превращения энергии имеет глубокий философский смысл. Он блестяще подтверждает одно из основных положений диалектического материализма о том, что движение является неотъемлемым свойством материи, что оно не сотворимо и не уничтожима, а лишь преобразуется из одних форм в другие.
2, Найдем условие, которому должна удовлетворять система тел для того, чтобы ее полная механическая энергия не изменялась с течением времени. Если ч — скорость 1-й материальной точки с массой т„ то ее кинетическая энергия м! 01 ьп В'„= — = — (чо ч,). 2 2 Изменение этой энергии за малый промежуток времени й(, связанное с изменением скорости ч, на Йч,= а, й! (а,— ускорение рассматриваемой материальной точки), равно ййх„, = — '((йчи ч,) + (ч„йч,)) = и, (а,д(, ч,) = (т,аи ч,й() = (т,а„йг,), 3 — 8!8 где с(г,= ч;Л вЂ” приращение радиуса-вектора г, материальной точки. По второму закону Ньютона та,=Р,+1ь где Р, и 1, — результирующие, соответственно, консервативных и не- консервативных сил, действующих на 1-ю материальную точку.
Поэтому (У (Р3 дскб) + (13 АГД Кинетическая энергия (Р„всей системы равна сумме кинетических энергий всех н материальных точек, образующих эту систему, а ее изменение за малый промежуток времени Ж а Ы(Р, ~~)' ЛВ'„, ! т. е. Ы)Р„=- ~~~ (Р,, йг,) + ~~'($ь Нг,). (3.13) ~=1 Первая сумма в правой части этого уравнения представляет собой суммарную работу НА, совершаемую всеми консервативными силами за промежуток времени й. Эта работа равна убыли за то же время иг потенииальной энергии системы В'„= (Р,'""г + йу;" (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
