1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 26
Текст из файла (страница 26)
7Л вядяо, что г те + г' =те р х' 1' + р' )' + х' а', (7.1! где ге — радиус-вектор, проведенный нв качала О неподвижной системы в начало 0' подвижной системы координат. 3. Скорость точки М относительно е е и о д в к ж я о й системы координат равна йг йх йу йг ч = — = — 1+ — ) + — а (7.2) от от йт йт н называется абсолютной скоростью точки 132— Ряс. 7.1. 1. До сих пор для описания движения материальной точки или тела, т. е.
системы материальных точек, мы всегда пользовались инерциальными системами отсчета. В то же время во многих случаях необходимо изучать движение материальной точки или тела по отношению к неииерциальиой системе отсчета. Так, например, движение тел на Земле естественно рассматривать в скрепленной с ней земной системе отсчета, которая, строго говоря, не является ииерциальной. В 2 2.1 мы говорили, что в первом приближении можно обычно пренебречь неинерциальностью этой системы отсчета. Однако возможность такого допущения требует специального обосновании, так как иначе неясна величина допускаемых при этом погрешностей. Целый ряд явлений — «самопроизвольный» поворот плоскости качаний маятника (опыт Фуко), отклонение свободно паджощих тел к востоку, подмывание одного из берегов реками, текущими в меридиональном направлении, и т.
д. — вообще ие могут быть объяснены в случае пренебрежения неинерциальиостью земной системы отсчета. М. Из (7.1) следует, что бь ь с(г, и — + — ' у( б) (7.2') нли г-ге+[, 1+ ) + "'1+~ х' — +у'~-+г' — 1, (78) ~ б( б( б( ]' ~,у,у,у ~ где бгь ть = бс (7.4) абсолютная скорость точки О', т. е. скорость подвижной системы координат в ее поступательном движении. Вектор ох', Лу' ч,= — 1'+ — 1'+ — К' (7.6) ог б( гУ вЂ” [и, 1'), — = [и, 1'] н — «[и, 1с'], бс ой б( (7.8) а НГ, о)', би' к~ — +у +2 — [м,х))+[мьр)]+[Ф,ей] бг оу б( ( '1'-1 у')'+ е'й')] (7.7) Иа основании соотношений (7.4), (7,5) и (7,7) уравнение (7.3) можно теперь переписать в таком виде: у с ть + [мь гс[ + чг. (7.8) Сумма первых двух членов правой части этого равенства представляет собой абсолютную скорость той точки подвижной системы (т.
е. жестко связанной с втой системой), через которую в данный момент времени проходит рассматриваемая нами материальная точка М. Эту скорость назмвают переносной своростью точки М н обозначают через те1 ге то+ [и, г']. (7.9) Таким образом, абсо*юткоя скорость точки М розка сумме ее лереко й и отяосиомльноб скорослмй т те+ чг.
(7.10) 4, Абсолютным ускорением точкк М называют ее ускорение по отношению к неподвижной инерцнальной системе отсчета> по аналогии с (7.2) определяет скорость точки М относительно подвижной системы координат, Его называют относительной скоростью точки М. Изменение ортов У,)' н и' подвижной системы координат может быть выэввно лишь тем, что эта система движется не только поступательно, но одиовременй 1)с Л)с ио вращается вокруг точки О', Следовательно, векторы —, — в — являоу ' ог су ются линейными скоростями концов соответствующих ортов в этом вращательном движении.
Если угловая скорость подвижной системы равна ю, то на ос. новании формулы (1.22) Из уравнений (7.10) и (7.9) следует, что а = — +~ —, г'~+~и, — ~+ —, или, па основании (7.5) и (7 б), иг' ] а =а,+ [в,г']+~и, — )!+ [и, «,]+ать у) (7.11) где А«ь а =— в— б! (7.12) — угловое ускорение подвижной системы, авх',, иву', Лвг' аг = — !'+ — ]'+ — й' ь(гв оув ь((в (7.!4) — относительное ускорение точки М (ее ускорение па отношению к подвижной системе). Из сопоставления формул (7.2'), (7.4) и (7.8) видно, что ь(г' — = [э, г'] + «,.
ог !1оэтому уравнение (7 11) можно записать в такой форне; а = ав + [в, г'] + [и, [ м,г'П + 2[и, «,] + а„ (7.15) нлн (7.18) а=ае+ав+аг, где ае = аа + [в, г'] + [ы, [м,г'Ц (7.17) — переносное ускорение точки М, равное абсолютному ускорению той точки подвижной системы, через которую в данный момент времени проходит рассмат- риваемак материальная точка М; ан =2[эь «г] (7.18) кориолисово, или поворотное, усаоренне точки М, обусловленное вращением подвижной системы. Таким образом, равенство (7.16) свидетельствует о том, что абсолютное ускорение точки розка сумме ее лереносного, кориолисоеа и относительного уско- рениК Квк видно из (7.18), кориолнсово ускорение максимально, если относительиан скорость тачки «,, перпендикулярна к вектору ю угловой скорости подвижной системы.
Если угол между векторами «г и т равен 0 нли в, то корнолисово ускорение равно нулю — 134— — ускорение подвижной системы в ее п о с т у п а т е л ь н о м движении, йм в=— (7.!3) и! 6. Если подвижная система так же, как и неподвижная, является инерниальиой, то е в ае О, ч ч„а а„=- О, и уравнения (7.10) н (7 16) переходят в известные соотношения: очг ч=че+чг н а=в =— о( вытекающие иа нреобрааования Галилея (см.
6 2.6), В том случае, когда подвижная система движетсн тольно и о от у п а тел ь н о (ю в 0), уравнения (7.!0) и (7.16) имеют следуюшнз вия: ч = те+ ч, н а=ае+ аг =ар+— ог $ 7.2. Силы инерции 1. В неинерцнальных системах отсчета не выполняются законы Ньютона.
Оказывается, что ускорение а, материальной точки по отношению к неинерциальной системе отсчета не удовлетворяет второму закону Ньютона, т. е. не равно отношению равнодействующей г' всех снл, приложенных к материальной точке со стороны взаимодействующих с ней тел, к массе т этой точки: р а,~— т В частности, при Р = 0 ускорение а„вообще говоря, отлично от нуля. Иными словами, материальная точка или твердое тело могут изменять состояние своего движения по отношению к неинерциальной системе отсчета без всякого воздействия на ннх со стороны других тел. В справедливости сказанного каждый не раз убеждался, пользуясь любым из видов транспорта. 1ак, например, люди, неподвижно стоящие в равномерно н прямолинейно движущемся трамвае, отклоняются назад при ускорении движения трамвая нли вперед — при его замедлении.
Прн переходе трамвая с прямолинейного пути на закругление пассажиры отклоняются в сторону, противоположную центру кривизны траектории. Если бы пол трамвая был идеально гладким, то при всяком изменении скорости трамвая его пассажиры должны были бы скользить по полу, несмотря на то, что иа них не действуют никакие горизонтальные силы. Это явление проще всего обнаружить, наблюдая за движением гладкого стального шарика по поверхности Горизонтальной стеклянной пластины, прикрепленной к полу вагона трамвая. 2.
Для нахождения относительного ускорения а, материальной точки в неинерциальной системе отсчета и зависимости а, от действующих на точку снл воспользуемся соотношением (7.16): а =а — а — а; г е к откуда гла, = тпа — гла, — так, где тп — масса материальной точки. Поскольку а — ускорение точки поотношению к и н е р ц и а л ь н о й системе отсчета, то в соответствии со вторым законом Ньютона та Р, (7.19) где Р— равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке со стороны других тел, Следовательно, та, = Р— та,— та„. Величины 1, = — та, и 1„= — та„имеют размерность силы.
Их на. зывают, соответствейно„переносной и кориолнсовой (поворотной) силами инерции. Таким образом, та,=Р+1,+1„. (7.20) Уравнения относительного (7.20) и абсолютного (7.19) движений материальной точки, т. е. ее движений по отношению к произвольной (неинерциальной) и инерциальной системам отсчета, сходны по форме.
Различие между ними состоит лишь в том, что в относительном движении необходимо, помимо «обычных» сил (сил взаимодействия между телами), учитывать две дополнительные силы инерции. Силы инерции реально действуют иа материальную точку в неинерциальной системе отсчета и могут быть измерены, например, с помощью пружинного динамометра. Однако в отличие от «обычных» сил для сил инерции нелы зя указать, действие каких именно тел на рассматриваемую материальную точку они выражают.
Следовательно, к этим силам неприменим третий закон Ньютона. Эта особенность сил инерции не является неожиданной, так как величины 1, и 1, в уравнении (7.20) обусловлены только неинерцизльностью системы отсчета и никак не связаны с дей ствием на материальную точку со стороны других тел, учитываемым вектором Р. Иными славами, силы инерции по существу нельзя называть силами (см. определение силы, данное в з 2.2).
Введение этих «сил» оправдывается лишь тем, что с их помощью уравнение относительного движения точки приводится к виду, соответствующему второму закону Ньютона. Важно подчеркнуть, что благодаря' отмеченной особенности сил инерции в неинерциальных системах отсчета не существует замкнутых систем тел — для любого из тел системы силы инерции являются внешними. Поэтому в неинерииальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, момента импульса и энергии.
3. Рассмотрим некоторые простейшие примеры неииерциальных систем. а) Система движется поступательно с уск о р е н и е м а,. В этом случае переносное ускорение а,= а„а кориолисово ускорение а„= О. Поэтому на материальную точку действует только переносная сила инерции 1,= — та,. Если отвлечься от сравнительно слабого влияния суточного вращения Земли, то примером такой системы отсчета может слу- жить лифт, ускоренно поднимающийся или опускающийся по вертикали.
Пусть к потолку кабины лифта прикреплен пружинный динамо- метр, к которому подвешено тело массой т. Требуется определить силу, действующую на динамометр, а также ускорение, с которым будет двигаться тело, если его освободить. Рассмотрим решения этой задачи, основанные на использовании как скрепленной с лифтом подвижной неинерциальной системы отсчета, так и неподвижной земной системы отсчета, которую с достаточной степенью точности можно считать инерциальиой, если вместо силы тяготения тела к Земле рассматривать его силу тяжести (см. ниже случай б). При первом способе рассмотрения мы будем, как это принято для краткости, говорить о подвижном наблюдателе, а при втором — о неподвижном наблюдателе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
