1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Кориолисоаа сила инерции во много раз меньше силы тяготения тела к Земле. Поэтому в первом приближении при определении 1„можно считать, что скорость т„направлена вдоль радиуса Земли н численно равна лй где и — ускорение свободного падения и 1 — продолжительность падения. Из рис. 7.3 видно, что сила !» направлена перпендикулярно т„ с запада на восток. Численно она равна Глава УВ1 КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ $8А.
Гармоническое колебательное движение !. Колебательным движением, илн просто колебаниями, называют всякое движение или изменение состояния, характеризуемое той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение или состояние. С колебаниями мы встречаемся при изучении самых различных физических явлений: звука, света, переменных токов, радиоволн, качаний маятников и т. д. Оказывается, что существует общность закономерностей этих явлений и математических методов их исследования. Поэтому основные законы учения о механических колебаниях, которые мы рассмотрим в этой главе, должны послужить прочным фундаментом для изучения различных видов колебаний в последующих разделах физики.
Примерами колебательного движения в механике могут служить колебания маятников, струн, мембран телефонов, балансиров карманных часов, поршней двигателей внутреннего сгорания, мостов и других сооружений, подвергающихся переменной нагрузке, и т. д. Колебательное движение называют периодическим, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через р а вные промежутки времени Простейшим типом периодических колебаний являются так назыв1емые гармонические колебания. Колебания каков-либо физической величины х называются гармоническими, если ее зависимость от времени 1 имеет вид х = А жп (сст+1ра) (8.1) или х = А соз (сс т+~Р,), (8.1') причем А, е, е, и <р,с течением времени не изменяются.
Физический смысл этих величин будет поясиеп дальше. 2. Рассмотрим колебания, происходящие под действием упругой силы, например колебания пружинного маятника. Пружинный ма- ятник состоит из массивного д шара, насаженного на горизонтальный стержень, вдоль которого он может скользить (рис. 8.1). На стержень наде- 0 л та стальная пружина, закре- 4 пленная на его конце и на шаре. Массой пружины по в, б сравнению с массой шара можно пренебречь. В состоянии покоя шар находится в положении О (рис. 8.1, а). Ряс. 8л.
Если его передвинуть в поло- — 146— жение В (рис. 8.1, б), сжав пружину, а затем отпустить,то он начнет ускоренно двигаться влево под действием упругой силы пружины г = = — йх (см. уравнение 3.10), где х — вектор смещения шара из положения равновесия О. По мере приближения шара к положению равновесия численное значение упругой силы пружины, а значит и ускорение, с которым движется шар, уменьшаются и в точке О становятся равными нулю. За счет приобретенной кинетической энергии шар будет продолжать свое движение влево, растягивая пружину, Когда вся кинетическая энергия шара превратится в потенциальную энергию пружины (рис.
8.1, з), шар на мгновение остановится, после чего упругая сила 7 1 1 1 3 Рис. вдь Р„растянутой пружины заставитего возвращаться в положение равновесия О и т. д. В реальном случае часть энергии пружинного маятника будет затрачиваться на работу против сил трения, возникающих при скольжении шара вдоль стержня, Когда вся энергия маятника израсходуется на эту работу, колебания прекратятся. Колебания, которые возникают в системе, не подверженной действию п е р е м ен н ы х внешних сил, в результате какого-либо начального отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия, называют свободными.
Если система консервативная, то прн ко. лебаннях не происходит рассеяния энергии В этом случае свободные колебания называют незатухающими. 3. Покажем, что свободные незатухающие колебания, происходящие под действием упругих сил, являются гармоническими. На рис. 8.2 изображен шар рассмотренного выше пружинного маятника в тот момент времени, когда его смещение равно х.
Полная энергия Ф' маятника в этом положении равна сумме кинетической ео' энергии шара У„= —, потенциальной энергии упруго деформи- Фхэ рованной пружины В'„= — и потенциальной энергпи шара в поле тяготения Ч7„„. В положении В, соответствующем максимальному смещению А шара из положения равновесия О, его кинетическая энергия равна нулю ((У',, = О), и полная энергия пружинного маятника — 147— складывается из энергии упруго деформированной пружины (р'„= АА = — и потенциальной энергии тяготения (г',яг Согласно закону 2 сохранения энергии жяя аяя яАЯ вЂ” + — +йу = — +(р" 2 2 гяг' (8,2) Маятник колеблется вдоль горизонтальной прямой, поэтому В'„г = =11г',„„, и из уравнения (8.2) следует, что а о' = — (А' — х'), отсюда — — 'г' А' — я Иг гг а к У или (8.3) Смещение х как функцию времени 1 можно определить путем интегрирования уравнения (8.3). Масса яи шара и коэффициент й упругости пружины являются величинами, постоянными для данного пружинного маятника.
Поэтому можно написать откуда агс з(п — = 'йг — 1+ ф л У (8А) х = Аз)п(~/ — 1+ — ') =Асов(~/ — 1 — — ), (8.4"') и т. д. 148 где~ря — постоянная интегрирования. Численное значениегр, зависит от выбора момента начала отсчета временп: а) если принять Г = О при х = О, то, как следует из уравнения (8.4), гяя = агсз1п О = О, и уравнение (8.4) можно записать в виде х =- А 81п ( ~~ 1); (8А') б) если принять г' = Оприх = А,то ~р,= агсып 1 = —, и уравнение (8.4) принимает вид х= Аз(п(~гг — 1+ — ") =Асов()/ — Г); (84") в) если принять Г = О при х = А †, то гр, = †' и )гз 2 Э О 3 В общем случае уравнение (8.4) можно записать в форме х= Ав(п(~~1+ р,), (8.5) или х = Асов(~~(+ <рг1, (8.5') где <р, = <р — †" , так как при этом условии О я сов(~/ — г+ ~р,) жп( ~/Т вЂ” 1+ ~р,), о„= ~ — — ~/ — Асов()I — 1+ <р,) — 149— н выражения (8.5) и (8.5') тождественны.
Формулы (8.5) и (8.5') полностью совпадают с формулами (8.1) и (8.1'), если ввести замену э/ э (8.6) Таким образом, мы доказали, что свободные незатухающие колебания пружинного маятника действительно являются гармоническими. 4. Величину А„равную максимальному смещению маятника (шара) из положения равновесия, называют амплитудой колебаний. Вы/» ражение Ф = ~~ — (+ <р, = м Г + ср, стоящее под знаком синуса (или, соответственно, выражение м Г + ~рм стоящее под знаком косинуса), определяет смещение х в данный момент времени г'. Его называют фазой колебания.
В момент начала отсчета времени (Г = О) фаза колебания равна ~р (или ф,). Поэтому величину ~р (~,) называют начальной фазой колебания. Фазу измеряют в радиайзх. Величину м, входящую в выражение для фазы колебания, называют циклической (или круговой) частотой колебаний. Физический смысл циклической частоты связан с понятиями периода колебаний Т и частоты колебаний т. Периодом незатухающих колебаний называют тот наименьший промежуток времени Т, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебания. За время Т совершается одно полное колебание. Обратимся вновь к колебаниям пружинного маятника.
Колебания шара характеризуются не только его смещением, но также скоростью ч и ускорением а. Шар движется прямолинейно вдоль оси ОХ (см. рис. 8.2). Поэтому значения о и а проекций векторовскорости и ускорения шара на положительное направление оси ОХ можно получить, дифференцируя по времени выражение (8.5): /' а Так как по формуле (8.6) о/ — =а, то окончательно: е, = А а соз (а! + <р ), а„= — А~о з!п( >~+ ~р ) = — аох, а при дифференцировании выражения (8.5') получаем аналогично: о„= — Аа з!и (а т + <р,), а„= — Аео соз (а/+~р~) = — а'х. (8.8) Из определения периода колебаний Т и уравнений (8.5), (8.6) и (8.7) следует, что за время Т фаза колебаний изменяется на 2л рад.
В самом деле, это наименьшее изменение фазы, при котором одновре. менно повторяются значения х, о и а„. Следовательно, !а(Г+ 7) + 1ро) (а! +$а) 2п или Т = вл = 2л о/ ч/ и (8.9) 1 Т (8.10) Для пружинного маятника ч = — )//— (8.10') Из сравнения формул (8.9) и (8.10) следует, что а = 2лч. (8.11) Таким образом, циклическая частота а численно равна числу полных колебаний,совершаемых за2п с. В этоми состоит ее физический смысл.
5. Эапишем полученные выше выражения для смещения, скорости и ускорения пружинного маятника [уравнения (8.5) и (8,7)) в следующей форме: х = А з!и (а Г + <р ), о„= о соз (а( + ~р ), ал = — а, з!п(аГ+~ро) = а'х, (8.5 ) (8.7') (8.7") Период колебаний пружинного маятника зависит только от его массы т и коэффициента упругости й пружины, но не зависит от амплитуды колебаний. Частотой колебаний называют число полных колебаний, совершаемых за единицу времени: где о, = Ам — амплитуда скорости и а, = Асв' — амплитуда ускорения. Шар пружинного маятника движется поступательно и по существу подобен материальной точке, колеблющейся по закону (8.5"). Из формул (8,5"), (8.7') и (8.7") можно сделать следующие выводы: з) смещение, скорость,и ускорение гармонически колеблющейся точки являются периодическими функциями от времени с одинаковыми периодами Т; б) скорость колеблющейся точки максимальна и по абсолютной величине равна амплитуде скорости в моменты прохождения колеблющейся точки через положение равновесия (х = О).
При максималь- х;11,а„ аа гр А -А -г О -ве Рнс. в.з. ных смещениях (х = ~ А) скорость равна нулю. Скорость всегда направлена в сторону движения; в) ускорение равно нулю при прохождении колеблющейся точки через положение равновесия и достигает максимальных по абсолютной величине значений, равных амплитуде ускорения„при наибольших смещениях. Ускорение всегда направлено к положению равновесия: удаляясь от положения равновесия, колеблющаяся точка движется замедленно, приближаясь к нему — ускоренно.
Из уравнения (8.7") видно, что ускорение прямо пропорционально смеи1ению, а его направление прогпивоположно направлению смеи1ения. Этот результат может служить определением гармонических колебаний. Зависимость х, о„и а от времени с по формулам (8. 5"), (8.7') и (8.7") представлена графическй на рис. 8.3, причем для простоты принято, что <рв = О. 6. Начальная фаза р,, как было показано в п.
3, определяется из начальных условий конкретной задачи. То же следует сказать и об амплитуде колебаний А. Так, например, в рассмотренном примере с пружинным маятником (см. рис. 8А) амплитуда колебаний зависит от того, насколько была сжата пружина перед началом колебаний.
Найдем разность ЬФ между фазами смещения х и скорости о . — 151— Для этого воспользуемся выражениями (8.5") и (8.7') и приведем их к сопоставимому виду: х = Аз)п(ег+ р) = Аз1пФ„, (8.12) о = и,соз(М + ~р) = о з(п(е4+ <р + — ~ = о з1пФ„~ где Ф„и Ф, — фазы смешения и скорости. Из (8.12) видно, что ЬФ = Ф вЂ” Ф„= — — ", (8, 13) т. е. скорость опережает смещение по фазе на и/2. Аналогично можно показать, что ускорение в свою очередь оперел жает скорость по фазе на —: 2 Ф вЂ” Ф й Р (8,14) $ $.2. Динамика гармонических конебаннй 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
