1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 31
Текст из файла (страница 31)
2 2 $ 8.3. Споженне гармонических колебаний, направпенных вдопь одной прямой 1. Прежде чем рассматривать сложение колебательных движений, остановимся на способе представления колебаний посред- ством вращающегося вектора амплитуды. Пусть гармоническое коле- бательное движение можно описать уравнением: х = А соз (<в ! + ф<).
Проведем прямую линию ОХ, которую условно назовем «опор- ной», и построим вектор А„численно равный амплитуде А и направ- ленный из точки О подуглом ф<к опорной линии (рис. 8.7). Если начальная л ! фаза положительна, то угол ф, откла! дывается от опорной линии в сторону, ! ! противоположную вращению часовой ! стрелки; если начальная фаза отрица- , АО < тельна, то угол < откладывается по а!1 часовой стрелке.
1<роекция вектора А, на опорную линию равна смещению х» х в момент начала отсчета времени (1 =О): О <л к ! ! ! х« = А созф<. Ряс. 8.7. Будем вращать вектор амплитуды вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа, с угловой скоростью <з (против часовой стрелки, если ы)0). За промежуток времени ~ вектор амплитуды повернется на угол <»Г и займет положение, изображенное на рис.
8.7 вектором А. Его проекция х на опорную линию равна х = А соз (<»( +ф<). — 157— За время Т, равное периоду колебаний, вектор амплитуды повернется на угол 2п, а проекция В его конца совершит одно полное колебание около положения равновесия О.
Следовательно, вращающийся вектор амплитуды полностью характеризует гармоническое колебание. Представлениемгармоническихколебаний в виде вращающихся векторов широко пользуются при сложении колебаний. 2. Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одно й п р я мой. Сложение этих колебаний удобно производить, пользуясь методом векторных диаграмм. Пусть колебания заданы уравнениями: х< А,сов(<з(+ ф<), х, А, соз (<з 1 + <р»). ) (8.23) Так как колебания совершаются вдоль одной прямой, то и результирующие колебания будут нронсходить вдаль этой же прямой.
Отложим из точки О опорной линии под углом ф, вектор амплитуды А, и под углом !ре вектор ам!ьчитуды А, (рис. 8.8). Оба вектора вращаются против часовой стрелки с о д и н а к о в о й у г л о в о й с к о р о с т ь ю от. поэтому угол ря —,р, между ними все время остается неизменным. Из математики известно, что проекция на любую ось равнодействующего вектора равна алгебраической сумме проекций на эту же ось всех составляющих векторов. Поэтому результирующие колебания могут быть изображены вектором амплитуды А, равным сумме векторов А, и А,: А=А,+А, и вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью от, что и векторы А, и А,.
Результирующие колебания должны быть гармоническими с циклической частотой ем А' = А', + Ат Р+ 2А,А, соз (!р, — (р,), а начальная фаза !р определяется из соотношения (8,24) лс !п<р = —, ОС А1 а!п тт + Ат а!п тт Я'р = 41 соя зь + Ат сое т» 3. Из выражения (8 24) следует, что амплитуда А результирующих колебаний зависит от разности начальных фаз !р, — фт складываемых колебаний. Так как разность р, — ч!т с течением времени не изменяется (такие синхронные колебания называют когерентными), то по формуле (8.24) можно получить"определенное значение амплитуды А.
Косинус любого угла не может быть больше +1 и меньше — 1. Следовательно, возможные значения А заключены в пределах'. А, + А, > А > )Ая — А т). (8.25) Рассмотрим несколько частных случаев. ' Иа определения понятия амплитуды колебаний следует, что амплитуда А не может быть отрипательиой х = А соя (отг + !р), где А — амплитуда результируюРнс. В.В.
щнх колебаний, а р — их началь- ная фаза. Из рис. 8.8 видно, что квадрат амплитуды результирующих колебаний равен 1) Разность фаз складываемых колебаний равна нулю или целому числу 2гн ~рз — Ч~~— - 2пп, где п=О, 1, 2, 3, Тогда сов (<р, — Ч~~) = 1 и А = А, + А,. Рис. 8.9. На рис. 8.9 приведены графики зависимости смещения от времени для складываемых и результирующего колебаний. 2) Разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу Чъз — гР~ = п(2п + 1), п О, 1, 2, 3, Тогда соз (~р, — <р,) = — 1„ А = !А, — А,( = ( А) — А,(. 0 А ! Рис. 8.10 Соответствующие графики зависимости смещения от времени для складываемых и результирующего колебаний приведены на рнс 8.10 пунктирными и сплошной линиямн. 4. Иначе обстоит дело, когда разность фаз складываемых некогерентных колебаний вида х, А, соз Ы + ~%(Г)) и х, = А, соз (аг + (рЩ! 159 произвольным образом изменяется во времени. В этом случае, как видно из уравнения (8.24), амплитуда А результирующих колебаний не остается постоянной, а изменяется в соответствии с изменением соз (~р, — ~р,).
Поэтому при наложении некогереитных колебаний не имеет смысла говорить о сложении амплитуд. В оптике будет показано, что при наложении одинаково направленных когерентных колебаний имеет место сложение амплитуд колебаний, а при наложении аналогичных, но некогерентных колебаний имеет место сложение их энергий. 5.
Если амплитуды двух гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой, одинаковы, а их частоты мало отличаются друг от друга, то в результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Происхождение этого явления легко представить себе из следующих рассуждений. Пусть вначале фазы обоих колебаний совпадают и амплитуда результирующего колебания равна сумме их амплитуд. Затем второе колебание начинает отставать по фазе от первого и амплитуда результирующего колебания убывает. Когда разность фаз слагаемых колебаний достигнет величины и, результирующая амплитуда станет равной разности амплитуд составляющих колебаний, т.
е. в рассматриваемом случае будет равна нулю. При дальнейшем увеличении разности фаз амплитуда результирующего колебания снова возрастает и при разности фаз, равной 2п, становится равной сумме амплитуд и т. д, (рис. 8А 1). Периодические изменения амплитуды от минимального значений до максимального называют биениями. Можно показать, что амплитуда результирующего колебания меняется с циклической частотой в = (а, — а,(, которой соответствует частота ~=) э, — ~,(.
Таким образом, частота биений равна разности частот складываемых колебаний. Явление биений часто наблюдается при звуковых и электрических колебаниях. Демонстрировать биения можно, заставив одновремен- но звучать два камертона, обладающих несколько различными частотами свободных колебаний.
б. Колебания вида х = А(г) соз [<э! + <р(!)) называют модулкрованными. Различают амплитудно-модулированные колебания, у ко- !<<Я! торых ~ — <(( <эА„, и <р сопз1, где А„,„, — наибольшее значение амплитуды, и колебания, модулированные по фазе или частоте, у которых А = сопз! и ц (( <о. Биения представляют собой простей- !«т! ший пример модулированных колебаний, у которых А(!) и <р(<) — периодические функции времени Важной задачей теории колебаний является гармонический анализ, т. е. представление сложных модулированных колебаний в виде ряда простых гармонических колебаний.
В общем виде эта задача была разрешена французским математиком Ж. Фурье, который показал, что любые сложные периодические колебания можно представить в виде ряда простых гармонических колебаний с кратными периодами: х = )(!) = А, + А, з(п (<э!+ <р<) + + А,з1п (2<э! + <р<) + А,з!и (3<эт + <р,) + ... + А„з!п (л<э!+ + <р„) + ..., где х = !(<) — функция, описывающая сложное колебание, <э — ее основная циклическая частота. Число членов в ряде Фурье, вообще говоря, бесконечно велико. Однако возможны такие колебания, для которых ряды Фурье не со.
держат некоторых членов. $8.4. Слежение взаимно лерленлнкулярных колебаний 1. Пусть материальная точка С одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, совершающихся с одинаковыми пе. риодами Т в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С этими направлениями можно связать прямоугольную систему координат ХО1, расположив У начало координат в положении равновесия точки (рис. 8.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
