1598082719-8919f39816a16b7b9e8153327d533cc4 (805677), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Обозначим смещение А< — —— точки С вдоль осей ОХ и 01', соответст- << — с < венно, через х и у. Для того чтобы найти х положение колеблющейся точки в какой- -Я« <! к Я< нибудь момент времени й надо для этого момента времени найти ее смещения х и у и построить на них прямоугольник (рис. 8.12). Конец диагонали прямоугольника определит положение колеблющейся точки в момент времени й а отрезок ОС вЂ” результирующее смещение з.
2. Рассмотрим несколько частных случаев. а) Начальные фазы колебаний одинаковы. Выберем момент начала отсчета времени таким образом, чтобы началь- 6-818 иые фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда смещения вдоль осей ОХ и 01 можно выразить уравнениями х * Ат з!п а(, у= А,з!па!. Поделив почлеино эти равенства, получим уравнение траектории точ- ки С: к А1 А, — — нли у= — х, а Ас А1 Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний точка С колеблется вдоль отрезка С,Сз прямой, проходящей через начало координат (рис. 8.12). Такие колебания называют линейно поляризованными. б) Начальная разность ф а з р а в н а и.
Уравнения колебаний в этом случае имеют вид: х = А, 61п (а! + и) = — А, з!и ай у = А з!и ай Рис. а.!3. Уравнение траектории точки С А~ у = — — х. А, Следовательно, точка С колеблется вдоль отрезка С,", прямой, про- ходящей через начало координат, но лежащей в других квадрантах, чем в первом случае (рис. 8.13). Амплитуда А результирующих ко- лебаний в обоих рассмотренных случаях равна: А = У' А-'+ А'. к' ав — + — =!. А~~ А с~ — 162— в) Начальнаи равность фаз равна — .
Уравнения 2 колебаний имеют вид: х = А, з(п (а! + — ! = А, сова(, 2 / у=- А,ыпай Разделим первое уравнение на А„второе — на А,: — = созе!; — = з!пай к у А~ Ас Возведем оба равенства в квадрат и сложим их. Получим следующее уравнение траектории результирующего движения колеблющейся точки Колеблющаяся точка С движется по эллипсу с полуосями А„и Аз (рис. 8.14). Мы получили случай так называемых зллиптически поляризованных колебаний. Выясним, в каком направлении будет совершаться движение точки по эллипсу. Для этого, пользуясь уравнениями х = А, соз мГ и у = А, з)п ей найдем положения точки С в два последующих момента времени и отметим их на рис. 8.14: при У, = О; х, = А,; у, = Π— точка С„при У, = Т(4; х, = О; у, = А,. Следовательно, точка Сдвижется по эллипсу и р от и в ч а со вой с т р е л к и.
Предлагаем читателю доказать, что при разности фаз, равной Зп/2 получится такое же' эллиптически поляризованное колебание, но точка Сбудет двигаться по часовой стрелке. Если, кроме того„ равны амплитуды обоих ко. лебаний (А, = А,), то точка С будет двигаться по окружности. Такие колебания называют циркулярно пелярнзо- ванными, Рвс. З.14. г) Все остальные разности фаз, кроме рассмотренных, дают эллипсы, не приведенные к осям ОХ и 01'. 3, Различные кривые, получаемые при сложении взаимно перпендикулярных колебаний, принято называть фигурами Лнссажу. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз колебаний. Поэтому в простейших случаях частоты двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний можно сравнивать по форме фигур Лнссажу.
й 8.5. Затухающие нопебаиня 1. Все реальные колебательные системы являются диссипативными (см. э 3.3). Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают — их амплитуда постепенно уменьшается. Это можно наблюдать на опыте с маятником Д. Максвелла, представляющим собой диск, ось которого подвешена на двух накручивающихся на нее нитях (рис. 8.18).
Под действием силы тяжести маятник Максвелла совершает колебания в вертикальном направлении и вместе с тем крутильные колебания вокруг своей оси. Закрутив маятник, мы приподнимаем его на высоту Н над положением равновесия (условным нулевым уровнем) н сообщаем ему нотенциальную энергию тдН. Опустившись до положения равновесия, ма.
ятник, энергия которого перешла Рвс. З.Ш. теперь в кинетическую, не остановится, а начнет опять подни- маться, нити будут вновь накручиваться на ось. Однако маят- ник поднимается теперь на меньшую высоту, так как часть его энергии израсходовалась на преодоление сопротивления воздуха и трения ни- тей об ось. Совершив ряд колебаний с убывающей амплитудой, маят- ник останавливается в положении равновесия. Потеря энергии происходит и при колебаниях под действием упру- гих сил, так как вполне упругих тел не существует, а деформации не вполне упругих тел сопровождаются частичным переходом механи- ческой энергии в энергию хаотического теплового движения частиц этих тел.
В случае электрических колебаний часть электрической энер. гни в форме теплоты также переходит в энергию теплового движения частиц проводника и окружающего воздуха. 2. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение (см. 2 5.3), в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механцческих колебаний, пропорциональны величине скорости Будем называть эти силы, не- зависимо от вх происхождения, силами трения, или сопротивления: г = — гр, тр где г — коэффициент сопротивления, а т — скорость движения.
Знак минус указывает, что силы трения всегда направлены в сторону, про- тивоположную направлению движения. Напишем второй закон Ньютона для затухающих п р я м о л н- и ей н ы х колебаний тела вдоль оси ОХ: та„= — /рх — рп„, (8 26) где т — масса колеблющегося тела, о„и а„— проекции его скорости и ускорения на ось ОХ, а — йх н — го„— проекции на ось ОХ возвра- щающей силы и силы трения.
зх зтх Заменив о„= — и а„= — „, и перенеся все члены в левую часть уравнения, получим т — + г — + йх = О. тат тт/ Массу т, коэффициент сопротивления г и коэффициент упругости /г иногда называют параметрами колеблющейся системы. Если г/2т ~~ 1//г/т, то в результате решения дифференциального уравнения (8.27) получается следующая зависимость смещения от времени (вывод этой формулы нами опущен): à — — ! х = А,е ип ( рг+ трр), (8.28) где е — основание натуральных логарифмов.
Выражение Г А= Ара называют амплитудой затухающих колебаний. (8.29) Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени и тем быстрее„чем больше коэффициент сопротивления и чем меньше масса л> колеблющегося тела, т. е. чем меньше инертность системы. Величину (8.30) называют собственной циклической частотой колебаний диссипа-Га тивиой системы (з>» = в — циклическая частота свободных незату. хающих колебаний рассматриваемой системы в отсутствие сил трения).
3. Затухающие колебания представляют собой н е п е р и о д ич е с к и е колебания, так как в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения, Поэтому называть величину а> циклической ч а с т о т о й затухающих колебаний можно лишь условно в том смысле, что она показывает, сколько раз за нс колеблющаяся система проходит через положение равновесия. По тем же причинам величину 2» т Т= — = )'⻠— (» >2т)» (8.30') обычно называемую периодом затухающих колебаний, правильнее называют условным периодом затухакицих колебаний. Найдем отношение значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени т и т + Т, где Т вЂ” условный период колебаний: » » А»»»» л„, „— — и+т> ~а» (8,31) л» вЂ” =е Ф л»» где (8.32) (8.33) Поясним физический смысл величин б и б.
Обозначим через т — >66— называют коэффициентом затухания. Натуральный логарифм отношения амплитуд смешений, следующих друг за другом через промежуток времени Т, называют логарифмическим декрементом затухания >>: 3=!и — "= рТ. л»„ промежуток времени, вв который амплитуда колебаний уменьшается в з раз. Тогда А> м в =з, откуда рт 1, или Рнс. злз. След вательно коэффициент затухания йесть физическая величина, обратная промежутку времени г, в течение которого амплитуда убыв е в е раз. Величину т называют временем релаксации. Пусть, например, р = 10эс т — это означает, что амплитуда колебаний убывает в з раз за 10-' с. Пусть М вЂ” число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в з раз. Тогда т ИТ, т 3 ="РТ = — = —.
с Ф Сл а ельно, логарифмический декремент затухания 6 есть едов т физическ ая величина, обратная числу колебаний 1Ч, по нстече ии = 0 О1. Это знаторых амплитуда убывает з з раз, Пусть, например, 6 =, . 3т чит, что амплитуда колебаний убывает в з раз по истечении 100 колебаний. 4. Е сли вату и ха ие колебаний не очень велико, то оно почти совсем а ( ис, 8.16). П и боль- не сказывается на величине условного периода (рис, . ). ри оэфф нте затухания происходит не только быстрое умень- ебаний. изеиие амплитуды, ио и заметно увеличивается период кол Когда сопротивление становится равным критическому, т.
е. г=г =йглы, или ()=а„ и то, как видно иэ уравне я иэ равнения (8.30), иинлическая частота затухающих колебаний обращается в нуль. Следовательно, колебания прекра- 166— щаются: система, выведенная какими-либо внешними силами из положения равновесия, после прекращения действия этих сил возвращается в положение равновесия апериодически (рис.
8,!77. Отличие колебательного движения от апериодического состоит в следующем. При колебательном движении система, возвращаясь з положение равновесия, имеет некоторый запас кинетической энергии. В случае аперноди- 9 ческого движения вся механическая энергия колеблющейся системы к моменту ее возвращения в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление трения. При очень большом трении апериодическое движение будет происходить весьма медленно. в 8.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
